Teori Peluang   »   Pembuktian MGF   ›  MGF Distribusi Geometrik

MGF Peubah Acak

MGF Distribusi Geometrik

Pada artikel ini kita akan membahas tentang fungsi pembangkit momen (MGF) dari suatu peubah acak yang berdistribusi geometrik dan bagaimana mencari rataan dan varians dari distribusi tersebut berdasarkan fungsi pembangkit momennya.

Dalam teori probabilitas dan statistika, distribusi geometrik adalah distribusi yang memiliki ciri bahwa peubah acaknya menyatakan banyaknya percobaan yang diperlukan untuk mendapatkan sukses yang pertama.

Bila percobaan yang saling bebas dilakukan berulang kali dan menghasilkan sukses dengan peluang \(p\), gagal dengan peluang \(q =1-p\), maka distribusi peluang peubah acak \(X\), yaitu banyaknya usaha sampai saat terjadi sukses yang pertama, diberikan oleh

MGF Distribusi Geometrik

Fungsi pembangkit momen atau fungsi MGF dari distribusi geometrik adalah

Bukti:

Kita tahu bahwa MGF suatu distribusi diperoleh dari \(E(e^{tX})\). Dengan demikian, MGF dari distribusi geometrik dapat diperoleh sebagai berikut:

Mencari Rataan dan Varians Menggunakan MGF

Seperti yang telah kita pelajari bahwa rataan dan varians suatu peubah acak \(X\) dapat dicari jika diketahui fungsi pembangkit momennya. Untuk mencari rataan dari distribusi geometrik, kita hanya perlu menurunkan fungsi MGF yang telah diperoleh di atas, kemudian menetapkan nilai 0 untuk \(t\). Kita peroleh sebagai berikut:

Untuk mendapatkan varians, kita perlu mencari nilai harapan \( X^2 \) terlebih dahulu. Ini dapat dilakukan dengan menurunkan fungsi MGF sebanyak dua kali, kemudian menetapkan nilai 0 untuk t. Kita dapatkan hasil berikut ini.

Dengan demikian, varians dari distribusi binomial adalah sebagai berikut.

Sumber:

Walpole, R.E., et al. (2012). Probability & Statistics for Engineers & Scientists, 9th ed. Boston: Pearson Education, Inc.