JAGOSTAT.COM

JAGOSTAT.COM

Website Belajar Statistika: Konsep, Teori, dan Penerapan

Website Belajar Statistika: Konsep, Teori, dan Penerapan

Teori Peluang » Peubah Acak › Moment Generating Function
Peubah Acak

Moment Generating Function

Fungsi pembangkit momen (moment generating function) merupakan fungsi yang dapat menghasilkan momen-momen. Momen-momen yang dihasilkan ini bisa digunakan untuk mencari nilai harapan, nilai rataan dan varians dari sebuah peubah acak.


Oleh Tju Ji Long · Statistisi

Fungsi pembangkit momen (Moment generating function) merupakan fungsi yang dapat menghasilkan momen-momen. Momen-momen yang dihasilkan ini bisa digunakan untuk mencari nilai harapan, nilai rataan dan varians dari sebuah peubah acak. Tidak hanya itu, fungsi pembangkit momen juga bisa digunakan untuk mencari distribusi dari suatu peubah acak yang baru.

Fungsi Pembangkit Momen (Moment Generating Function)

Fungsi pembangkit momen peubah acak X yang dinyatakan dengan \(M_X (t)\) didefinisikan sebagai

img

Sekarang kita tahu bahwa \(M_X (t)=E(e^{tx})\). Jika kita uraikan persamaan ini dengan menggunakan perluasan deret MacLaurin, maka akan diperoleh: (untuk materi mengenai deret MacLaurin, klik link berikut: Deret Maclaurin)

img

Kemudian, jika kita melakukan diferensiasi atau turunan terhadap \(M_X (t)\) yang telah diperluas dengan deret MacLaurin tersebut, maka akan diperoleh hasil sebagai berikut:

img

Jika kita menetapkan nilai \(t=0\) pada hasil turunan tersebut, maka kita akan peroleh hasil berikut ini:

img

Demikian seterusnya, jika \(M_X (t)\) diturunkan terhadap \(t\) sebanyak \(r\) kali, dan kemudian menetapkan nilai \(t\) sama dengan nol \((t=0)\) maka akan diperoleh:

img

Dengan demikian dapat kita simpulkan bahwa momen ke-\(r\) yang dinotasikan dengan \(u_r\) bisa diperoleh melalui fungsi pembangkit momen. Dengan kata lain, fungsi pembangkit momen merupakan sebuah fungsi yang dapat menghasilkan momen-momen sehingga tidak heran jika nama yang diberikan kepadanya adalah fungsi pembangkit momen.

Seperti dinyatakan di awal artikel ini, fungsi pembangkit momen bisa digunakan untuk mencari nilai rataan atau nilai harapan dan varians dari sebuah variabel acak. Nilai harapan suatu peubah acak ini dapat diperoleh dari turunan pertama fungsi MGF yakni \(M_X (t)\) dengan menetapkan nilai \(t = 0\) pada hasil turunan tersebut. Dengan demikian,

img

Selanjutnya, untuk mencari varians, kita perlu mencari momen kedua dari fungsi MGF terlebih dahulu. Hal ini dapat dilakukan dengan melakukan turunan sebanyak dua kali terhadap \(M_X (t)\) dan kemudian menetapkan nilai \(t = 0\). Berikut adalah hasil yang diperoleh:

img

Dengan demikian, varians dari suatu peubah acak adalah:

img
Artikel Terkait

A woman knows the face of the man she loves as a sailor knows the open sea.