Distribusi Bernoulli merupakan kasus khusus dari distribusi binomial. Pada distribusi binomial terdapat n kali percobaan, sementara pada distribusi Bernoulli hanya 1 kali percobaan.
Distribusi Bernoulli yang telah kita pelajari merupakan kasus khusus dari distribusi binomial. Pada distribusi binomial terdapat \(n\) kali percobaan, sedangkan pada distribusi Bernoulli hanya 1 kali percobaan. Dengan kata lain, distribusi binomial merupakan penjumlahan \(n\) percobaan Bernoulli masing-masing dengan \(p\) yang sama.
Peubah acak \(X\) yang mengikuti distribusi binomial dinotasikan dengan \(X \sim Bin(n,p)\), sedangkan notasi pada distribusi Bernoulli dinyatakan dengan \(X \sim Bernoulli(1,p)\) atau hanya ditulis \(X \sim Bernoulli(p)\) saja. Perhatikan definisi yang lebih formal berikut ini.
Definisi:
Jika percobaan Bernoulli menghasilkan sukses dengan peluang \(p\) dan gagal dengan peluang \(q=1-p\), maka distribusi peluang peubah acak Binomial \(X\), yaitu banyaknya sukses dalam \(n\) percobaan bebas, ialah
Peubah acak \(X\) yang mengikuti distribusi binomial menyatakan banyaknya sukses di antara \(n\) percobaan. Untuk menghitung peluang suatu peubah acak yang berdistribusi binomial, para ahli telah membuat suatu tabel dari distribusi binomial baik yang individual maupun yang kumulatif untuk berbagai nilai \(n,p\), dan \(x\) (Lihat tabel distribusi binomial berikut).
Dalam beberapa literatur, distribusi binomial sering disingkat dengan notasi \(b(x;n,p)\), sehingga jika \(X\) memenuhi distribusi binomial, maka \(X \sim b(x;n,p)\).
Contoh 1:
Suatu penelitian dilakukan untuk mengetahui minat mahasiswa jurusan ekonomi. 10 orang mahasiswa dipilih secara acak. Misalkan \(p=1/2\) adalah peluang memilih jurusan ekonomi, tentukanlah
Penyelesaian:
Misalkan sebaran atau distribusi binomial terpenuhi, dengan \(n = 10\) dan \(p=1/2\). Dengan demikian, kita peroleh
Contoh 2:
Sebuah perusahaan alat-alat elektronik memutuskan bahwa pengepakan suatu transistor ke dalam kotak paling banyak berisi 10% rusak. Untuk mengadakan pengujian, maka pimpinan perusahaan mengambil secara acak 30 buah transistor dari suatu kotak tersebut. Berapakah peluang bahwa dari 30 transistor.
Penyelesaian:
Ini merupakan contoh percobaan binomial dengan n = 30 dan p = 0,1. Dengan demikian, kita peroleh
Contoh 3:
Peluang untuk sembuh seorang penderita penyakit darah yang jarang adalah 0,4. Bila diketahui ada 15 orang yang telah mengidap penyakit tersebut, berapakah peluangnya
Penyelesaian:
Rataan dan Varians Distribusi Binomial
Rataan dari distribusi binomial yaitu \(np\); sedangkan variannya adalah \(npq\).
Untuk pembuktian rataan dan varians peubah acak binomial, klik link berikut: Rataan dan Varians Distribusi Binomial
MGF Distribusi Binomial
Fungsi pembangkit momen atau fungsi MGF dari distribusi binomial adalah
Untuk pembuktian MGF dari distribusi binomial dan cara mencari nilai harapan \(X\), rataan dan varians menggunakan MGF, klik link berikut. MGF Distribusi Binomial
Walpole, R.E., et al. (2012). Probability & Statistics for Engineers & Scientists, 9th ed. Boston: Pearson Education, Inc.
No matter how tall the mountain is, it cannot block the sun.