JAGOSTAT.COM

JAGOSTAT.COM

Website Belajar Statistika: Konsep, Teori, dan Penerapan

Website Belajar Statistika: Konsep, Teori, dan Penerapan

Teori Peluang » Pembuktian MGF MGF Distribusi Binomial
MGF Peubah Acak

MGF Distribusi Binomial

Pada artikel ini kita akan membahas tentang fungsi pembangkit momen (MGF) dari suatu peubah acak yang berdistribusi binomial dan bagaimana mencari rataan dan varians dari distribusi tersebut berdasarkan fungsi pembangkit momennya.


Oleh Tju Ji Long · Statistisi

Distribusi Bernoulli merupakan kasus khusus dari distribusi binomial. Pada distribusi binomial terdapat n kali percobaan, sementara pada distribusi Bernoulli hanya 1 kali percobaan. Jadi, distribusi binomial adalah penjumlahan n percobaan Bernoulli masing-masing dengan p yang sama.

Jika percobaan Bernoulli menghasilkan sukses dengan peluang \(p\) dan gagal dengan peluang \(q=1-p\), maka distribusi peluang peubah acak Binomial \(X\), yaitu banyaknya sukses dalam \(n\) percobaan bebas, ialah

img

MGF Distribusi Binomial

Fungsi pembangkit momen atau fungsi MGF dari distribusi binomial adalah

img

Bukti:

Kita tahu bahwa MGF suatu distribusi diperoleh dari \(E(e^{tX})\). Dengan demikian, MGF dari distribusi binomial dapat diperoleh sebagai berikut:

img

Persamaan tersebut dapat diselesaikan dengan menggunakan teorema binomial Newton, sehingga

img
Mencari Rataan dan Varians Menggunakan MGF

Seperti yang telah kita pelajari bahwa rataan dan varians suatu peubah acak \(X\) dapat dicari jika diketahui fungsi pembangkit momennya. Untuk mencari rataan dari distribusi binomial, kita hanya perlu menurunkan fungsi MGF yang telah diperoleh di atas, kemudian menetapkan nilai 0 untuk \(t\). Kita peroleh sebagai berikut:

img

Untuk mendapatkan varians, kita perlu mencari nilai harapan \( X^2 \) terlebih dahulu. Ini dapat dilakukan dengan mencari turunan kedua fungsi MGF, kemudian menetapkan nilai 0 untuk t. Kita dapatkan hasil berikut ini.

img

Dengan demikian, varians dari distribusi binomial adalah sebagai berikut.

img
Sumber:

Walpole, R.E., et al. (2012). Probability & Statistics for Engineers & Scientists, 9th ed. Boston: Pearson Education, Inc.

Artikel Terkait