Teori Peluang   »   Pembuktian MGF   ›  MGF Distribusi Normal

MGF Distribusi Normal

Pada artikel ini kita akan membahas tentang fungsi pembangkit momen (MGF) dari suatu peubah acak yang berdistribusi normal dan bagaimana mencari rataan dan varians dari distribusi tersebut berdasarkan fungsi pembangkit momennya.

Distribusi Normal mengambil peranan penting dalam dunia statistika. Grafiknya disebut kurva normal, berbentuk lonceng, yang menggambarkan dengan cukup baik berbagai gejala yang muncul di alam, industri, dan penelitian.

Fungsi kepadatan peluang peubah acak normal \(X\), dengan rataan \(μ\) dan varians \(σ^2\), ialah

di mana \(π=3,14159…\) dan \(e=2,71828…\)

MGF Distribusi Normal

MGF distribusi normal diberikan oleh

Bukti:

Kita tahu bahwa MGF suatu distribusi diperoleh dari \(E(e^{tX})\). Dengan demikian, MGF dari distribusi normal dapat diperoleh sebagai berikut:

Misalkan \( z = \frac{x-μ}{σ} \), maka \( x = σz + μ \) dan \( dx = σ \ dz \), sehingga

Mencari Rataan dan Varians Menggunakan MGF

Seperti yang telah kita pelajari bahwa rataan dan varians suatu peubah acak \(X\) dapat dicari jika diketahui fungsi pembangkit momennya. Untuk mencari rataan dari distribusi normal, kita hanya perlu menurunkan fungsi MGF yang telah diperoleh di atas, kemudian menetapkan nilai 0 untuk \(t\). Kita peroleh sebagai berikut:

Untuk mendapatkan varians, kita perlu mencari nilai harapan \( X^2 \) terlebih dahulu. Ini dapat dilakukan dengan mencari turunan kedua fungsi MGF, kemudian menetapkan nilai 0 untuk t. Kita dapatkan hasil berikut ini.

Dengan demikian, varians dari distribusi chi-square adalah sebagai berikut.

Sumber:

Walpole, R.E., et al. (2012). Probability & Statistics for Engineers & Scientists, 9th ed. Boston: Pearson Education, Inc.