JAGOSTAT.COM

JAGOSTAT.COM

Website Belajar Statistika: Konsep, Teori, dan Penerapan

Website Belajar Statistika: Konsep, Teori, dan Penerapan

Teori Peluang » Konsep Dasar Peluang › Teorema Bayes
Teori Peluang

Teorema Bayes

Teorema Bayes menggambarkan hubungan antara peluang bersyarat dari dua kejadian dan memiliki penerapan yang cukup penting terutama dalam statistika.


Oleh Tju Ji Long · Statistisi

Teorema Bayes diambil dari nama penemunya yakni Thomas Bayes yang merupakan seorang ahli statistik, filsuf dan pendeta Inggris. Teorema ini menggambarkan hubungan antara peluang bersyarat dari dua kejadian dan memiliki penerapan yang cukup penting terutama dalam statistika.

TEOREMA 1:

Misalkan kejadian \(B_1,B_2,…,B_k\) merupakan suatu sekatan (partisi) dari ruang sampel \(S\) dengan \(P(B_i )≠0\) untuk \(i = 1, 2, …,k\), maka untuk setiap kejadian A anggota S,

img

Bukti:

Perhatikan diagram Venn pada Gambar 1. Terlihat bahwa kejadian A merupakan gabungan dari sejumlah kejadian yang saling terpisah

img

yaitu,

img img

Gambar 1. Penyekatan ruang sampel S

Peluang A kemudian dapat dihitung melalui:

img

CONTOH 1:

Dalam sebuah pabrik perakitan tertentu, terdapat tiga mesin yaitu mesin B1, B2, dan B2 yang masing-masing membuat 30%, 45% dan 25% dari produk yang dihasilkan. Berdasarkan pengalaman yang lalu bahwa sebanyak 2%, 3% dan 2% dari produks yang dihasilkan masing-masing mesin mengalami cacat. Sekarang, misalnya bahwa sebuah produk yang telah selesai dipilih secara acak. Berapa peluang bahwa produk tersebut cacat?

Pembahasan:

Perhatikan event berikut:

A : produknya cacat

B1: produk yang dibuat mesin B1

B2: produk yang dibuat mesin B2

B3: produk yang dibuat mesin B3

Dengan menerapkan aturan eliminasi (rule of elimination), kita bisa menuliskan

img

Guna memudahkan pemahaman buatlah sebuah diagram pohon seperti terlihat pada gambar 2 berikut.

img

Gambar 2. Diagram pohon Contoh 1

Berdasarkan Gambar 2, kita menemukan bahwa ketiga cabang pada diagram pohon tersebut memberikan peluang:

img

dan oleh karena itu,

img

CONTOH 2:

Tiga anggota koperasi dicalonkan menjadi ketua. Peluang Pak Ali terpilih 0,3, peluang Pak Badu terpilih 0,5, sedangkan peluang Pak Cokro 0,2. Kalau Pak Ali terpilih maka peluang kenaikan iuran koperasi adalah 0,8. Bila Pak Badu atau Pak Cokro yang terpilih maka peluang kenaikan iuran adalah masing-masing 0,1 dan 0,4. Berapakah peluang iuran akan naik?

Pembahasan:

Perhatikan kejadian berikut

\(A\): orang yang terpilih menaikan iuran

\(B_1\): Pak Ali yang terpilih

\(B_2\): Pak Badu yang terpilih

\(B_3\): Pak Cokro yang terpilih

Berdasarkan aturan penghapusan maka dapat ditulis

img

Dengan melihat ke diagram pohon di Gambar 3, terlihat bahwa ketiga cabang mempunyai peluang:

img

Jadi,

img img

Gambar 3. Diagram pohon untuk Contoh 2

Sebagai ganti menghitung \(P(A)\) menggunakan aturan penghapusan, misalkan sekarang kita cari peluang bersyarat \(P(B_3|A)\) di Contoh 2. Dengan kata lain, bila diketahui bahwa iuran telah naik, berapakah peluangnya bahwa Pak Cokro yang terpilih jadi ketua? Pertanyaan seperti ini dapat dijawab dengan menggunakan teorema berikut, disebut aturan Bayes.

TEOREMA 2:

Misalkan kejadian \(B_1,B_2,…,B_k\) merupakan suatu sekatan ruang sampel S dengan \(P(B_i)≠0\) untuk \(i=1,2,…,k\). Misalkan A suatu kejadian sembarang dalam S dengan \(P(A)≠0\).

Maka,

img

Bukti:

Menurut definisi peluang bersyarat

img

dan dengan menyubstitusikan nilai \(P(A)\) yang diperoleh pada Teorema 1 pada penyebut, kita peroleh

img

Dengan demikian, kita peroleh bentuk

img

dan buktinya selesai.

CONTOH 3:

Kembali ke Contoh 2, bila seseorang merencanakan masuk jadi anggota koperasi tersebut tapi menundanya beberapa minggu dan kemudian mengetahui bahwa iuran telah naik, berapakan peluang Pak Cokro terpilih jadi ketua?

Dengan menggunakan aturan Bayes dapat ditulis

img

Dan kemudian masukkan peluang yang telah dihitung di Contoh 2, diperoleh

img

Berdasarkan kenyataan bahwa iuran telah naik, hasil ini menunjukkan bahwa kemungkinan besar bukan Pak Cokro yang sekarang jadi ketua koperasi tersebut.

Sumber:

Walpole, R.E., et al. (2012). Probability & Statistics for Engineers & Scientists, 9th ed. Boston: Pearson Education, Inc.

Artikel Terkait

Our character is what we do when we think no one is looking.

A PHP Error was encountered

Severity: Core Warning

Message: PHP Startup: Unable to load dynamic library 'imagick.so' (tried: /opt/alt/php72/usr/lib64/php/modules/imagick.so (libMagickWand-7.Q16HDRI.so.7: cannot open shared object file: No such file or directory), /opt/alt/php72/usr/lib64/php/modules/imagick.so.so (/opt/alt/php72/usr/lib64/php/modules/imagick.so.so: cannot open shared object file: No such file or directory))

Filename: Unknown

Line Number: 0

Backtrace: