JAGOSTAT.COM

JAGOSTAT.COM

Website Belajar Statistika: Konsep, Teori, dan Penerapan

Website Belajar Statistika: Konsep, Teori, dan Penerapan

Teori Peluang » Peubah Acak › Nilai Harapan suatu Peubah Acak
Peubah Acak

Nilai Harapan suatu Peubah Acak

Nilai harapan peubah acak diskret diperoleh dengan mengalikan tiap nilai dari peubah acak dengan peluang padanannya dan kemudian menjumlahkan hasilnya.


Oleh Tju Ji Long · Statistisi

Rataan atau nilai harapan suatu peubah acak diskret dapat dihitung dengan mengalikan tiap nilai \(x_1,x_2,..,x_n\) dari peubah acak X dengan peluang padanannya \(f(x_1),f(x_2),…,f(x_n)\) dan kemudian jumlahkan hasilnya.

Jika peubah acaknya adalah kontinu, cara penghitungan nilai harapan masih sama dengan yang peubah acak diskret tetapi kita perlu mengganti penjumlahan dengan integral.

DEFINISI:

Misalkan X suatu peubah acak dengan distribusi peluang \(f(x)\). Nilai harapan atau rataan X ialah

img

CONTOH 1:

Carilah nilai harapan banyaknya kimiawan dalam panitia 3 orang yang dipilih secara acak dari 4 kimiawan dan 3 biolog.

Penyelesaian:

Misalkan X menyatakan banyaknya kimiawan dalam panitia. Distribusi peluang X adalah

img

Beberapa perhitungan sederhana menghasilkan

img

Jadi,

img

Jadi, bila suatu panitia beranggota 3 orang dipilih secara acak berulang-ulang dari 4 kimiawan dan 3 biolog, maka rata-ratanya akan beranggota 1,7 kimiawan.

CONTOH 2:

Dalam suatu permainan seseorang mendapat Rp 5 bila dalam lantunan 3 uang logam muncul semua muka atau semua belakang, dan membayar Rp 3 bila muncul muka satu atau dua. Berapakah harapan kemenangannya?

Penyelesaian:

Ruang sampel untuk kemungkinan hasil bila 3 uan dilantunkan sekaligus, atau sama saja dengan bila 1 uang dilantun 3 kali, ialah

img

Mudah dipahami bahwa tiap titik sampel berpeluang sama dan masing-masing terjadi dengan peluang 1/8. Cara lain ialah dengan menggunakan aturan perkalian peluang kejadian bebas pada semua unsur T. Sebagai berikut,

img

Peubah acak yang menjadi perhatian ialah Y, besarnya kemenangan; dan kemungkinan nilai Y ialah Rp 5 bila kejadian \(E_1={MMM,BBB}\) yang muncul dan – Rp 3 bila kejadian

img

yang muncul. Karena \(E_1\) dan \(E_2\) terjadi masing-masing dengan peluang \(¼\) dan \(¾\) , maka

img

Dalam taruhan ini si pemain rata-ratanya akan kalah Rp 1 per lantunan 3 uang logam. Suatu permainan dianggap ‘adil’ bila si pemain, rata-ratanya, tidak menang atau pun kalah; yaitu, bila harapan kemenangannya nol (kekalahan dianggap kemenangan yang negatif).

CONTOH 3: Kontinu

Misalkan X peubah acak yang menyatakan umur dalam jam sejenis bola lampu. Fungsi padat peluangnya diberikan oleh

img

Hitunglah harapan umur jenis bola lampu tadi.

Penyelesaian:

Dengan menggunakan definisi nilai harapan diperoleh

img

Jadi, jenis bola lampu tadi dapat diharapkan, rata-ratanya, berumur 200 jam.

Sekarang pandanglah peubah acak baru \(g(X)\) yang bergantung pada X yaitu, tiap nilai \(g(X)\) dapat ditentukan bila diketahui nilai X. Misalnya, bila \(g(X)\) sama dengan \(X^2\) atau \(3X-1\), jadi bila X bernilai 2 maka \(g(X)\) bernilai \(g(2)\). Khususnya, bila X peubah acak diskret dengan distribusi peluang \(f(x), x= -1,0,1,2,\) dan \(g(X)=X^2\), maka

img

Jadi distribusi peluang \(g(X)\) dapat ditulis sebagai

img

Menurut definisi nilai harapan peubah acak, diperoleh

img

Hasil ini diperluas pada Teorema berikut, baik untuk peubah acak diskret maupun kontinu.

TEOREMA 1:

Misalkan X suatu peubah acak dengan distribusi peluang f(x). Rataan atau nilai harapan peubah acak g(X) adalah

img

CONTOH 4:

Banyaknya mobil X, yang masuk ke suatu pencuci mobil setiap hari antara jam 13.00 = 14.00 mempunyai distribusi peluang:

img

Misalkan \(g(X) = 2X – 1\) menyatakan upah, dalam ribuan rupiah, para karyawan yang dibayar perusahaan dalam jam tersebut. Cari harapan pendapatan karyawan pada jam tersebut.

Penyelesaian:

Menurut Teorema 1, harapan penerimaan para karyawan

img

CONTOH 5:

Misalkan X suatu peubah acak dengan fungsi padat

img

Hitunglah nilai harapan \(g(x) = 4X + 3\)

Penyelesaian:

Menurut Teorema 1 diperoleh

img

Nilai Harapan dari Kombinasi Linear Peubah Acak

Sekarang dibahas beberapa sifat yang berguna untuk menyederhanakan perhitungan rataan dan variansi peubah acak. Sifat tersebut tersebut memungkinkan kita menyatakan rataan dalam parameter lain yang diketahui ataupun mudah menghitungnya. Semua hasil ini berlaku untuk peubah acak diskret maupun kontinu.

TEOREMA 2:

Bila \(a\) dan \(b\) adalah konstanta, maka

img

Bukti: (diberikan yang kontinu saja, untuk yang diskret bisa dibuktikan dengan cara yang sama)

Menurut definisi nilai harapan,

img

Integral pertama di sebelah kanan adalah \(E(X)\) dan integral kedua sama dengan 1. Jadi, diperoleh

img

Akibat 1. Bila diambil \(a = 0\) maka \(E(b) = b\).

Akibat 2. Bila diambil \(b = 0\) maka \(E(aX) = a E(X)\)

CONTOH 6:

Dengan menggunakan Teorema 2 untuk peubah acak diskret \(g(X) = 2X -1\), kerjakan kembali Contoh 4.

Penyelesaian:

Menurut Teorema 2, dapat ditulis

img

Sekarang

img

Jadi,

img

sama seperti sebelumnya.

CONTOH 7:

Dengan menggunakan Teorema 1 untuk peubah acak kontinu \(g(X)=4X+3\), kerjakan kembali Contoh 5.

Penyelesaian:

Pada Contoh 5 kita dapat menggunakan Teorema 2 sehingga diperoleh

img

Sekarang

img

Jadi,

img

sama seperti sebelumnya.

TEOREMA 3:

Jumlah nilai harapan atau selisih dua atau lebih fungsi suatu peubah acak X sama dengan jumlah atau selisih nilai harapan fungsi tersebut, yaitu

img

Bukti:

Menurut definisi

img

CONTOH 8:

Misalkan X peubah acak dengan distribusi peluang sebagai berikut:

img

Cari nilai harapan \(Y=(X-1)^2\)

Penyelesaian:

Dengan menggunakan Teorema 3 pada fungsi \(Y=(X-1)^2\) maka diperoleh

img

Dari Akibat 1 Teorema 2, \(E(1) = 1\), dan dengan menghitung langsung

img

Jadi,

img

CONTOH 9:

Pembelian mingguan teh botol, dalam ribuan liter, dari suatu agen daerah berbentuk suatu peubah acak kontinu \(g(X)=X^2+X-2\), bila X mempunyai fungsi padat

img

Carilah nilai harapan \(g(X)=X^2+X-2\).

Penyelesaian:

Menurut Teorema 3, dapat ditulis

img

Dari Akibat 1 Teorema 2, \(E(2) = 2\), dan dengan menghitung langsung

img

Sekarang

img

Jadi, rata-rata pembelian mingguan teh botol dari agen ini sebanyak 2.500 liter.

Artikel Terkait

I have decided to stick with love. Hate is too great a burden to bear.