Teori Peluang   »   Pembuktian MGF   ›  MGF Distribusi Gamma

MGF Peubah Acak

MGF Distribusi Gamma

Pada artikel ini kita akan membahas tentang fungsi pembangkit momen (MGF) dari suatu peubah acak yang berdistribusi gamma dan bagaimana mencari rataan dan varians dari distribusi tersebut berdasarkan fungsi pembangkit momennya.

Distribusi Gamma mendapat namanya dari fungsi gamma yang sudah dikenal luas dan dipelajari dalam banyak bidang matematika. Peubah acak kontinu \(X\) berdistribusi gamma, dengan parameter \(α\) dan \(β\), bila fungsi padatnya berbentuk

di mana \(α>0\) dan \(β>0\).

MGF Distribusi Gamma

MGF disribusi gamma diberikan oleh

Bukti:

Kita tahu bahwa MGF suatu distribusi diperoleh dari \(E(e^{tX})\). Dengan demikian, MGF dari distribusi gamma dapat diperoleh sebagai berikut:

Mencari Rataan dan Varians Menggunakan MGF

Seperti yang telah kita pelajari bahwa rataan dan varians suatu peubah acak \(X\) dapat dicari jika diketahui fungsi pembangkit momennya. Untuk mencari rataan dari distribusi gamma, kita hanya perlu menurunkan fungsi MGF yang telah diperoleh di atas, kemudian menetapkan nilai 0 untuk \(t\). Kita peroleh sebagai berikut:

Untuk mendapatkan varians, kita perlu mencari nilai harapan \( X^2 \) terlebih dahulu. Ini dapat dilakukan dengan mencari turunan kedua fungsi MGF, kemudian menetapkan nilai 0 untuk t. Kita dapatkan hasil berikut ini.

Dengan demikian, varians dari distribusi gamma adalah sebagai berikut.

Sumber:

Walpole, R.E., et al. (2012). Probability & Statistics for Engineers & Scientists, 9th ed. Boston: Pearson Education, Inc.