Bila \(n\) cukup besar dan \(p\) dekat dengan nol, maka distribusi Poisson dapat digunakan untuk menghampiri distribusi binomial.
Oleh Tju Ji Long · Statistisi
Distribusi Poisson dapat dikatakan sebagai bentuk limitnya distribusi binomial di mana nilai \(p→0\) untuk \(n→∞\) dengan \(np\) tetap atau tidak berubah. Arti praktis dari \(p→0\) untuk \(n→∞\) yaitu bahwa untuk \(n\) cukup besar maka nilai \(p\) menjadi kecil.
Yang dimaksud kecil di sini yaitu untuk nilai \(p < 0,05\). Dalam praktek jika \(P < 3 \%\) dan \(n≥40\) maka pendekatan Poisson untuk binomial cukup memadai. Jadi, bila \(n\) besar dan \(p\) dekat dengan nol, maka distribusi Poisson dapat digunakan untuk menghampiri distribusi binomial dengan \(μ=np\).
Teorema:
Misalkan \(X\) peubah acak binomial dengan distribusi peluang \(b(x;n,p)\). Bila \(n→∞, \ p→0\), dan \(np\) tetap sama, maka
Bukti:
Distribusi binomial dapat ditulis sebagai
Masukkan \(p=μ/n\), maka diperoleh
Bila \(n→∞\) sementara \(x\) dan \(μ\) tetap, maka
dan dari definisi bilangan \(e\),
Jadi, dengan syarat limit di atas
Contoh 1:
Dalam suatu proses produksi yang menghasilkan barang dari gelas, terjadi gelembung atau cacat yang kadang-kadang menyebabkan barang tersebut sulit dipasarkan. Diketahui bahwa rata-rata 1 dari 1000 barang yang dihasilkan mempunyai satu atau lebih gelembung. Berapakah peluang bahwa dalam sampel acak sebesar 8000 barang akan berisi kurang dari 7 yang bergelembung?
Pembahasan:
Pada dasarnya percobaan ini binomial dengan \(n = 8000\) dan \(p = 0,001\). Karena \(p\) amat kecil dekat dengan nol dan \(n\) cukup besar, maka akan dihampiri dengan distribusi Poisson dengan \(μ=(8000)(0,001)=8\). Jadi, bila \(X\) menyatakan banyaknya barang yang bergelembung, maka
Contoh 2:
Coba selidiki pendekatan Poisson untuk distribusi binomial pada \(n = 45, \ p = 0,04\) untuk \(x = 3\).
Pembahasan:
Diketahui \( μ = np = 1,8 \). Dengan demikian,
\[ f(x=3, μ = 1,8) = P(X=3) = \frac{e^{-1,8}\cdot 1,8^3}{3!} \]
Contoh 3:
Sebuah unit penelitian AD Amerika memproduksi tipe vaksin tertentu sebagai senjata Biokimia. Berdasarkan penelitian diketahui bahwa rata-rata 2 di antara seratus virus tetap hidup selama pemakaian. Berapa peluang bahwa dalam sejumlah vaksin dengan 500 virus,
Pembahasan:
Terdapat 2 di antara 100 virus berarti p = 2% atau 0,02.
Contoh 4:
Suatu perusahaan lampu listrik memproduksi lampu-lampu pijar. Telah diselidiki, bahwa rata-rata terdapat 4 rusak dari setiap memproduksi 100 lampu.
Perusahaan tersebut mengepak lampu tersebut dalam doos yang berisi 400.
Pembahasan:
Diketahui \(n = 400; \ p = 0,04; \ λ=16\)
Walpole, R.E., et al. (2012). Probability & Statistics for Engineers & Scientists, 9th ed. Boston: Pearson Education, Inc.
The person who reads too much and uses his brain too little will fall into lazy habits of thinking.