JAGOSTAT.COM

JAGOSTAT.COM

Website Belajar Statistika: Konsep, Teori, dan Penerapan

Website Belajar Statistika: Konsep, Teori, dan Penerapan

Teori Peluang » Konsep Dasar Peluang › Permutasi dan Kombinasi
Teori Peluang

Permutasi dan Kombinasi

Suatu unsur ruang sampel bisa terdiri atas semua urutan yang mungkin dari sekelompok benda. Urutan-urutan yang berlain-lainan itu disebut permutasi, sedangkan banyaknya cara memilih r benda dari sejumlah n tanpa memedulikan urutannya disebut kombinasi.


Oleh Tju Ji Long · Statistisi

Sering kali kita menginginkan ruang sampel yang unsurnya terdiri atas semua urutan atau susunan yang mungkin dari sekelompok benda. Misalnya, kita ingin tahu banyaknya susunan yang dapat dibuat bila 6 orang didudukkan mengelilingi suatu meja, ataupun berapa urutan yang dapat dibuat bila 2 lotere ditarik dari sejumlah 20 lotere. Urutan-urutan yang berlain-lainan itu disebut permutasi.

DEFINISI: 1

Suatu permutasi ialah suatu susunan yang dapat dibentuk dari satu kumpulan benda yang diambil sebagian atau seluruhnya.

CONTOH 1:

Ambillah tiga huruf \(a,b\), dan \(c\). Permutasi yang dapat dibuat adalah

img

Terlihat bahwa ada enam susunan yang berlainan. Terdapat cara yang mudah untuk menemukan banyaknya susuan yang berlainan ini, yaitu bahwa ada \(n_1=3\) pilihan untuk tempat pertama, kemudian \(n_2=2\) untuk yang kedua, menyisakan hanya \(n_3=1\) pilihan untk tempat ketiga, sehingga diperoleh

img

Pada umumnya, \(n\) benda yang berlainan dapat disusun dengan

img

Perkalian ini dinyatakan dengan lambang \(n!\), baca ‘n faktorial’. Dengan demikian, tiga huruf dapat disusun dengan \(3! = (3)(2)(1) = 6\) cara. Menurut definisi \(1!=1\) dan \(0! =1\).

TEOREMA:

Banyaknya permutasi n benda berlainan bila diambil r sekaligus adalah

img

CONTOH 2:

Dari 20 lotere, dua diambil untuk hadiah pertama dan kedua. Hitunglah banyak titik sampel dalam ruang T.

Pembahasan:

Banyak seluruh titik sampel

img

CONTOH 3:

Berapa banyak jadwal yang dapat disusun suatu cabang Himpunan Matematika Indonesia untuk 3 penceramah dalam 3 pertemuan bila ketiganya bersedia berceramah tiap hari selama lima hari?

Pembahasan:

Banyak jadwal yang dapat disusun

img

Permutasi yang dibuat dengan menyusun benda secara melingkar disebut permutasi melingkar. Dua permutasi melingkar dianggap tidak berlainan kecuali bila benda yang berpadanan dalam kedua susunan didahului ataupun diiringi oleh benda yang berlainan jika kita bergerak searah jarum jam.

Sebagai contoh, bila 4 orang bermain bridge, maka permutasinya tidak berbeda bila tiap orang menggeser tempatnya sekali menurut arah jarum jam. Bila tempat seseorang dibuat tetap dan kemudian tempat yang lainnya diatur dalam 3! cara maka diperoleh 6 susunan yang berlainan dalam permainan bridge.

TEOREMA:

Banyaknya permutasi n benda berlainan yang disusun melingkar adalah (n-1)!

Sampai sekarang telah dibahas permutasi sejumlah benda yang berlainan; dalam hal ini semua benda betul-betul berlainan atau dapat dibedakan. Tentunya, bila huruf b dan c keduanya sama dengan x maka keenam permutasi huruf a,b, c menjadi

img

yaitu hanya terdiri atas 3 susunan yang berlainan. Jadi, bila ada 3 huruf, 2 di antaranya sama, maka terdapat 3!/2!=3 permutasi yang berlainan. Bila ada 4 huruf a,b,c, dan d yang berlainan maka ada 24 permutasi yang berlainan. Bila dimisalkan a = b = x dan c = d = y maka sesungguhnya susunan yang berbeda hanyalah

img

Jadi, terdapat 4!/2!2! = 6 permutasi berlainan.

