Soal Nomor 1

Nilai \( \displaystyle \lim_{\theta \to \frac{\pi}{4}} \ \theta \ \tan \theta = \cdots \)

Pembahasan:

Langkah pertama yang biasa dilakukan untuk mencari nilai limit adalah dengan substitusi nilai variabel ke fungsi limitnya. Dalam hal ini, jika kita substitusi \( \theta = \frac{\pi}{4} \) ke fungsi limitnya diperoleh hasil berikut:

Jadi, nilai dari \( \displaystyle \lim_{\theta \to \frac{\pi}{4}} \ \theta \ \tan \theta = \frac{\pi}{4} \).

Soal Nomor 2

Nilai \( \displaystyle \lim_{x\to 0} \ \frac{1 - \cos x}{x} = \cdots \)

Pembahasan:

Jika kita substitusi nilai \(x = 0\) ke fungsi limitnya diperoleh bentuk tak tentu 0/0 sehingga di sini kita tidak bisa gunakan cara substitusi langsung untuk memperoleh nilai limit.

Kita bisa selesaikan limit tersebut dengan mengalikan pembilang dan penyebut dari fungsi limitnya dengan \((1 + \cos x)\) dan kemudian menggunakan teorema limit trigonometri. Perhatikan berikut ini:

Soal Nomor 3

Nilai \( \displaystyle \lim_{t \to 0} \ \frac{1 - \cos t}{\sin t} = \cdots \)

Pembahasan:

Jika kita substitusi nilai \(t = 0\) ke fungsi limitnya diperoleh bentuk tak tentu 0/0 sehingga di sini kita tidak bisa gunakan cara substitusi langsung untuk memperoleh nilai limit.

Kita bisa selesaikan limit tersebut dengan membagi pembilang dan penyebut dari fungsi limitnya dengan \(t\) dan kemudian menggunakan teorema limit trigonometri. Perhatikan berikut ini:

Jadi, nilai dari \( \displaystyle \lim_{t \to 0} \ \frac{1 - \cos t}{\sin t} = 0 \).

Soal Nomor 4

Nilai \( \displaystyle \lim_{x\to 0} \ \frac{1-\cos 2x}{1-\cos x} = \cdots \)

Pembahasan:

Sama seperti pada Soal 2 dan 3, jika kita substitusi \(x = 0\) ke fungsi limitnya diperoleh bentuk tak tentu 0/0 sehingga kita tidak bisa gunakan cara substitusi langsung untuk menyelesaikan limit ini.

Untuk dapat menyelesaikan limit tersebut, Anda perlu menggunakan rumus identitas trigonometri berikut:

Dengan menggunakan rumus identitas trigonometri di atas, penyelesaian limit dalam soal ini, yaitu:

Soal Nomor 5

Nilai \( \displaystyle \lim_{x\to 0} \ \frac{\sec x - 1}{x} = \cdots \)

Pembahasan:

Ingat: \( \sec x = \frac{1}{\cos x} \) dan \( \displaystyle \lim_{x\to 0} \ \frac{1-\cos x}{x} = 0 \) (Lihat Soal 2).

Dengan demikian, penyelesaian dari limit ini, yaitu:

Soal Nomor 6

Nilai \( \displaystyle \lim_{x \to 0} \ \frac{\cos x - 1}{\sin x} = \cdots \)

Pembahasan:

Soal Nomor 7

Nilai \( \displaystyle \lim_{x \to 0} \ \frac{1-\cos 2x}{2x \sin 2x} = \cdots \)

Pembahasan:

Soal Nomor 8

Nilai \( \displaystyle \lim_{x \to 0} \ \frac{3x \tan 2x}{1 - \cos 4x} = \cdots \)

Pembahasan:

Soal Nomor 9

Nilai \( \displaystyle \lim_{x\to 0} \ \frac{1-\cos 2x}{x \tan 2x} = \cdots \)

Pembahasan:

Soal Nomor 10

Nilai \( \displaystyle \lim_{x\to 0} \ \frac{2 - 2 \cos 2x}{x^2} = \cdots \)

Pembahasan:

