Teori Peluang   »   Pembuktian MGF   ›  MGF Distribusi Binomial

MGF Peubah Acak

MGF Distribusi Binomial

Pada artikel ini kita akan membahas tentang fungsi pembangkit momen distribusi binomial dan mencari rataan dan varians distribusi tersebut berdasarkan fungsi pembangkit momennya.

Distribusi Bernoulli merupakan kasus khusus dari distribusi binomial. Pada distribusi binomial terdapat n kali percobaan, sementara pada distribusi Bernoulli hanya 1 kali percobaan. Jadi, distribusi binomial adalah penjumlahan n percobaan Bernoulli masing-masing dengan p yang sama.

Jika percobaan binomial menghasilkan sukses dengan peluang \(p\) dan gagal dengan peluang \(q=1-p\), maka distribusi peluang peubah acak Binomial \(X\), yaitu banyaknya sukses dalam \(n\) percobaan bebas, ialah

MGF Distribusi Binomial

Fungsi pembangkit momen atau fungsi MGF dari distribusi binomial adalah

Bukti:

Kita tahu bahwa MGF suatu distribusi diperoleh dari \(E(e^{tX})\). Dengan demikian, MGF dari distribusi binomial dapat diperoleh sebagai berikut:

Persamaan tersebut dapat diselesaikan dengan menggunakan teorema binomial Newton, sehingga

Mencari Rataan dan Varians Menggunakan MGF

Sebagaimana telah kita ketahui bahwa rataan dari distribusi binomial yaitu \(np\); sedangkan variannya adalah \(npq\).

Rataan dan varians suatu peubah acak \(X\) dapat dicari jika diketahui fungsi pembangkit momennya. Untuk mencari rataan dari distribusi binomial, kita perlu menurunkan fungsi MGF yang telah diperoleh di atas, kemudian menetapkan nilai 0 untuk \(t\). Kita peroleh sebagai berikut:

Untuk mendapatkan varians, kita perlu mencari nilai harapan \( X^2 \) terlebih dahulu. Ini dapat dilakukan dengan mencari turunan kedua fungsi MGF, kemudian menetapkan nilai 0 untuk t. Kita dapatkan hasil berikut ini.

Dengan demikian, varians dari distribusi binomial adalah sebagai berikut.

Sumber:

Walpole, R.E., et al. (2012). Probability & Statistics for Engineers & Scientists, 9th ed. Boston: Pearson Education, Inc.