JAGOSTAT.COM

JAGOSTAT.COM

Website Belajar Statistika: Konsep, Teori, dan Penerapan

Website Belajar Statistika: Konsep, Teori, dan Penerapan

Kalkulus II » Deret Pangkat, Taylor, dan Mac Laurin › Deret Taylor dan Deret MacLaurin
Deret

Deret Taylor dan Deret MacLaurin

Deret pangkat dari \((x-a)\) yang menggambarkan sebuah fungsi dinamakan deret Taylor. Apabila \(a = 0\), deret yang bersangkutan disebut deret Maclaurin.


Oleh Tju Ji Long · Statistisi

Deret Taylor dan Deret MacLaurin merupakan topik yang menarik dalam pembelajaran kalkulus. Kita akan membahas kedua deret tersebut secara mendalam di sini dan memberikan contoh soal penerapannya. Tetapi sebelum itu, saya sarankan Anda memahami apa itu deret pangkat terlebih dahulu.

Misalnya terdapat fungsi \(f(x)\), maka deret taylor dari fungsi \(f(x)\) ini dapat dirumuskan sebagai berikut:

Gambar

Jika \(a = 0\), atau deret taylor dengan \(x\) di sekitar 0 (\(x = 0\)), maka deret yang diperoleh disebut Deret Maclaurin. Jadi, deret Maclaurin merupakan kasus khusus dari deret Taylor dengan fungsi yang diekspansi di sekitar \(a=0\). Kita tuliskan deret Maclaurin dalam formula berikut:

Gambar

Sebelum masuk ke contoh soal, ada baiknya kita pelajari darimana rumus Taylor itu diperoleh. Kita mulai dengan memisalkan sebuah fungsi \(f(x)\). Apakah fungsi \(f(x)\) ini dapat diekspansi menjadi sebuah deret pangkat dalam \(x\) atau \(x-a\)? Atau secara lebih spesifik, adakah bilangan-bilangan \(c_0,c_1,c_2,c_3,…\) sehingga

Gambar

pada sebuah selang sekitar \(x=a\) ?

Andaikan bilangan-bilangan tersebut ada, maka menurut teorema turunan (diferensial), kita peroleh hasil berikut:

Gambar

Apabila kita substitusikan \(x = a\) dan menghitung \(c_n\), kita peroleh:

Gambar

atau secara lebih umum, dapat dituliskan sebagai:

Gambar

Hasil yang kita peroleh di atas dapat dinyatakan dalam teorema berikut:

Teorema A:

Andaikan \(f(x)\) dapat diekspansi menjadi

Gambar

untuk semua \(x\) dalam suatu selang sekitar \(a\). Maka, kita peroleh

Gambar

Bentuk koefisien \(c_n\) mengingatkan kita pada koefisien yang terdapat dalam Rumus Taylor. Oleh karena ini, deret pangkat dari \((x-a)\) yang menggambarkan sebuah fungsi dinamakan deret Taylor. Apabila \(a = 0\), deret yang bersangkutan disebut deret Maclaurin.

Kekonvergenan Deret Taylor

Walaupun dengan uraian panjang lebar di atas, masih saja ada pertanyaan yang hingga saat ini belum terjawab. Yaitu apabila diketahui sebuah fungsi \(f\), dapatkah kita menggambarkannya sebagai sebuah deret pangkat dalam \(x – a\) (yang tentunya adalah deret Taylor)? Jawabannya ada di dalam teorema berikut.

Teorema B: Rumus Taylor dengan Sisa

Andaikan \(f\) sebuah fungsi yang mana turunan ke-(n+1) yaitu \(f^{n+1}(x)\) ada untuk setiap \(x\) dalam interval terbuka \(I\) yang mengandung \(a\). Maka, untuk setiap \(x\) dalam \(I\),

Gambar

di mana sisa (atau error) \(R_n(x)\) diberikan oleh rumus:

Gambar

dan \(c\) adalah titik antara \(x\) dan \(a\) (\(c\) is some point between \(x\) and \(a\)).

Teorema C: Teorema Taylor

Andaikan \(f\) sebuah fungsi yang memiliki turunan dari semua tingkatan dalam suatu selang (\(a- r, a + r\)). Syarat yang perlu dan cukup agar deret Taylor

Gambar

menggambarkan fungsi \(f\) pada selang itu, ialah

Gambar

dengan \(R_n (x)\) suku sisa dalam Rumus Taylor, yaitu:

Gambar

dengan \(c\) suatu bilangan dalam selang (\(a-r, a+r\)).

Perhatikan kembali Rumus Taylor pada Teorema B, yaitu:

Gambar

Apabila \(a = 0\), kita peroleh deret Maclaurin, yakni

Gambar

Contoh 1:

Tentukan deret Maclaurin untuk \(\sin{x}\) dan buktikan bahwa deret itu menggambarkan \(\sin{x}\) untuk semua \(x\).

