Teori Peluang   »   Konsep Dasar Peluang   ›  Permutasi dan Kombinasi

Teori Peluang

Permutasi dan Kombinasi

Suatu unsur ruang sampel bisa terdiri atas semua urutan yang mungkin dari sekelompok benda. Urutan-urutan yang berlain-lainan itu disebut permutasi, sedangkan banyaknya cara memilih r benda dari sejumlah n tanpa memedulikan urutannya disebut kombinasi.

---

Sering kali kita menginginkan ruang sampel yang unsurnya terdiri atas semua urutan atau susunan yang mungkin dari sekelompok benda. Misalnya, kita ingin tahu banyaknya susunan yang dapat dibuat bila 6 orang didudukkan mengelilingi suatu meja, ataupun berapa urutan yang dapat dibuat bila 2 lotere ditarik dari sejumlah 20 lotere. Urutan-urutan yang berlain-lainan itu disebut permutasi.

Permutasi yang dibuat dengan menyusun benda secara melingkar disebut permutasi melingkar. Dua permutasi melingkar dianggap tidak berlainan kecuali bila benda yang berpadanan dalam kedua susunan didahului ataupun diiringi oleh benda yang berlainan jika kita bergerak searah jarum jam.

Sebagai contoh, bila 4 orang bermain bridge, maka permutasinya tidak berbeda bila tiap orang menggeser tempatnya sekali menurut arah jarum jam. Bila tempat seseorang dibuat tetap dan kemudian tempat yang lainnya diatur dalam 3! cara maka diperoleh 6 susunan yang berlainan dalam permainan bridge.

Sampai sekarang telah dibahas permutasi sejumlah benda yang berlainan; dalam hal ini semua benda betul-betul berlainan atau dapat dibedakan. Tentunya, bila huruf b dan c keduanya sama dengan x maka keenam permutasi huruf a,b, c menjadi

yaitu hanya terdiri atas 3 susunan yang berlainan. Jadi, bila ada 3 huruf, 2 di antaranya sama, maka terdapat 3!/2!=3 permutasi yang berlainan. Bila ada 4 huruf a,b,c, dan d yang berlainan maka ada 24 permutasi yang berlainan. Bila dimisalkan a = b = x dan c = d = y maka sesungguhnya susunan yang berbeda hanyalah

Jadi, terdapat 4!/2!2! = 6 permutasi berlainan.

Sering kita ingin menempatkan himpunan n benda dalam r sekat atau sel. Suatu penyekatan terjadi bila irisan setiap pasangan yang mungkin dari himpunan bagian (sel) r, merupakan himpunan kosong ∅ dan gabungan semua himpunan bagian (sel) merupakan himpunan semula. Urutan letak unsur dalam tiap sel tidak berpengaruh.

Pandanglah himpunan {a,e,i,o,u}. Penyekatan yang mungkin dalam dua sel yang dapat dibuat agar sel pertama terdiri atas 4 unsur dan sel kedua terdiri atas satu unsur adalah

Terlihat bahwa ada 5 cara menyekat suatu himpunan 5 unsur dalam 2 himpunan bagian atau sel yang mengandung 4 unsur dalam sel pertama dan 1 unsur dalam sel kedua.

Jumlah sekat untuk contoh di atas dapat dinyatakan dengan lambang

bagian atas menyatakan jumlah unsur seluruhnya sedangkan bagian bawah menyatakan jumlah unsur dalam tiap sel. Hal yang lebih umum dinyatakan oleh teorema berikut,

Kombinasi

Dalam banyak masalah kita ingin mengetahui banyaknya cara memilih r benda dari sejumlah n tanpa memedulikan urutannya. Pemilihan seperti ini disebut kombinasi. Suatu kombinasi sesungguhnya merupakan sekatan dengan dua sel, sel pertama berisi r unsur yang dipilih sedangkan sel lainnya berisi (n-r) sisanya.

Jumlah semua kombinasi seperti ini, dinyatakan dengan (n¦(r,n-r)), biasanya disingkat dengan (n¦r), karena jumlah unsur pada sel kedua haruslah n – r.

Sumber:

Walpole, R.E., et al. (2012). Probability & Statistics for Engineers & Scientists, 9th ed. Boston: Pearson Education, Inc.