JAGOSTAT.COM

JAGOSTAT.COM

Website Belajar Matematika & Statistika

Website Belajar Matematika & Statistika

Teori Peluang » Peubah Acak › Moment Generating Function
Peubah Acak

Moment Generating Function

Fungsi pembangkit momen (moment generating function) merupakan fungsi yang dapat menghasilkan momen-momen. Momen-momen yang dihasilkan ini bisa digunakan untuk mencari nilai harapan, nilai rataan dan varians dari suatu peubah acak.


Oleh Tju Ji Long · Statistisi

Fungsi pembangkit momen (moment generating function/MGF) merupakan fungsi yang dapat menghasilkan momen-momen. Momen-momen yang dihasilkan ini bisa digunakan untuk mencari nilai harapan, nilai rataan dan varians dari suatu peubah acak. Tidak hanya itu, fungsi pembangkit momen juga bisa digunakan untuk mencari distribusi dari suatu peubah acak yang baru.

Fungsi Pembangkit Momen (Moment Generating Function)

Fungsi pembangkit momen peubah acak X yang dinyatakan dengan \(M_X (t)\) didefinisikan sebagai

fungsi pembangkit momen (moment generating function)

Dari definisi di atas kita tahu bahwa \(M_X (t)=E(e^{tx})\). Jika kita uraikan persamaan ini dengan menggunakan perluasan Deret MacLaurin, maka akan diperoleh:

img

Kemudian, jika kita melakukan diferensiasi atau turunan \(M_X (t)\) yang telah diperluas dengan deret MacLaurin tersebut terhadap \(t\), maka akan diperoleh hasil sebagai berikut:

img

Jika kita menetapkan nilai \(t=0\) pada hasil turunan tersebut, maka kita akan peroleh hasil berikut ini:

img

Demikian seterusnya, jika \(M_X (t)\) diturunkan terhadap \(t\) sebanyak \(r\) kali, dan kemudian menetapkan nilai \(t\) sama dengan nol \((t=0)\) maka akan diperoleh:

img

Dengan demikian dapat kita simpulkan bahwa momen ke-\(r\) yang dinotasikan dengan \(u_r\) bisa diperoleh melalui fungsi pembangkit momen. Dengan kata lain, fungsi pembangkit momen merupakan sebuah fungsi yang dapat menghasilkan momen-momen sehingga tidak heran jika nama yang diberikan kepadanya adalah fungsi pembangkit momen.

Seperti dinyatakan di awal artikel ini, fungsi pembangkit momen bisa digunakan untuk mencari nilai rataan atau nilai harapan dan varians dari suatu variabel acak. Nilai harapan peubah acak ini dapat diperoleh dari turunan pertama fungsi MGF terhadap \(t\) dan menetapkan nilai \(t = 0\) pada hasil turunan tersebut. Dengan demikian,

img

Selanjutnya, untuk mencari varians, kita perlu mencari momen kedua dari fungsi MGF terlebih dahulu. Hal ini dapat dilakukan dengan melakukan turunan sebanyak dua kali terhadap \(M_X (t)\) dan kemudian menetapkan nilai \(t = 0\). Berikut adalah hasil yang diperoleh:

img

Dengan demikian, varians dari suatu peubah acak adalah:

img
Teorema-teorema Terkait MGF

Teorema Ketunggalan:

Misalkan \(X\) dan \(Y\) adalah dua peubah acak masing-masing dengan fungsi pembangkit momen \(M_X (t)\) dan \(M_Y (t)\). Bila \(M_X (t) = M_Y (t)\) untuk semua nilai \(t\), maka \(X\) dan \(Y\) mempunyai distribusi yang sama.

Teorema:

Misalkan \(Y= X+a\), maka

\[ M_Y (t) = M_{X+a} (t)= e^{at} M_X (t) \]

Bukti:

\begin{aligned} M_{X+a} (t) &= E \left[ e^{t(X+a)} \right] \\[8pt] &= e^{at} \ E(e^{tX} ) \\[8pt] &= e^{at} \ M_X(t) \end{aligned}

Teorema:

Misalkan \(Y= aX\), maka

\[ M_Y (t) = M_{aX} (t)= M_X (at) \]

Bukti:

\begin{aligned} M_{aX} (t) &= E \left[ e^{t(aX)} \right] \\[8pt] &= E(e^{(at)X} ) \\[8pt] &= M_X(at) \end{aligned}

Teorema:

Jika \(X\) adalah peubah acak dengan fungsi pembangkit momennya (MGF) adalah \(M_X (t)\) dan \(Y\) merupakan fungsi dari \(X\) yakni \(Y=u(x)\), maka fungsi pembangkit momen (MGF) dari peubah acak Y dapat dinyatakan dengan:

Gambar

Teorema:

Jika \(X_1,X_2,…,X_n\) adalah peubah acak independen dengan fungsi pembangkit momennya (MGF) adalah \(M_{X_i}(t)\), maka fungsi pembangkit momen (MGF) dari \(Y=\sum_\limits{i=1}^n X_i\) dapat ditentukan sebagai berikut:

Gambar

Bukti:

Karena

teknik MGF

maka,

Gambar

Teorema:

Jika \(X_1,X_2,…,X_n\) adalah sampel yang berasal dari populasi dengan fungsi kepekatan peluang (probability density function, pdf) dan fungsi pembangkit momen (moment generating function, MGF) yang sama yakni \(f(x)\) dan \(M_X (t)\), maka MGF dari \(Y=\sum_\limits{i=1}^n X_i\), yaitu:

Gambar
Artikel Terkait

Learning is a weightless treasure you can always carry easily.