TEOREMA:

Banyaknya permutasi yang berlainan dari n benda bila \(n_1\) di antaranya berjenis pertama, \(n_2\) berjenis kedua, …, \(n_k\) berjenis ke k adalah

img

CONTOH 4:

Suatu pohon Natal dihias dengan 9 bola lampu yang dirangkai seri. Ada berapa cara menyusun 9 bola lampu itu bila 3 diantaranya berwarna merah, 4 kuning, dan 2 biru?

Pembahasan:

Banyaknya susunan yang berlainan ada

img

Sering kita ingin menempatkan himpunan n benda dalam r sekat atau sel. Suatu penyekatan terjadi bila irisan setiap pasangan yang mungkin dari himpunan bagian (sel) r, merupakan himpunan kosong ∅ dan gabungan semua himpunan bagian (sel) merupakan himpunan semula. Urutan letak unsur dalam tiap sel tidak berpengaruh.

Pandanglah himpunan {a,e,i,o,u}. Penyekatan yang mungkin dalam dua sel yang dapat dibuat agar sel pertama terdiri atas 4 unsur dan sel kedua terdiri atas satu unsur adalah

img

Terlihat bahwa ada 5 cara menyekat suatu himpunan 5 unsur dalam 2 himpunan bagian atau sel yang mengandung 4 unsur dalam sel pertama dan 1 unsur dalam sel kedua.

Jumlah sekat untuk contoh di atas dapat dinyatakan dengan lambang

img

bagian atas menyatakan jumlah unsur seluruhnya sedangkan bagian bawah menyatakan jumlah unsur dalam tiap sel. Hal yang lebih umum dinyatakan oleh teorema berikut,

TEOREMA:

Banyaknya cara menyekat suatu himpunan \(n\) benda dalam \(r\) sel, masing-masing berisi \(n_1\) unsur dalam sel pertama, \(n_2\) dalam sel kedua, dst., adalah

img

dengan \(n_1+n_2+⋯+n_r=n\).

CONTOH 5:

Berapa banyak cara untuk menampung 7 petinju dalam 3 kamar hotel, bila 1 kamar bertempat tidur 3 sedang 2 lainnya punya 2 tempat tidur?

Pembahasan:

Jumlah seluruh sekat adalah

img
Kombinasi

Dalam banyak masalah kita ingin mengetahui banyaknya cara memilih r benda dari sejumlah n tanpa memedulikan urutannya. Pemilihan seperti ini disebut kombinasi. Suatu kombinasi sesungguhnya merupakan sekatan dengan dua sel, sel pertama berisi r unsur yang dipilih sedangkan sel lainnya berisi (n-r) sisanya.

Jumlah semua kombinasi seperti ini, dinyatakan dengan (n¦(r,n-r)), biasanya disingkat dengan (n¦r), karena jumlah unsur pada sel kedua haruslah n – r.

TEOREMA:

Banyaknya kombinasi dari n benda yang berlainan bila diambil sebanyak r sekaligus adalah

img

CONTOH 6:

Bila ada 4 kimiawan dan 3 fisikawan, carilah banyaknya panitia 3 orang yang dapat dibuat yang beranggotakan 2 kimiawan dan 1 fisikawan.

Pembahasan:

Banyaknya cara memilih 2 kimiawan dari 4 adalah

img

Banyaknya cara memilih seorang fisikawan dari 3 adalah

img

Menurut Teorema Aturan Perkalian dengan \(n_1=6\) dan \(n_2=3\), kita dapat membuat

img

panitia yang terdiri atas 2 kimiawan dan 1 fisikawan.

Sumber:

Walpole, R.E., et al. (2012). Probability & Statistics for Engineers & Scientists, 9th ed. Boston: Pearson Education, Inc.

Artikel Terkait

Failure will never overtake me if my determination to succeed is strong enough.