Teori Peluang   »   Pembuktian MGF   ›  MGF Distribusi Eksponensial

MGF Peubah Acak

MGF Distribusi Eksponensial

Pada artikel ini kita akan membahas tentang fungsi pembangkit momen (MGF) dari suatu peubah acak yang berdistribusi eksponensial dan bagaimana mencari rataan dan varians dari distribusi tersebut berdasarkan fungsi pembangkit momennya.

Distribusi eksponensial mempunyai banyak nilai praktis, terutama dalam hal yang berhubungan dengan waktu, misalnya: waktu tunggu, waktu hidupnya suatu alat atau lamanya jangka waktu sampai suatu alat berhenti berfungsi, lamanya percakapan telepon, dan sebagainya.

Peubah acak kontinu \(X\) akan berdistribusi eksponensial, dengan parameter \(θ\), bila fungsi padatnya berbentuk

di mana \(θ>0\).

MGF Distribusi Eksponensial

Andaikan \(X\) adalah variabel acak kontinu yang mengikuti distribusi eksponensial. MGF dari \(X\) diberikan oleh:

Bukti:

Kita tahu bahwa MGF suatu distribusi diperoleh dari \(E(e^{tX})\). Dengan demikian, MGF dari distribusi eksponensial dapat diperoleh sebagai berikut:

Misalkan \( y = \left( \frac{1}{θ}-t\right)x \), maka \( x = \frac{1}{\frac{1}{θ}-t} \) dan \( dx = \frac{θ}{1-θt} \ dy \), sehingga

Mencari Rataan dan Varians Menggunakan MGF

Seperti yang telah kita pelajari bahwa rataan dan varians suatu peubah acak \(X\) dapat dicari jika diketahui fungsi pembangkit momennya. Untuk mencari rataan dari distribusi eksponensial, kita hanya perlu menurunkan fungsi MGF yang telah diperoleh di atas, kemudian menetapkan nilai 0 untuk \(t\). Kita peroleh sebagai berikut:

Untuk mendapatkan varians, kita perlu mencari nilai harapan \( X^2 \) terlebih dahulu. Ini dapat dilakukan dengan mencari turunan kedua fungsi MGF, kemudian menetapkan nilai 0 untuk t. Kita dapatkan hasil berikut ini.

Dengan demikian, varians dari distribusi eksponensial adalah sebagai berikut.

Sumber:

Walpole, R.E., et al. (2012). Probability & Statistics for Engineers & Scientists, 9th ed. Boston: Pearson Education, Inc.