JAGOSTAT.COM

JAGOSTAT.COM

Website Belajar Statistika: Konsep, Teori, dan Penerapan

Website Belajar Statistika: Konsep, Teori, dan Penerapan

Matematika Dasar » Persamaan Polinomial › Mencari Akar-akar Persamaan Kuadrat dengan Cara Pemfaktoran
Persamaan Kuadrat

Mencari Akar-akar Persamaan Kuadrat dengan Cara Pemfaktoran

Pada umumnya, terdapat tiga cara untuk mencari akar-akar suatu persamaan kuadrat, yaitu cara pemfaktoran, melengkapkan kuadrat sempurna, dan rumus abc.


Oleh: Tju Ji Long · Statistisi

Persamaan kuadrat atau persamaan polinomial (suku banyak) dengan pangkat tertinggi dua dapat dituliskan sebagai

Gambar

dengan \(a, b\), dan \(c\) merupakan bilangan real dan \(a≠0\).

Solusi penyelesaian suatu persamaan kuadrat disebut sebagai akar-akar persamaan kuadrat tersebut. Yang dimaksud dengan akar-akar persamaan kuadrat adalah nilai dari variabel \(x\) yang memenuhi ketika disubstitusikan ke dalam persamaan kuadrat tersebut.

Pada umumnya terdapat tiga cara untuk mencari akar-akar persamaan kuadrat, yaitu cara pemfaktoran, melangkapkan kuadrat sempurna, dan rumus abc. Pada artikel ini kita akan bahas cara pemfaktoran.

Dalam mencari akar persamaan kuadrat dengan pemfaktoran, kita membuat persamaan kuadrat tersebut menjadi perkalian dua persamaan linear. Perhatikan contoh persamaan kuadrat beserta hasil pemfaktorannya berikut ini:

Gambar

Perhatikan bahwa ada empat bentuk persamaan kuadrat dan hasil pemfaktorannya pada contoh di atas. Keempat bentuk persamaan kuadrat tersebut dapat dinyatakan sebagai

  1. Persamaan kuadrat bentuk \(ax^2+bx+c=0\) dengan \(a = 1\)
  2. Persamaan kuadrat bentuk \(ax^2+bx+c=0\) dengan \(a≠1\) dan \(a≠0\)
  3. Persamaan kuadrat bentuk \(ax^2+bx=0\) dengan \(c=0\)
  4. Persamaan kuadrat bentuk \(x^2-4=0\) dengan \(b=0\)

Hal yang perlu dicatat ialah bahwa terdapat perlakuan yang sedikit berbeda dalam memfaktorkan atau mencari akar-akar persamaan kuadrat untuk masing-masing kasus di atas. Kita akan membahas satu demi satu cara memfaktorkan keempat bentuk persamaan tersebut.

Mencari Akar Persamaan Kuadrat Bentuk \(ax^2+bx+c=0\) dengan \(a = 1\).

Untuk mencari akar-akar persamaan kuadrat bentuk ini dengan cara pemfaktoran, perhatikanlah tabel yang membantu berikut ini.

Gambar

Beberapa langkah yang perlu dilakukan yaitu:

  1. Tentukanlah dua angka sembarang, misalnya \(p\) dan \(q\), yang mana jika dijumlahkan hasilnya sama dengan \(b \ (p + q = b)\) dan jika dikalikan hasilnya sama dengan \(ac \ (p × q = ac)\) dan karena \(a = 1\), maka \(p × q = c\). Untuk menentukan pasangan angka \(p\) dan \(q\), kita dapat mencari bilangan-bilangan yang merupakan faktor dari \(ac\) atau \(c\) saja karena \(a = 1\).
  2. Setelah nilai \(p\) dan \(q\) telah ditentukan, substitusikan nilai \(p\) dan \(q\) tersebut pada rumus pemfaktoran yang diberikan pada tabel di atas.

Untuk lebih memahami penjelasan di atas, perhatikanlah contoh berikut:

Contoh 1:

Dengan cara pemfaktoran, tentukanlah akar-akar dari persamaan berikut.

  1. \( x^2-5x+6 = 0 \)
  2. \( x^2 + 9x + 14 = 0 \)

Pembahasan:

  1. Perhatikan bahwa untuk \(x^2-5x+6=0\), maka \(a = 1, \ b = -5, \ c = 6\) dan \(ac = 1 × 6 = 6\). Untuk menentukan nilai \(p\) dan \(q\) kita cari terlebih dahulu faktor dari 6 yakni
  2. Gambar

    Dari delapan angka di atas, tentukanlah dua angka yang jika dijumlahkan hasilnya sama dengan -5 dan jika dikalikan hasilnya sama dengan 6. Angka yang memenuhi kondisi tersebut yaitu -2 dan -3. Jadi, kita peroleh \(p = - 2\) dan \(q = -3\) (atau kebalikannya). Dengan substitusi nilai \(p\) dan \(q\) ke rumus pemfaktoran, kita peroleh

    Gambar

    Dengan demikian, akar-akar dari persamaan kuadrat \(x^2-5x+6=0\) adalah \(x_1 = 2\) dan \(x_2 = 3\).

  3. Untuk persamaan kuadrat \(x^2+9x+14=0\), maka \(a = 1, \ b = 9, \ c = 14\) dan \(ac = 1 × 14 = 14\). Faktor dari 14 yaitu
  4. Gambar

    Dari delapan angka di atas, tentukanlah dua angka yang jika dijumlahkan hasilnya sama dengan 9 dan jika dikalikan hasilnya sama dengan 14. Dua angka tersebut yaitu 2 dan 7. Jadi, kita peroleh \(p = 2\) dan \(q = 7\). Dengan substitusi nilai \(p\) dan \(q\) ke rumus pemfaktoran, kita peroleh

    Gambar

    Dengan demikian, akar-akar dari persamaan kuadrat \(x^2+9x+14=0\) adalah \(x_1 = -2\) dan \(x_2 = -7\).

