Teori Peluang   »   Distribusi Peubah Acak Diskri   ›  Hubungan Distribusi Hipergeometrik dengan Binomial

Peubah Acak Diskrit

Hubungan Distribusi Hipergeometrik dengan Binomial

Ketika ukuran populasi meningkat tanpa batas atau sangat besar, distribusi hipergeometrik akan konvergen ke distribusi binomial, yang mana probabilitasnya konstan, dan percobaan hipergeometrik yang awalnya tidak independen menjadi bersifat independen.

Distribusi hipergeometrik menggambarkan probabilitas ketika pengambilan sampel tanpa pengembalian. Ketika sampel tidak dilakukan pengembalian, probabilitas keberhasilan akan berubah pada setiap percobaan, dan percobaan tersebut menjadi tidak independen.

Namun, ketika ukuran populasi meningkat tanpa batas atau sangat besar, distribusi hipergeometrik akan konvergen ke distribusi binomial, yang mana probabilitasnya konstan, dan percobaan hipergeometrik yang awalnya tidak independen menjadi bersifat independen.

Oleh karena itu, ketika kita mengambil sampel dari populasi yang sangat besar, kita sering menganggap bahwa kondisi distribusi binomial terpenuhi, daripada melakukan perhitungan yang lebih sulit yang disediakan oleh distribusi hipergeometrik.

Argumen matematika untuk membenarkan perkiraan distribusi hipergeometrik dengan hasil distribusi binomial sebagai berikut.

Pada baris terakhir di atas, kita menetapkan \(p=k/N\), sehingga peluang sukses pada percobaan pertama dalam proses hipergeometrik ekuivalen dengan peluang sukses pada proses binomial. Sekarang, dengan jumlah percobaan dan jumlah sukses dibuat tetap (fixed), yakni dengan \(n\) dan \(x\) dibuat tetap, kita bisa melihat apa yang terjadi ketika ukuran populasi mendekati tak hingga.

Hasil terakhir ini sama dengan fungsi peluang peubah acak binomial.