Teori Peluang   »   Pembuktian MGF   ›  MGF Distribusi Binomial Negatif

MGF Peubah Acak

MGF Distribusi Binomial Negatif

Jika MGF distribusi binomial negatif diketahui, kita dapat mencari rataan dan varian distribusi ini dengan mudah yakni dengan cara menurunkan fungsi MGF tersebut.

Distribusi binomial negatif memiliki ciri bahwa peubah acaknya menyatakan banyaknya percobaan yang diperlukan untuk mendapatkan sebanyak \(k\) sukses.

Bila usaha yang saling bebas, dilakukan berulang kali dan menghasilkan sukses dengan peluang \(p\) sedangkan gagal dengan peluang \(q =1-p\), maka distribusi peluang peubah acak \(X\), yaitu banyaknya usaha yang berakhir tepat pada sukses ke \(k\), diberikan oleh

MGF Distribusi Binomial Negatif

Fungsi pembangkit momen (moment generating function, MGF) dari distribusi binomial negatif adalah

Bukti:

Kita tahu bahwa MGF suatu distribusi diperoleh dari \(E(e^{tX})\). Dengan demikian, MGF dari distribusi binomial negatif dapat dibuktikan sebagai berikut:

Mencari Rataan dan Varians Menggunakan MGF

Seperti yang telah kita pelajari bahwa rataan dan varians suatu peubah acak \(X\) dapat dicari jika diketahui fungsi pembangkit momennya. Untuk mencari rataan dari distribusi binomial negatif, kita hanya perlu menurunkan fungsi MGF yang telah diperoleh di atas, kemudian menetapkan nilai 0 untuk \(t\). Kita peroleh sebagai berikut:

Untuk mendapatkan varians, kita perlu mencari nilai harapan \( X^2 \) terlebih dahulu. Ini dapat dilakukan dengan mencari turunan kedua fungsi MGF, kemudian menetapkan nilai 0 untuk t. Kita dapatkan hasil berikut ini.

Dengan demikian, varians dari distribusi binomial negatif adalah sebagai berikut.

Cukup sekian penjelasan mengenai fungsi pembangkit momen dari distribusi binomial negatif dan bagaimana kita mencari rataan dan varians distribusi binomial negatif berdasarkan fungsi MGF-nya dalam artikel ini. Semoga bermanfaat.

Sumber:

Walpole, R.E., et al. (2012). Probability & Statistics for Engineers & Scientists, 9th ed. Boston: Pearson Education, Inc.