JAGOSTAT.COM

JAGOSTAT.COM

Website Belajar Statistika: Konsep, Teori, dan Penerapan

Website Belajar Statistika: Konsep, Teori, dan Penerapan

Teori Peluang » Pembuktian MGF MGF Distribusi Uniform Kontinu
MGF Peubah Acak

MGF Distribusi Uniform Kontinu

Pada artikel ini kita akan membahas tentang fungsi pembangkit momen (MGF) dari suatu peubah acak yang berdistribusi uniform kontinu dan bagaimana mencari rataan dan varians dari distribusi tersebut berdasarkan fungsi pembangkit momennya.


Oleh Tju Ji Long · Statistisi

Suatu peubah acak \(X\) pada interval \((a,b)\) dikatakan berdistribusi uniform kontinu jika nilai \(f(x)\) adalah tetap untuk tiap \(x\) dalam interval \((a,b)\) dengan fungsi pdf

img

MGF Distribusi Uniform Kontinu

Andaikan \(X\) adalah variabel acak kontinu yang mengikuti distribusi uniform. MGF dari \(X\) diberikan oleh:

img

Bukti:

Kita tahu bahwa MGF suatu distribusi diperoleh dari \(E(e^{tX})\). Dengan demikian, MGF dari distribusi uniform kontinu dapat diperoleh sebagai berikut:

img
Mencari Rataan dan Varians Menggunakan MGF

Seperti yang telah kita pelajari bahwa rataan dan varians suatu peubah acak \(X\) dapat dicari jika diketahui fungsi pembangkit momennya. Untuk mencari rataan dari distribusi, biasanya kita menurunkan fungsi MGFnya, kemudian menetapkan nilai 0 untuk \(t\). Namun, ini tidak bisa dilakukan di sini. Perhatikan bahwa turunan pertama MGF Uniform Kontinu adalah img

MGF tidak dapat terdefinisikan ketika \(t\) sama dengan nol, namun demikian momen-momen (misalnya momen ke-n) masih bisa dihitung. Kita peroleh momen ke-n distribusi uniform kontinu sebagai berikut.

img

Dengan demikian,

img

Sehingga, variansnya adalah

img
Sumber:

Walpole, R.E., et al. (2012). Probability & Statistics for Engineers & Scientists, 9th ed. Boston: Pearson Education, Inc.

Artikel Terkait