Salah satu tujuan penting dari peubah acak adalah untuk menghitung peluang suatu kejadian yang mempunyai nilai tertentu atau yang nilainya terletak dalam interval tertentu.
Oleh Tju Ji Long · Statistisi
Salah satu tujuan penting dari peubah acak adalah untuk menghitung peluang suatu kejadian yang mempunyai nilai tertentu atau yang nilainya terletak dalam interval tertentu. \(P(X=x)\) adalah peluang bahwa peubah acak X bernilai X, atau \(P(x_1 < X < x_2)\) adalah peluang peubah acak X bernilai antara \(x_1\) dan \(x_2\).
Sering lebih mudah bila semua peluang suatu peubah acak X dinyatakan dalam suatu rumus. Rumus seperti itu tentunya merupakan fungsi nilai numerik X yang akan dinyatakan dengan \(f(x), g(x), r(x)\), dst. Jadi ditulis \(f(x) = P(X= x)\); yaitu \(f(3) = P(X = 3)\). Himpunan pasangan terurut \((x,f(x))\) disebut fungsi kepadatan peluang atau distribusi peluang peubah acak diskret X.
DEFINISI 1:
Himpunan pasangan terurut \((x,f(x))\) merupakan suatu fungsi peluang, fungsi massa peluang, atau distribusi peluang peubah acak diskret X bila untuk setiap kemungkinan hasil X:
CONTOH 1:
Suatu pengiriman 20 komputer PC yang sama ke suatu toko mengandung 3 yang cacat. Bila suatu sekolah membeli 2 komputer ini secara acak, cari distribusi peluang banyaknya yang cacat.
Penyelesaian:
Misalkan X peubah acak dengan nilai X kemungkinan banyaknya komputer yang cacat yang dibeli sekolah tersebut. Maka X dapat memperoleh setiap nilai 0,1, dan 2. Sekarang,
Jadi distribusi peluang X
CONTOH 2:
Diketahui suatu fungsi sebagai berikut.
Tentukan k sehingga \(f(x)\) merupakan fungsi kepadatan peluang!
Penyelesaian:
Syarat pdf adalah
Sehingga
Jadi, fungsi pdf nya adalah
Fungsi kepadatan peluang (pdf) diskrit dapat dinyatakan dalam bentuk notasi fungsi \(f(x)\) yang dapat ditulis dalam bentuk tabel yang menggambarkan nilai-nilai \(f(x)\) untuk tiap X. Bentuk tabel pdf dari contoh di atas adalah
Dalam banyak soal diperlukan menghitung peluang bahwa nilai amatan peubah acak X akan lebih kecil atau sama dengan suatu bilangan real X. Bila \(F(x)=P(X≤x)\) untuk setiap bilangan real X, kita namakan \(F(x)\) sebagai distribusi kumulatif/tumpukan peubah acak X.
DEFINISI 2:
Distribusi kumulatif \(F(X)\) suatu peubah acak diskret X dengan distribusi peluang \(f(x)\) dinyatkan oleh
\(F(X)\) merupakan penjumlah dari \(f(x)\) sehingga nilai terkecil dari \(F(x)\) adalah 0 sedangkan nilai terbesarnya adalah 1. Jadi \(0≤F(X)≤1\).
Berdasarkan definisi 2, maka dapat ditunjukkan bahwa:
CONTOH 3:
Bila 50% mobil yang dijual oleh suatu agen bermesin diesel, cari rumus distribusi peluang banyaknya mobil bermesin diesel bagi ke 4 mobil berikutnya yang dijual oleh agen tersebut dan juga hitunglah distribusi kumulatif peubah acak X. Dengan menggunakan \(F(x)\), perlihatkan bahwa \(f(2) = 3/8\).
Penyelesaian:
Karena peluang menjual mobil bermesin diesel atau bensin adalah 0,5, maka ke \( 2^4 = 16 \) titik pada ruang sampel mempunyai peluang yang sama. Jadi, pembagi untuk semua peluang, dan juga untuk fungsi peluang adalah 16.
Umumnya, kejadian menjual x mobil bermesin diesel dan 4-x bermesin bensin dapat terjadi dalam \( \binom{4}{x} \) cara, x bernilai 0, 1, 2, 3, atau 4. Jadi, distribusi peluang \( f(x) = P(X=x) \) adalah
Dari distribusi peluang ini, kita peroleh
Dengan demikian,
Sehingga
Sekarang
Sering menolong bila distribusi peluang digambarkan dalam bentuk grafik. Titik \((x,f(x))\) dalam Contoh 3 dapat digambarkan seperti pada Gambar 1. Gambar 1 memperlihatkan dengan jelas nilai X yang paling besar kemungkinan nya terjadi, dan dalam kasus ini menunjukkan bentuk yang setangkup sempurna.
Gambar 1 Diagram balok
Orang lebih sering menggambarkan persegi panjang seperti pada Gambar 2 daripada menggambarkan titik \((x,f(x))\) pada Gambar 1. Persegi panjang ini dibuat sedemikian rupa sehingga alasnya yang sama panjang mempunyai titik tengah tiap nilai X dan tingginya sama dengan peluang yang sesuai yang diberikan oleh \(f(x)\). Alasnya dibuat sedemikian rupa sehingga sisi dua persegi panjang yang berdampingan bersatu. Gambar 2 ini disebut histogram peluang.
Gambar 2. Histogram peluang
Grafik distribusi kumulatif Contoh 3 yang merupakan fungsi tangga seperti pada Gambar 3 diperoleh dengan menggambarkan sejumlah titik \((x,F(x))\).
Gambar 3 Distribusi kumulatif diskret
Keep your eyes on the stars and your feet on the ground.