Teori Peluang   »   Pembuktian Rataan dan Varians   ›  Rataan dan Varians Distribusi Binomial

Distribusi Peubah Acak

Rataan dan Varians Distribusi Binomial

Distribusi binomial adalah penjumlahan n percobaan Bernoulli masing-masing dengan p yang sama. Rataan peubah acak X yang berdistribusi binomial adalah np; sementara itu variansnya adalah npq.

Distribusi Bernoulli merupakan kasus khusus dari distribusi binomial. Pada distribusi binomial terdapat n kali percobaan, sementara pada distribusi Bernoulli hanya 1 kali percobaan. Jadi, distribusi binomial adalah penjumlahan n percobaan Bernoulli masing-masing dengan p yang sama.

Jika percobaan Bernoulli menghasilkan sukses dengan peluang $p$ dan gagal dengan peluang $q=1-p$, maka distribusi peluang peubah acak Binomial $X$, yaitu banyaknya sukses dalam $n$ percobaan bebas, ialah

Bukti: Rataan

Perhatikan bahwa karena

maka $E(X) = np$.

Bukti: Varians

Untuk membuktikan varians, kita perlu menentukan nilai harapan $X^2$ terlebih dahulu.

di mana

Jadi,

Dengan demikian, variansnya adalah

Sumber:

Walpole, R.E., et al. (2012). Probability & Statistics for Engineers & Scientists, 9th ed. Boston: Pearson Education, Inc.