JAGOSTAT.COM

JAGOSTAT.COM

Website Belajar Statistika: Konsep, Teori, dan Penerapan

Website Belajar Statistika: Konsep, Teori, dan Penerapan

Teori Peluang » Peubah Acak › Menghitung Nilai Harapan dan Varians
Peubah Acak

Menghitung Nilai Harapan dan Varians

Rataan mempunyai peran khusus karena menggambarkan letak pusat suatu distribusi peluang. Namun, rataan tidak memberikan keterangan yang cukup mengenai bentuk distribusinya. Maka itu, diperlukan ukuran lain untuk menggambarkan suatu distribusi peluang, yakni varians.


Oleh Tju Ji Long · Statistisi

Rataan suatu peubah acak mempunyai peran khusus dalam statistika karena menggambarkan letak pusat suatu distribusi peluang. Akan tetapi, rataan itu sendiri tidaklah memberikan keterangan yang cukup mengenai bentuk distribusinya.

Pada Gambar 1 tertera histogram dua distribusi peluang diskrit dengan rataan \(μ=2\) yang sama tetapi cukup berbeda dalam keragaman atau pemencaran pengamatannya di sekitar rataan.

img

Gambar 1. Distribusi dengan rataan yang sama tapi pemencaran berbeda

Ukuran keragaman suatu peubah acak \(X\) dapat diperoleh dengan

img

Ukuran keragaman ini diberi nama varians peubah acak \(X\) atau varians distribusi peluang \(X\) dan dinyatakan dengan \(Var(X)\) atau \(σ_x^2\). Perhatikan definisi formalnya berikut ini.

DEFINISI:

Misalkan \(X\) peubah acak dengan distribusi peluang \(f(x)\) dan rataan \(μ\). Variansi \(X\) adalah

img

Akar positif variansi, \(σ\), disebut simpangan baku \(X\).

Besaran \(x-μ\) pada definisi di atas disebut penyimpangan suatu pengamatan dari rataannya. Karena penyimpangan ini dikuadratkan dan kemudian dirata-ratakan, maka \(σ^2\) akan lebih kecil untuk suatu kelompok nilai \(x\) yang dekat ke \(μ\) dibandingkan dengan kelompok yang berjauhan dengan \(μ\).

CONTOH 1:

Misalkan peubah acak \(X\) menyatakan banyaknya mobil yang digunakan untuk keperluan dinas kantor pada setiap hari kerja. Distribusi peluang untuk kantor A (Gambar 1a) adalah

img

Dan untuk kantor B (Gambar 1b) adalah

img

Tunjukan bahwa variansi distribusi peluang kantor B lebih besar dari pada variansi kantor A.

Penyelesaian:

Untuk kantor A, diperoleh

img

dan

img

Untuk kantor B, dipeoleh

img

dan

img

Jelas, varians banyaknya mobil yang digunakan untuk keperluan dinas lebih besar untuk kantor B daripada untuk kantor A.

Rumus mencari varians lain, yang sering lebih mudah, diberikan dalam teorema berikut.

Teorema 1:

Variansi peubah acak \(X\) adalah

img

Bukti:

Untuk hal diskret dapat ditulis

img

Karena \( \displaystyle{μ=\sum_x x f(x)} \) menurut definisi dan \( \displaystyle{\sum_x f(x)=1} \) untuk distribusi peluang diskret, maka

img

Untuk hal kontinu buktinya langkah demi langkah sama, hanya penjumlahan diganti dengan integral.

CONTOH 2:

Misalkan peubah acak \(X\) menyatakan banyaknya bagian yang cacat dari suatu mesin bila 3 suku cadang disampling dari rantai produksi dan diuji. Berikut adalah distribusi peluang \(X\).

img

Hitung \(σ^2\) menggunakan Teorema 1.

Penyelesaian:

Pertama-tama, hitung

img

sekarang

img

Jadi,

img

CONTOH 3:

Permintaan mingguan Coca Cola, dalam ribuan liter, pada suatu jaringan pemasaran daerah, merupakan peubah acak kontinu \(X\) dengan fungsi padat peluang

img

Cari rataan dan variansi \(X\).

Penyelesaian:

Dengan menghitung \(E(X)\) dan \(E(X^2)\), kita peroleh

img

dan

img

Jadi,

img

Teorema 2:

Misalkan \(X\) peubah acak dengan distribusi peluang \(f(x)\). Maka variansi peubah acak \(g(X)\) adalah

img

bila \(X\) diskret, dan

img

bila \(X\) kontinu.

CONTOH 4:

Hitung variansi \(g(X)=2X+3\), bila \(X\) peubah acak dengan distribusi peluang

img

Penyelesaian:

Pertama-tama, hitung rataan peubah acak \(2X + 3\) yaitu

img

Sekarang, gunakan Teorema 2, diperoleh

img

CONTOH 5:

Misalkan \(X\) peubah acak dengan fungsi padat seperti di Contoh 5 bagian sebelumnya. Cari variansi peubah acak \(g(X)=4X+3\).

Penyelesaian:

Pada Contoh 5 diperoleh \(μ_{(4X+3)}=8\). Sekarang gunakan Teorema 2,

img
Artikel Terkait

Be not afraid of growing slowly, be afraid only of standing still.