JAGOSTAT.COM

JAGOSTAT.COM

Website Belajar Statistika: Konsep, Teori, dan Penerapan

Website Belajar Statistika: Konsep, Teori, dan Penerapan

Teori Peluang » Pembuktian MGF MGF Distribusi Uniform Diskrit
MGF Peubah Acak

MGF Distribusi Uniform Diskrit

Pada artikel ini kita akan membahas tentang fungsi pembangkit momen (MGF) dari suatu peubah acak yang berdistribusi uniform diskrit dan bagaimana mencari rataan dan varians dari distribusi tersebut berdasarkan fungsi pembangkit momennya.


Oleh Tju Ji Long · Statistisi

Distribusi peluang diskret yang paling sederhana ialah yang peubah acaknya memperoleh semua nilainya dengan peluang yang sama. Distribusi peluang semacam itu disebut distribusi seragam (uniform) diskret.

Bila peubah acak \(X\) mendapat nilai \(x_1,x_2,…,x_n\) dengan peluang yang sama, maka distribusi seragam diskret diberikan oleh

img

Lambang \(f(x;n)\) dipakai sebagai pengganti \(f(x)\) untuk menunjukkan bahwa distribusi seragam tersebut bergantung pada parameter \(n\).

MGF Distribusi Uniform Diskrit

Fungsi pembangkit momen atau moment generating function (MGF) dari distribusi uniform diskrit yaitu:

img

Bukti:

Kita tahu bahwa MGF suatu distribusi diperoleh dari \(E(e^{tX})\). Dengan demikian, MGF dari distribusi uniform diskrit dapat diperoleh sebagai berikut:

img

Dengan menggunakan rumus deret geometrik, persamaan di atas dapat dijabarkan menjadi

img

Persamaan di atas dapat disederhanakan dengan menggunakan rumus jumlah deret geometrik. Kita tahu rumus deret geometrik yaitu

img

Dalam kasus kita, \(a = \frac{e^t}{n}, r=e^t\) dan karena \(e^t < 1\) maka kita memakai rumus yang kedua pada rumus deret geometrik di atas, sehingga diperoleh

img
Mencari Rataan dan Varians Menggunakan MGF

Rataan dan varians distribusi uniform diskrit dapat juga diperoleh ketika fungsi pembangkit momen nya diketahui. Untuk mencari rataan distribusi uniform diskrit, kita hanya perlu menurunkan fungsi MGF dan kemudian menetapkan nilai 0 untuk \(t\). Kita peroleh sebagai berikut.

img

Untuk mendapatkan varians, kita perlu mencari nilai harapan \( X^2 \) terlebih dahulu. Ini dapat dilakukan dengan mencari turunan kedua fungsi MGF, kemudian menetapkan nilai 0 untuk t. Kita dapatkan hasil berikut ini.

img

Dengan demikian, varians dari distribusi uniform diskrit adalah sebagai berikut.

img
Sumber:

Walpole, R.E., et al. (2012). Probability & Statistics for Engineers & Scientists, 9th ed. Boston: Pearson Education, Inc.

Artikel Terkait