Kalkulus II   »   Deret Pangkat, Taylor, dan Mac Laurin   ›  Deret Taylor dan Deret MacLaurin - Materi, Contoh Soal dan Pembahasan

Deret

Deret Taylor dan Deret MacLaurin - Materi, Contoh Soal dan Pembahasan

Deret pangkat dari \((x-a)\) yang menggambarkan sebuah fungsi dinamakan deret Taylor. Apabila \(a = 0\), deret yang bersangkutan disebut deret Maclaurin.

---

Deret Taylor dan Deret MacLaurin merupakan topik yang menarik dalam pembelajaran kalkulus. Kita akan membahas kedua deret tersebut secara mendalam di sini dan memberikan contoh soal penerapannya. Tetapi sebelum itu, saya sarankan Anda memahami apa itu deret pangkat terlebih dahulu.

Misalnya terdapat fungsi \(f(x)\), maka deret taylor dari fungsi \(f(x)\) ini dapat dirumuskan sebagai berikut:

Jika \(a = 0\), atau deret taylor dengan \(x\) di sekitar 0 (\(x = 0\)), maka deret yang diperoleh disebut Deret Maclaurin. Jadi, deret Maclaurin merupakan kasus khusus dari deret Taylor dengan fungsi yang diekspansi di sekitar \(a=0\). Kita tuliskan deret Maclaurin dalam formula berikut:

Sebelum masuk ke contoh soal, ada baiknya kita pelajari darimana rumus Taylor itu diperoleh. Kita mulai dengan memisalkan sebuah fungsi \(f(x)\). Apakah fungsi \(f(x)\) ini dapat diekspansi menjadi sebuah deret pangkat dalam \(x\) atau \(x-a\)? Atau secara lebih spesifik, adakah bilangan-bilangan \(c_0,c_1,c_2,c_3,…\) sehingga

pada sebuah selang sekitar \(x=a\) ?

Andaikan bilangan-bilangan tersebut ada, maka menurut teorema turunan (diferensial), kita peroleh hasil berikut:

Apabila kita substitusikan \(x = a\) dan menghitung \(c_n\), kita peroleh:

atau secara lebih umum, dapat dituliskan sebagai:

Hasil yang kita peroleh di atas dapat dinyatakan dalam teorema berikut:

Bentuk koefisien \(c_n\) mengingatkan kita pada koefisien yang terdapat dalam Rumus Taylor. Oleh karena ini, deret pangkat dari \((x-a)\) yang menggambarkan sebuah fungsi dinamakan deret Taylor. Apabila \(a = 0\), deret yang bersangkutan disebut deret Maclaurin.

Kekonvergenan Deret Taylor

Walaupun dengan uraian panjang lebar di atas, masih saja ada pertanyaan yang hingga saat ini belum terjawab. Yaitu apabila diketahui sebuah fungsi \(f\), dapatkah kita menggambarkannya sebagai sebuah deret pangkat dalam \(x – a\) (yang tentunya adalah deret Taylor)? Jawabannya ada di dalam teorema berikut.

Perhatikan kembali Rumus Taylor pada Teorema B, yaitu:

Apabila \(a = 0\), kita peroleh deret Maclaurin, yakni

Kita simpulkan pembahasan kita tentang deret dengan sebuah daftar deret Maclaurin yang penting yang telah kita dapatkan. Deret-deret ini akan berguna dalam mengerjakan soal-soal tetapi, yang lebih penting lagi, deret-deret ini dapat diterapkan pada banyak persoalan matematika dan ilmu pengetahuan.

Deret Maclaurin yang Penting

Sumber:

Purcell, Edwin J., dan Dale Verberg. (1987). Calculus with Analytic Geometry, ed 5. Terjemahan Susila, I Nyoman, dkk. Kalkulus dan Geometri Analitis. Penerbit Erlangga.

Purcell, Edwin J., Dale Verberg., dan Steve Rigdon. (2007). Calculus, ed 9. Penerbit Pearson.

Jika Anda merasa artikel ini bermanfaat, bantu klik tombol suka di bawah ini dan tuliskan komentar Anda dengan bahasa yang sopan.