Teori Peluang   »   Peubah Acak   ›  Menghitung Nilai Harapan dan Varians

Peubah Acak

Menghitung Nilai Harapan dan Varians

Rataan mempunyai peran khusus karena menggambarkan letak pusat suatu distribusi peluang. Namun, rataan tidak memberikan keterangan yang cukup mengenai bentuk distribusinya. Maka itu, diperlukan ukuran lain untuk menggambarkan suatu distribusi peluang, yakni varians.

---

Rataan suatu peubah acak mempunyai peran khusus dalam statistika karena menggambarkan letak pusat suatu distribusi peluang. Akan tetapi, rataan itu sendiri tidaklah memberikan keterangan yang cukup mengenai bentuk distribusinya.

Pada Gambar 1 tertera histogram dua distribusi peluang diskrit dengan rataan \(μ=2\) yang sama tetapi cukup berbeda dalam keragaman atau pemencaran pengamatannya di sekitar rataan.

Gambar 1. Distribusi dengan rataan yang sama tapi pemencaran berbeda

Ukuran keragaman suatu peubah acak \(X\) dapat diperoleh dengan

Ukuran keragaman ini diberi nama varians peubah acak \(X\) atau varians distribusi peluang \(X\) dan dinyatakan dengan \(Var(X)\) atau \(σ_x^2\). Perhatikan definisi formalnya berikut ini.

Besaran \(x-μ\) pada definisi di atas disebut penyimpangan suatu pengamatan dari rataannya. Karena penyimpangan ini dikuadratkan dan kemudian dirata-ratakan, maka \(σ^2\) akan lebih kecil untuk suatu kelompok nilai \(x\) yang dekat ke \(μ\) dibandingkan dengan kelompok yang berjauhan dengan \(μ\).

Rumus mencari varians lain, yang sering lebih mudah, diberikan dalam teorema berikut.

Bukti:

Untuk hal diskret dapat ditulis

Karena \( \displaystyle{μ=\sum_x x f(x)} \) menurut definisi dan \( \displaystyle{\sum_x f(x)=1} \) untuk distribusi peluang diskret, maka

Untuk hal kontinu buktinya langkah demi langkah sama, hanya penjumlahan diganti dengan integral.