Penyelesaian:

Gambar

Sehingga,

Gambar

Uraian deret ini akan berlaku untuk semua \(x\), asal dapat dibuktikan bahwa

Gambar

Sekarang, \(|f^{n+1}(x)|=|\cos{⁡x}|\) atau \(|f^{n+1}(x)|=|\sin{⁡x}|\), sehingga

Gambar

Tetapi \( \displaystyle{\lim_{n\to\infty} x^n/n! = 0 } \) untuk semua \(x\), karena \(x^n/n!\) merupakan deret konvergen suku ke-n. Akibatnya, kita lihat bahwa \( \displaystyle{\lim_{n\to\infty} R_n(x) = 0 } \).

Contoh 2:

Tentukan deret Maclaurin untuk \(\cos{x}\) dan buktikan bahwa uraian deret itu berlaku untuk semua \(x\).

Penyelesaian:

Kita dapat menggunakan cara yang kita pakai dalam Contoh 1. Tetapi cara yang lebih mudah ialah menurunkan uraian deret dalam Contoh 1, kita peroleh

Gambar

Contoh 3:

Tentukan deret Maclaurin untuk \(f(x)=\cosh{⁡x}\) dengan dua cara, dan buktikan bahwa uraian itu menggambarkan \(\cosh{x}\) untuk semua \(x\).

Penyelesaian:

Metode pertama ialah metode langsung.

Gambar

Sehingga,

Gambar

apabila kita dapat membuktikan bahwa \( \displaystyle{\lim_{n\to\infty} R_n(x) = 0 } \) untuk semua \(x\).

Metode 2: Kita gunakan hubungan

Gambar

Dari pembahasan pada bagian sebelumnya, kita peroleh:

Gambar

Dengan menjumlahkan dua deret ini, kita peroleh deret pangkat untuk \(\cosh{⁡x}\), setelah jumlah tersebut dibagi dengan 2.

Contoh 4:

Tentukan deret Maclaruin \(\sinh{x}\) dan buktikan bahwa jumlah deret itu menggambarkan \(\sinh{x}\) untuk semua \(x\).

Penyelesaian:

Kita dapat menggunakan cara yang kita pakai dalam Contoh 3. Tetapi cara yang lebih mudah ialah menurunkan uraian deret dalam Contoh 3, kita peroleh:

Gambar

Teorema D: Deret Binomial

Untuk tiap bilangan riil \(ρ\) dan \(|x|<1\) berlaku

Gambar

dengan

Gambar

Apabila \(ρ\) bulat positif, maka \(\binom{\rho}{k} = 0\) untuk \(k > p\), sehingga deret takterhingga itu menjadi sebuah deret suku-suku terhingga. Dalam hal ini deret menjadi suku banyak seperti tercantum dalam Rumus Binomial.

Contoh 5:

Tulislah \((1-x)^{-2}\) sebagai suatu deret Maclaurin pada selang \(-1 < x < 1\).

Penyelesaian:

Gambar

Sehingga,

Gambar

Contoh 6:

Tuliskan \( \sqrt{(1+x)} \) sebagai suatu deret Maclaurin dan gunakan hasil ini untuk mengaproksimasi (menghampiri) \( \sqrt{(1,1)} \) sampai 5 angka desimal.

Penyelesaian:

Kita peroleh dengan menggunakan Teorema D.

Gambar

Jadi,

Gambar

Contoh 7:

Hitunglah \( \int_{0}^{0.4} \sqrt{1+x^4} \, dx \) hingga 5 angka desimal.

Penyelesaian:

Menurut Contoh 6, kita peroleh

Gambar

Jadi,

Gambar

Kita simpulkan pembahasan kita tentang deret dengan sebuah daftar deret Maclaurin yang penting yang telah kita dapatkan. Deret-deret ini akan berguna dalam mengerjakan soal-soal tetapi, yang lebih penting lagi, deret-deret ini dapat diterapkan pada banyak persoalan matematika dan ilmu pengetahuan.

Deret Maclaurin yang Penting
Gambar
Sumber:

Purcell, Edwin J., dan Dale Verberg. (1987). Calculus with Analytic Geometry, ed 5. Terjemahan Susila, I Nyoman, dkk. Kalkulus dan Geometri Analitis. Penerbit Erlangga.

Purcell, Edwin J., Dale Verberg., dan Steve Rigdon. (2007). Calculus, ed 9. Penerbit Pearson.

Artikel Terkait

Don’t walk in front of me, I may not follow. Don’t walk behind me, I may not lead. Walk beside me and be my friend.

A PHP Error was encountered

Severity: Core Warning

Message: PHP Startup: Unable to load dynamic library 'imagick.so' (tried: /opt/alt/php72/usr/lib64/php/modules/imagick.so (libMagickWand-7.Q16HDRI.so.7: cannot open shared object file: No such file or directory), /opt/alt/php72/usr/lib64/php/modules/imagick.so.so (/opt/alt/php72/usr/lib64/php/modules/imagick.so.so: cannot open shared object file: No such file or directory))

Filename: Unknown

Line Number: 0

Backtrace: