www.jagostat.com

www.jagostat.com

Website Belajar Matematika & Statistika

Website Belajar Matematika & Statistika

Matematika Dasar   »   Fungsi   ›  Cara Mencari Fungsi Invers, Contoh Soal dan Pembahasan
Joki Tugas Matematika Murah, Hanya Rp10-50 Ribu. Hub. WA: 0812-5632-4552

Cara Mencari Fungsi Invers, Contoh Soal dan Pembahasan

Banyak fungsi umum, meskipun tidak semua, dipasangkan dengan sebuah invers. Sebuah fungsi hanya akan mempunyai invers jika fungsi tersebut adalah fungsi satu-satu.

Dalam pelajaran matematika tingkat sekolah menengah, kita akan diajarkan tentang cara mencari invers dari suatu fungsi atau fungsi invers. Lalu, apa itu fungsi invers? Misalkan terdapat fungsi \(f(x)\), maka fungsi yang membalikkan fungsi \(f(x)\) disebut kebalikan dari \(f(x)\) atau invers dari \(f(x)\), dan dinotasikan dengan \( f^{-1}(x) \).

Lebih tepatnya, fungsi invers dapat dinyatakan sebagai berikut.

\[ f(x) = y \Leftrightarrow f^{-1}(y) = x \]

Anda dapat melihat ilustrasinya pada Gambar 1 berikut.

Gambar

Gambar 1. Ilustrasi invers fungsi

Banyak fungsi umum, meskipun tidak semua, dipasangkan dengan sebuah invers. Sebuah fungsi hanya akan mempunyai invers jika fungsi tersebut adalah fungsi satu-satu. Terdapat teorema yang penting terkait fungsi invers yang dinyatakan sebagai berikut:

Teorema:

Jika \(f(x)\) mempunyai invers, maka grafik \( y = f(x) \) dan inversnya yaitu \( y = f^{-1}(x) \) merupakan pencerminan satu sama lain terhadap garis \( y = x \).

Untuk memperoleh gambaran mengenai teorema di atas, perhatikanlah Gambar 2 berikut ini.

Gambar

Gambar 2. Ilustrasi invers fungsi

Perhatikan bahwa pada Gambar 2 (a), titik \((a,b)\) dan \((b,a)\) adalah pencerminan satu sama lain terhadap \(y = x\); sedangkan untuk Gambar 2 (b), grafik \(f\) dan \(f^{-1}\) adalah pencerminan satu sama lain terhadap \(y = x\).

Setelah memahami definisi fungsi invers di atas, berikut ini kita akan mempelajari cara mencari fungsi invers. Adapun langkah-langkah untuk mencari invers suatu fungsi, yaitu sebagai berikut:

  1. Buatlah pemisalan \( f(x) = y \) pada persamaan
  2. Lakukan manipulasi aljabar untuk mengubah bentuk \(f(x)=y\) sehingga menjadi bentuk \(x = f(y)\).
  3. Berdasarkan langkah kedua, fungsi inversnya yaitu \( f^{-1}(x) = f(y) \)

Dari tiga langkah di atas, yang sering menjadi permasalahan adalah pada langkah kedua karena sangat membutuhkan kemampuan melakukan manipulasi aljabar pada fungsi awal \(f(x)=y\) sehingga terbentuk \(x = f(y)\). Namun, kamu tidak perlu khawatir karena di sini saya akan memberikan beberapa rumus cepat untuk mencari fungsi invers yang sering keluar.

Terdapat rumus yang memudahkan kita untuk mencari invers dari suatu fungsi. Kita nyatakan dalam tabel berikut:

rumus fungsi invers

Untuk lebih jelasnya, mari kita bahas beberapa contoh soal mencari invers dari suatu fungsi berikut ini.

Contoh 1:

Diketahui \( f: R \to R \) dirumuskan dengan \( f(x) = 3x - 2 \). Tentukanlah fungsi invers dari \(f(x)\) dan hitunglah \( f^{-1}(4) \).

Pembahasan:

Jika \(y\) sama dengan fungsi \( f(x) \) maka invers dari \(y\) adalah \(x\). Sehingga,

\begin{aligned} y &= f(x) = 3x - 2 \\[1em] 3x &= y + 2 \\[1em] x &= \frac{y+2}{3} \\[1em] f^{-1}(y) &= \frac{y+2}{3} \end{aligned}

Karena yang dicari \( f^{-1}(x) \) maka \(y\) diganti dengan \(x\), sehingga

\begin{aligned} f^{-1}(y) = \frac{y+2}{3} \Leftrightarrow f^{-1}(x) = \frac{x+2}{3} \end{aligned}

Kemudian untuk menghitung nilai \( f^{-1}(4) \), maka substitusikan nilai \(x = 4\) ke fungsi invers di atas, sehingga diperoleh

\begin{aligned} f^{-1}(x) = \frac{x+2}{3} \Leftrightarrow f^{-1}(4) = \frac{4+2}{3} = 2 \end{aligned}
Contoh 2:

Tentukanlah invers dari \( f(x) = \frac{2x+1}{x-3}, \ x \neq 3 \).

Pembahasan:

Misalkan \( y = f(x) \), kemudian lakukan manipulasi aljabar sehingga terbentuk \( x = f(y)\). Berikut hasil yang diperoleh:

\begin{aligned} f(x) = \frac{2x+1}{x-3} \Leftrightarrow y &= \frac{2x+1}{x-3} \\[1em] y(x-3) &= 2x + 1 \\[1em] yx - 3y &= 2x + 1 \\[1em] yx - 2x &= 3y + 1 \\[1em] (y-2)x &= 3y + 1 \\[1em] x &= \frac{3y + 1}{y-2} \end{aligned}

Berdasarkan hasil di atas, ganti \(x\) pada ruas kiri dengan \( f^{-1}(x) \) dan \(y\) pada ruas kanan dengan \(x\) sehingga diperoleh \( f^{-1}(x)=\frac{3x + 1}{x-2} \)

Contoh 3:

Jika \( f(x) = x-3 \) maka \( f^{-1}(x) = \cdots \)

  1. \( x-3 \)
  2. \(3-x\)
  3. \(x+3\)
  4. \(x\)
  5. \(3\)

Pembahasan:

Sebelum kita gunakan rumus cepat di atas. Kita coba cari dulu fungsi inversnya menggunakan tiga langkah yang telah dijelaskan di awal artikel. Pertama, kita misalkan fungsi \(f(x)\) sebagai \(y\) \( (f(x)=y) \), kemudian lakukan manipulasi sehingga terbentuk \(x = f(y)\). Perhatikan berikut ini:

\begin{aligned} f(x) &= x-3 \\[8pt] y &= x-3 \\[8pt] x &= y+3 \end{aligned}

Berdasarkan hasil di atas, ganti \(x\) pada ruas kiri menjadi \( f^{-1}(x) \) dan \(y\) pada ruas kanan menjadi \(x\) sehingga diperoleh fungsi invers dari \(f(x)\) yaitu \( f^{-1}(x) = x+3 \).

Sekarang kita coba dengan rumus cepat yang diberikan di atas. Jika \( f(x) = ax+b \) maka fungsi invernya yaitu \( f^{-1}(x) = \frac{x-b}{a} \). Dalam soal diketahui \(f(x)=x-3\) yang berarti nilai \(a=1\) dan \(b=-3\) sehingga \( f^{-1}(x) = \frac{x+3}{1} = x+3 \). Kita peroleh hasil yang sama dengan cara pertama di atas.

Jawaban C.

Contoh 4:

Jika \( f(x) = 2-2x \) maka \( f^{-1}(x) = \cdots \)

  1. \( 1-\frac{1}{2}x \)
  2. \( \frac{1}{2}-x \)
  3. \( \frac{1}{2}+x \)
  4. \(x+1\)
  5. \(x+2\)

Pembahasan:

Pertama, kita misalkan fungsi \(f(x)\) sebagai \(y\) \( (f(x)=y) \), kemudian lakukan manipulasi sehingga terbentuk \(x = f(y)\). Perhatikan berikut ini:

\begin{aligned} f(x) &= 2-2x \\[8pt] y &= 2-2x \\[8pt] 2x &= 2-y \\[8pt] x &= \frac{2-y}{2} \end{aligned}

Berdasarkan hasil di atas, ganti \(x \) pada ruas kiri menjadi \( f^{-1}(x) \) dan \(y\) pada ruas kanan menjadi \(x\) sehingga diperoleh \( f^{-1}(x) = \frac{2-x}{2} = 1-\frac{1}{2}x \).

Jika kamu gunakan rumus cepat 1 di atas, kamu akan peroleh jawaban yang sama.

Jawaban A.

Contoh 5:

Jika \( f(x) = 2x+1 \) maka \( f^{-1}(2) = \cdots \)

  1. 1/2
  2. 1
  3. 2
  4. 3
  5. 4

Pembahasan:

Dengan mengikuti langkah yang sama pada contoh 1 dan 2 di atas, kita peroleh berikut ini:

\begin{aligned} f(x) = 2x+1 \Leftrightarrow y &= 2x+1 \\[8pt] 2x &= y-1 \\[8pt] x &= \frac{y-1}{2} \\[8pt] f^{-1}(x) &= \frac{x-1}{2} \\[8pt] f^{-1}(2) &= \frac{2-1}{2} = \frac{1}{2} \end{aligned}

Jawaban A.

Contoh 6:

Jika diketahui \(f(x) = x^2-2x+1\) maka \( f^{-1}(4) = \cdots \)

  1. 3
  2. 1
  3. 0
  4. -1
  5. -3

Pembahasan:

Misalkan \(f(x)\) sama dengan \(y\) sehingga diperoleh berikut ini:

\begin{aligned} f(x) = x^2-2x+1 \Leftrightarrow y &= x^2-2x+1 \\[8pt] y &= (x-1)^2 \\[8pt] x-1 &= \sqrt{y} \\[8pt] x &= \sqrt{y}+1 \\[8pt] f^{-1}(x) &= \sqrt{x}+1 \\[8pt] f^{-1}(4) &= \sqrt{4}+1 \\[8pt] &= 2 + 1 = 3 \end{aligned}

Jawaban A.

Contoh 7:

Jika \( f(x)=x^2-4 \) maka \( f^{-1}(x) \) adalah…

  1. \( \sqrt{x+4} \)
  2. \( \sqrt{x+2} \)
  3. \( x^2+2 \)
  4. \( x^2-4 \)
  5. \(x^2-2\)

Pembahasan:

Misalkan \(f(x)\) sama dengan \(y\) sehingga diperoleh berikut ini:

\begin{aligned} f(x) = x^2-4 \Leftrightarrow y &= x^2-4 \\[8pt] x^2 &= y+4 \\[8pt] x &= \sqrt{y+4} \\[8pt] f^{-1}(x) &= \sqrt{x+4} \end{aligned}

Jawaban A.

Contoh 8:

Diketahui \( f(x) = 2+\sqrt{x+2} \) maka \( f^{-1}(x) \) adalah…

  1. \( (x-2)^2-2 \)
  2. \( (x-2)^2+2 \)
  3. \( -(x-2)^2+2 \)
  4. \( (x-4)^2-1 \)
  5. \( (x+2)^2-2 \)

Pembahasan:

Misalkan \(f(x)\) sama dengan \(y\) sehingga diperoleh berikut ini:

\begin{aligned} f(x) = 2+\sqrt{x+2} \Leftrightarrow y &= 2+\sqrt{x+2} \\[8pt] y-2 &= \sqrt{x+2} \\[8pt] (y-2)^2 &= x+2 \\[8pt] x &= (y-2)^2-2 \\[8pt] f^{-1}(x) &= (x-2)^2-2 \end{aligned}

Jawaban A.

Contoh 9:

Jika \( f(x)=3^{x-1} \) maka \( f^{-1}(81) = \cdots \)

  1. 1
  2. 2
  3. 3
  4. 4
  5. 5

Pembahasan:

Misalkan \(f(x)\) sama dengan \(y\) sehingga diperoleh berikut ini:

\begin{aligned} f(x) = 3^{x-1} \Leftrightarrow y &= 3^{x-1} \\[1em] {}^3 \! \log y &= x-1 \\[8pt] x &= {}^3 \! \log y+1 \\[8pt] f^{-1}(x) &= {}^3 \! \log x+1 \\[8pt] f^{-1}(81) &= {}^3 \! \log 81+1 \\[8pt] &= {}^3 \! \log 3^4+1 \\[8pt] &= 4 \cdot {}^3 \! \log 3 + 1 \\[8pt] &= 5 \end{aligned}

Jawaban E.

Contoh 10:

Jika \( \displaystyle f \left( \frac{3}{2x-3} \right) = \frac{2x+3}{x+4} \), maka nilai \( f^{-1}(1) \) adalah…

  1. -5
  2. -3
  3. -1
  4. 3
  5. 5

Pembahasan:

Misalkan \( f^{-1}(1)=a \), maka \(f(a)=1\). Dari soal diketahui \( \displaystyle f \left( \frac{3}{2x-3} \right) = \frac{2x+3}{x+4} \) sehingga untuk \( a = \frac{3}{2x-3} \), maka kita peroleh berikut:

\begin{aligned} \frac{2x+3}{x+4} &= 1 \\[8pt] 2x+3 &= x+4 \\[8pt] x &= 1 \end{aligned}

Berdasarkan hasil di atas, kita peroleh:

\begin{aligned} a &= \frac{3}{2x-3} \\[8pt] &= \frac{3}{2(1)-3} = \frac{3}{-1} = -3 \end{aligned}

Dengan demikian, nilai dari \( f^{-1}(1) = -3 \).

Jawaban B.

Jika Anda merasa artikel ini bermanfaat, klik tombol suka di bawah ini dan jika ada pembahasan yang kurang jelas dari artikel ini silahkan tanyakan di kolom komentar. Terima kasih.

Artikel Terkait
img

Komposisi fungsi

img

Fungsi invers dan komposisi fungsi


If you live to be a hundred, I want to live to be a hundred minus one day so I never have to live without you.

A.A. Milne