Teori Peluang   »   Pembuktian MGF   ›  MGF Distribusi Bernoulli

MGF Peubah Acak

MGF Distribusi Bernoulli

Pada artikel ini kita akan membahas fungsi pembangkit momen dari distribusi Bernoulli dan mencari rataan dan varians distribusi tersebut berdasarkan fungsi pembangkit momennya.

Distribusi Bernoulli bersumber dari percobaan Bernoulli yakni percobaan yang menghasilkan dua kemungkinan hasil, yaitu sukses dan gagal. Misalnya pada pengujian barang hasil produksi, dengan tiap pengujian atau usaha menunjukkan apakah suatu barang cacat atau tidak cacat.

Fungsi kepadatan peluang distribusi Bernouli adalah

di mana \(x\) merupakan nilai peubah acak, \(p\) merupakan parameter di mana \(0≤p≤1\). Peubah acak \(X\) yang berdistribusi Bernoulli dapat ditulis \(X \sim Bernoulli(p)\).

MGF Distribusi Bernoulli

Fungsi pembangkit momen atau fungsi MGF dari distribusi Bernoulli, yaitu:

Bukti:

Kita tahu bahwa MGF suatu distribusi diperoleh dari \(E(e^{tX})\). Dengan demikian, MGF dari distribusi Bernoulli dapat diperoleh sebagai berikut:

Mencari Rataan dan Varians Menggunakan MGF

Sebagaimana telah kita ketahui bahwa rataan peubah acak \(X\) yang berdistribusi Bernoulli adalah \(p\); sedangkan variansnya adalah \(pq\).

Rataan dan varians suatu peubah acak \(X\) dapat dicari jika diketahui fungsi pembangkit momennya. Untuk mencari rataan dari distribusi Bernoulli, kita perlu menurunkan fungsi MGF yang telah diperoleh di atas, kemudian menetapkan nilai 0 untuk \(t\). Kita peroleh sebagai berikut:

Untuk mendapatkan varians, kita perlu mencari nilai harapan \( X^2 \) terlebih dahulu. Ini dapat dilakukan dengan mencari turunan kedua fungsi MGF, kemudian menetapkan nilai 0 untuk t. Kita dapatkan hasil berikut ini.

Dengan demikian, varians dari distribusi bernoulli adalah sebagai berikut.

Sumber:

Walpole, R.E., et al. (2012). Probability & Statistics for Engineers & Scientists, 9th ed. Boston: Pearson Education, Inc.