Akar Persamaan Kuadrat Bentuk \(ax^2+bx+c = 0\) dengan \(a≠1\)

Untuk menentukan akar-akar persamaan kuadrat bentuk ini, perhatikan tabel yang membantu berikut ini.

Gambar

Langkah-langkah untuk menemukan akar-akar persamaan kuadrat bentuk ini mirip dengan yang sudah kita bahas di atas yaitu pertama carilah nilai \(p\) dan \(q\) di mana jika dijumlahkan hasilnya sama dengan b dan jika dikalikan hasilnya sama dengan ac. Setelah nilai \(p\) dan \(q\) telah ditentukan, substitusikan nilai \(p\) dan \(q\) tersebut pada rumus pemfaktoran yang diberikan pada tabel di atas. Perhatikanlah contoh berikut ini.

Contoh 2:

Dengan cara pemfaktoran, tentukanlah akar-akar persamaan berikut.

  1. \( 2x^2-4x-16=0 \)
  2. \( 4x^2-16x+15 = 0 \)

Pembahasan:

  1. Untuk persamaan kuadrat \(2x^2-4x-16=0\), maka \(a = 2, \ b = -4, \ c = -16\), dan \(ac = 2 × -6 = - 32\). Untuk menentukan nilai \(p\) dan \(q\) kita cari dulu faktor dari -32 yaitu
  2. Gambar

    Dari angka-angka di atas, pasangan angka yang jika dijumlahkan hasilnya -4 dan jika dikalikan hasilnya -32 adalah 4 dan -8. Jadi, kita peroleh \(p = 4\) dan \(q = -8\). Dengan substitusi nilai \(p\) dan \(q\) ke rumus pemfaktoran, kita peroleh

    Gambar

    Dengan demikian, akar-akar dari \(2x^2-4x-16=0\) adalah \(x_1 = 4\) dan \(x_2 = -2\).

  3. Untuk persamaan kuadrat \(4x^2-16x+15 = 0\), maka \(a = 4, \ b = -16, \ c = 15\), dan \(ac = 4 × 15 = 60\). Untuk menentukan nilai \(p\) dan \(q\) kita cari dulu faktor dari 60 yaitu
  4. Gambar

    Dari angka-angka di atas, pasangan angka yang jika dijumlahkan hasilnya -16 dan jika dikalikan hasilnya 60 adalah -6 dan -10. Jadi, kita peroleh \(p = -6\) dan \(q = -10\). Dengan substitusi nilai \(p\) dan \(q\) ke rumus pemfaktoran, kita peroleh

    Gambar

    Dengan demikian, akar-akar dari \(4x^2-16x+15 = 0\) adalah \(x_1 = 3/2\) dan \(x_2 = 5/2\).

Akar Persamaan Kuadrat Bentuk \(ax^2+bx=0\)

Untuk menentukan akar-akar persamaan kuadrat bentuk \(ax^2+bx=0\), kita bisa mengubah bentuk persamaan kuadrat ini menjadi bentuk perkalian faktor-faktor aljabar dalam variabel \(x\). Perhatikan berikut ini.

Gambar

Dengan demikian, akar-akar persaman kuadrat bentuk \(ax^2+bx=0\) adalah 0 dan \(–b/a\). Perhatikan contoh soal berikut.

Contoh 3:

Dengan cara pemfaktoran, tentukanlah akar-akar persamaan berikut.

  1. \( 4x^2-12x=0 \)
  2. \( 3x^2+7x=0 \)

Pembahasan:

  1. Untuk \(4x^2-12x=0\), maka
  2. Gambar

    Dengan demikian, akar-akar dari \(4x^2-12x=0\) adalah 0 atau 3.

  3. Kita dapat menentukan akar persamaan kuadrat \( 3x^2+7x=0 \) dengan cepat yaitu dengan menggunakan ketentuan \(x = 0\) atau \(x = -b/a\) sehingga akar-akar dari persamaan kuadrat ini adalah 0 dan -7/3.
Akar Persamaan Kuadrat Bentuk \(x^2-c=0\)

Untuk mencari akar-akar persamaan kuadrat bentuk \(x^2-c=0\) kita bisa mengubahnya menjadi bentuk perkalian faktor-faktornya, yakni

Gambar

Dengan demikian, kita peroleh akar-akarnya yaitu \(\sqrt{c}\) dan \(-\sqrt{c}\). Perhatikanlah beberapa contoh berikut ini.

Contoh 4:

Tentukan akar-akar persamaan berikut dengan cara pemfaktoran.

  1. \( x^2 - 9 = 0 \)
  2. \( x^2 - 36 = 0 \)

Pembahasan:

  1. Untuk \(x^2-9=0\), maka
  2. Gambar

    Dengan demikian, akar-akar dari \(x^2-9=0\) yaitu 3 dan -3.

  3. Dengan cara yang sama seperti pada (a), kita peroleh
  4. Gambar

    Dengan demikian, akar-akar dari \(x^2-36=0\) yaitu 6 dan -6.

Cukup sekian penjelasan mengenai cara mencari akar-akar suatu persamaan kuadrat dengan pemfaktoran dalam artikel ini. Semoga bermanfaat.

Artikel Terkait

Fear makes the wolf bigger than he is.