Teori Peluang   »   Distribusi Peubah Acak Diskrit   ›  Distribusi Binomial

Peubah Acak Diskrit

Distribusi Binomial

Distribusi Bernoulli merupakan kasus khusus dari distribusi binomial. Pada distribusi binomial terdapat n kali percobaan, sementara pada distribusi Bernoulli hanya 1 kali percobaan.

Distribusi Bernoulli yang telah kita pelajari merupakan kasus khusus dari distribusi binomial. Pada distribusi binomial terdapat \(n\) kali percobaan, sedangkan pada distribusi Bernoulli hanya 1 kali percobaan. Dengan kata lain, distribusi binomial merupakan penjumlahan \(n\) percobaan Bernoulli masing-masing dengan \(p\) yang sama.

Peubah acak \(X\) yang mengikuti distribusi binomial dinotasikan dengan \(X \sim Bin(n,p)\), sedangkan notasi pada distribusi Bernoulli dinyatakan dengan \(X \sim Bernoulli(1,p)\) atau hanya ditulis \(X \sim Bernoulli(p)\) saja. Perhatikan definisi yang lebih formal berikut ini.

Definisi:

Jika percobaan Bernoulli menghasilkan sukses dengan peluang \(p\) dan gagal dengan peluang \(q=1-p\), maka distribusi peluang peubah acak Binomial \(X\), yaitu banyaknya sukses dalam \(n\) percobaan bebas, ialah

Peubah acak \(X\) yang mengikuti distribusi binomial menyatakan banyaknya sukses di antara \(n\) percobaan. Untuk menghitung peluang suatu peubah acak yang berdistribusi binomial, para ahli telah membuat suatu tabel dari distribusi binomial baik yang individual maupun yang kumulatif untuk berbagai nilai \(n,p\), dan \(x\) (Lihat tabel distribusi binomial berikut).

Dalam beberapa literatur, distribusi binomial sering disingkat dengan notasi \(b(x;n,p)\), sehingga jika \(X\) memenuhi distribusi binomial, maka \(X \sim b(x;n,p)\).

Contoh 1:

Suatu penelitian dilakukan untuk mengetahui minat mahasiswa jurusan ekonomi. 10 orang mahasiswa dipilih secara acak. Misalkan \(p=1/2\) adalah peluang memilih jurusan ekonomi, tentukanlah

1. Berapa peluang bahwa dari 10 mahasiwa yang diteliti, 7 orang memilih jurusan ekonomi?
2. Berapa peluang paling banyak 4 mahasiswa memilih jurusan ekonomi?
3. Berapa peluang paling sedikit 5 mahasiswa memilih jurusan ekonomi?

Penyelesaian:

Misalkan sebaran atau distribusi binomial terpenuhi, dengan \(n = 10\) dan \(p=1/2\). Dengan demikian, kita peroleh

Contoh 2:

Sebuah perusahaan alat-alat elektronik memutuskan bahwa pengepakan suatu transistor ke dalam kotak paling banyak berisi 10% rusak. Untuk mengadakan pengujian, maka pimpinan perusahaan mengambil secara acak 30 buah transistor dari suatu kotak tersebut. Berapakah peluang bahwa dari 30 transistor.

1. Terdapat paling banyak 3 yang rusak?
2. Terdapat antara 2 sampai dengan 4 yang rusak?
3. Terdapat antara 1 sampai dengan 5 yang rusak?
4. Minimal 3 yang rusak?
5. Berapakah kemungkinan yang baik ada 5?

Penyelesaian:

Ini merupakan contoh percobaan binomial dengan n = 30 dan p = 0,1. Dengan demikian, kita peroleh

Contoh 3:

Peluang untuk sembuh seorang penderita penyakit darah yang jarang adalah 0,4. Bila diketahui ada 15 orang yang telah mengidap penyakit tersebut, berapakah peluangnya

1. paling sedikit 10 akan sembuh?
2. antara 3 sampai 8 yang sembuh?
3. tepat 5 yang sembuh?

Penyelesaian:

Rataan dan Varians Distribusi Binomial

Untuk pembuktian rataan dan varians peubah acak binomial, klik link berikut: Rataan dan Varians Distribusi Binomial

Fungsi Pembangkit Momen (MGF) Distribusi Binomial

MGF Distribusi Binomial

Fungsi pembangkit momen atau fungsi MGF dari distribusi binomial adalah

Untuk pembuktian MGF dari distribusi binomial dan cara mencari nilai harapan \(X\), rataan dan varians menggunakan MGF, klik link berikut. MGF Distribusi Binomial

Sumber:

Walpole, R.E., et al. (2012). Probability & Statistics for Engineers & Scientists, 9th ed. Boston: Pearson Education, Inc.