Soal Nomor 11

Nilai \( \displaystyle \lim_{x\to 0} \ \frac{\cos 4x - 1}{x \tan 2x} = \cdots \)

Pembahasan:

Soal Nomor 12

Nilai \( \displaystyle \lim_{x\to 0} \ \frac{\tan x - \sin x}{x^3} = \cdots \)

Pembahasan:

Soal Nomor 13

Nilai \( \displaystyle \lim_{\theta \to \frac{\pi}{2}} \ \frac{\cos^2 \theta}{1 - \sin \theta} = \cdots \)

Pembahasan:

Soal Nomor 14

Nilai \( \displaystyle \lim_{x \to \frac{\pi}{4}} \ \frac{1 - \tan x}{\sin x - \cos x} = \cdots \)

Pembahasan:

Soal Nomor 15

Nilai \( \displaystyle \lim_{x \to 0} \ \frac{1-\sqrt{\cos x}}{x^2} = \cdots \)

Pembahasan:

Soal Nomor 16

Nilai \( \displaystyle \lim_{x \to \frac{\pi}{8}} \ \frac{\sin^2 2x - \cos^2 2x}{\sin 2x - \cos 2x} = \cdots \)

Pembahasan:

Soal Nomor 17

Nilai \( \displaystyle \lim_{\theta \to 0} \ \frac{1-\cos m\theta}{1-\cos n\theta} = \cdots \)

Pembahasan:

Soal Nomor 18

Nilai \( \displaystyle \lim_{x \to a} \ \frac{\sin (x-a)}{x^2-a^2} = \cdots \)

Pembahasan:

Soal Nomor 19

Nilai \( \displaystyle \lim_{x\to 1} \ \frac{\sin \left( 1 - \frac{1}{x} \right) \cos \left( 1 - \frac{1}{x} \right)}{x-1} = \cdots \)

Pembahasan:

Soal Nomor 20

Nilai \( \displaystyle \lim_{x\to 0} \ \frac{\cos 3x - \cos x}{x^2} = \cdots \)

Pembahasan:

Soal Nomor 21

Nilai \( \displaystyle \lim_{x\to 0} \ \frac{\sin 5x - \sin 3x}{\sin x} = \cdots \)

Pembahasan:

Soal Nomor 22

Nilai \( \displaystyle \lim_{x\to 0} \ \frac{\cos (x+a) - \cos (x-a)}{x} = \cdots \)

Pembahasan:

Soal Nomor 23

Nilai \( \displaystyle \lim_{x\to b} \ \frac{\sin x - \sin b}{x - b} = \cdots \)

Pembahasan:

Soal Nomor 24

Nilai \( \displaystyle \lim_{x \to \theta} \ \frac{x \sin \theta - \theta \sin x}{x-\theta} = \cdots \)

Pembahasan:

Soal Nomor 25

Nilai \( \displaystyle \lim_{x \to 0} \ \frac{\sin (\pi x-\pi)}{(x-1) \cos (\pi x-\pi)} = \cdots \)

Pembahasan:

Soal Nomor 26

Nilai \( \displaystyle \lim_{x \to 0} \ \frac{\sin (x-1)}{x^2+x-2} = \cdots \)

Pembahasan:

Soal Nomor 27

Nilai \( \displaystyle \lim_{x \to \frac{\pi}{4}} \ \frac{\cos 2x}{\sin x - \cos x} = \cdots \)

Pembahasan:

Soal Nomor 28

Nilai \( \displaystyle \lim_{x \to 1} \ \frac{(x^2-1)\tan (2x-2)}{\sin^2 (x-1)} = \cdots \)

Pembahasan:

Soal Nomor 29

Nilai \( \displaystyle \lim_{x\to 0} \ \left( \frac{\sin 4x}{x^2 \tan 2x} - \frac{2}{x^2} \right) = \cdots \)

Pembahasan:

Soal Nomor 30

Nilai \( \displaystyle \lim_{x\to 2} \ \frac{(x-2) \cos (\pi x- 2 \pi)}{\tan (2\pi x - 4 \pi)} = \cdots \)

Pembahasan: