JAGOSTAT.COM

JAGOSTAT.COM

Website Belajar Statistika: Konsep, Teori, dan Penerapan

Website Belajar Statistika: Konsep, Teori, dan Penerapan

Teori Peluang » Distribusi Peubah Acak Kontinu › Distribusi Gamma
Peubah Acak Kontinu

Distribusi Gamma

Distribusi Gamma mendapat namanya dari fungsi gamma, dipelajari dalam banyak bidang matematika. Distribusi gamma yang khusus dengan α = 1 disebut distribusi eksponensial.


Oleh Tju Ji Long · Statistisi

Distribusi Gamma mendapat namanya dari fungsi gamma yang sudah dikenal luas dan dipelajari dalam banyak bidang matematika. Sebelum membahas distribusi gamma terlebih dahulu akan ditinjau fungsi gamma dan beberapa sifatnya yang terpenting.

Definisi:

Fungsi gamma didefinisikan sebagai

img

Bila dilakukan integral parsial dengan \(μ=x^{α-1}\) dan \(dv=e^{-x} \ dx\) maka diperoleh

img

untuk \(α>1\), yang menghasilkan rumus berulang

img

Dengan menggunakan rumus berulang berkali-kali diperoleh

img

dan seterusnya. Perhatikan bahwa bila \(α=n\), dengan \(n\) bilangan bulat positif, maka

img

Sekarang fungsi gamma akan dipakai dalam mendefinisikan distribusi gamma.

Definisi:

Peubah acak kontinu \(X\) berdistribusi gamma, dengan parameter \(α\) dan \(β\), bila fungsi padatnya berbentuk

img

di mana \(α>0\) dan \(β>0\).

Grafik beberapa distribusi gamma diperlihatkan pada Gambar 1 untuk beberapa nilai tertentu parameter \(α\) dan \(β\). Distribusi gamma yang khusus dengan \(α=1\) disebut distribusi eksponensial.

img

Gambar 1. Distribusi gamma

Rataan dan Varians Distribusi Gamma

Rataan dan Varians Distribusi Gamma

Rataan dan variansi distribusi gamma adalah \( \mu = αβ\) dan \(\sigma^2 = αβ^2 \).

Contoh 1:

Misalkan waktu, dalam jam, yang diperlukan untuk memperbaiki pompa air merupakan peubah acak X berdistribusi gamma dengan parameter α=2 dan β=1/2. Berapa peluangnya bahwa perbaikan berikutnya akan memerlukan:

  1. paling banyak 1 jam?
  2. paling sedikit 2 jam?

Pembahasan:

img
Moment Generating Function (MGF) Distribusi Gamma

MGF Distribusi Gamma

MGF disribusi gamma diberikan oleh

img

Untuk pembuktian MGF dari distribusi gamma dan cara mencari nilai harapan \(X\) dan varians menggunakan MGF, klik link berikut. MGF Distribusi Gamma

Sumber:

Walpole, R.E., et al. (2012). Probability & Statistics for Engineers & Scientists, 9th ed. Boston: Pearson Education, Inc.

Artikel Terkait

Open your mouth only if what you are going to say is more beautiful than the silence.