JAGOSTAT.COM

JAGOSTAT.COM

Website Belajar Matematika & Statistika

Website Belajar Matematika & Statistika

Bahas Soal Matematika » Turunan

Contoh Soal dan Pembahasan Turunan Fungsi Trigonometri Matematika SMA


Pada artikel ini kita akan membahas beberapa contoh soal turunan fungsi trigonometri matematika SMA. Pada dasarnya, menyelesaikan soal turunan fungsi trigonometri mirip dengan cara menyelesaikan turunan fungsi aljabar yakni kita dapat menggunakan rumus-rumus turunan seperti turunan perkalian, pembagian, dan turunan fungsi komposisi dengan aturan rantai.

Hanya saja, karena di sini fungsi yang akan dicari turunannya adalah fungsi trigonometri maka kita perlu pahami dulu turunan dari fungsi trigonometri dasar berikut ini:

rumus turunan trigonometri

Perhatikan bahwa kita menggunakan notasi \( f’(x) \) untuk menyatakan turunan seperti diberikan di atas. Sebenarnya masih ada beberapa cara lain untuk menyatakan turunan, yakni:

\[ y' \quad \frac{dy}{dx} \quad \text{dan} \quad Dx \]

Sebelum masuk ke contoh soal dan pembahasan dari turunan fungsi trigonometri, sebaiknya kita sudah menguasai beberapa rumus turunan berikut ini agar dapat mengerjakan soal turunan trigonometri dengan lancar.

rumus turunan, turunan fungsi aljabar, aturan turunan

Untuk lebih jelasnya, kita langsung masuk ke contoh soal dan pembahasan turunan fungsi trigonometri berikut ini.

Contoh 1:

Jika \( f(x)=-(\cos^2 x - \sin^2 x) \), maka \( f’(x) \) adalah…

Pembahasan »

Untuk mengerjakan soal ini kita bisa meminjam sifat dari identitas trigonometri berikut:

\begin{aligned} \sin 2x &= 2 \sin x \cos x \\[8pt] \cos 2x &= \cos^2 x - \sin^2 x \end{aligned}

Dengan demikian,

contoh turunan trigonometri
Contoh 2:

Jika \( y = 3x^4 + \sin 2x + \cos 3x \), maka \( \displaystyle \frac{dy}{dx} = \cdots \)

Pembahasan »
contoh turunan trigonometri
Contoh 3:

Jika \( y = 2 \sin 3x – 3 \cos 2x \), maka \( \displaystyle \frac{dy}{dx} = \cdots \)

Pembahasan »
contoh turunan trigonometri
Contoh 4:

Jika \( \displaystyle f(x) = \frac{ \sin x + \cos x }{ \sin x }, \sin x \neq 0 \) dan \( f’(x) \) adalah turunan \( f(x)\), maka \( \displaystyle f’ \left( \frac{\pi}{2} \right) = \cdots \)

Pembahasan »

Misalkan: \( u = \sin x + \cos x \) dan \( v = \sin x \) sehingga \( f(x) = u/v \). Ingat bahwa rumus turunan untuk pembagian yaitu:

contoh turunan trigonometri

Kita cari turunan dari \(u\) dan \(v\) terlebih dahulu, yakni:

contoh turunan trigonometri

Dengan demikian,

contoh turunan trigonometri
Contoh 5:

Jika \( \displaystyle f(x) = a \tan x + bx, \ f’ \left( \frac{\pi}{4} \right) = 3 \) dan \( \displaystyle f’ \left( \frac{\pi}{3} \right) = 9 \), maka \( a + b = \cdots \)

Pembahasan »

Ingat bahwa turunan dari \( \tan x \) adalah \( \sec^2 x \) sehingga

contoh turunan trigonometri

Selanjutnya, dengan menyelesaikan SPLDV (persamaan 1 dan 2) di atas dengan cara substitusi atau eliminasi, kita peroleh nilai \(a = 3\) dan \(b = -3\) sehingga \(a + b = 0\).

Contoh 6:

Turunan pertama dari \( y = \cos^4 x \) adalah…

Pembahasan »

Untuk menyelesaikan soal turunan ini kita bisa gunakan aturan rantai. Misalkan \( u = \cos x \) sehingga kita dapatkan hasil berikut:

contoh turunan trigonometri

Dengan demikian, turunan pertama dari \( y = \cos^4 x \) dengan cara aturan rantai, yakni:

contoh turunan trigonometri
Contoh 7:

Jika \( f(x) = \sin (\sin^2 x) \), maka \( f’(x) = \cdots \)

Pembahasan »

Untuk mencari turunan pertama dari fungsi pada soal di atas, kita bisa gunakan aturan rantai. Misalkan \( u = \sin x \) sehingga

contoh turunan trigonometri

Misalkan lagi \( v = u^2 \) sehingga

contoh turunan trigonometri

Dengan demikian, turunan pertama dari \( f(x) = \sin (\sin^2 x) \) berdasarkan aturan rantai, yaitu:

contoh turunan trigonometri
Contoh 8:

Misalkan \( f(x) = 2 \tan (\sqrt{\sec x}) \), maka \( f’(x) = \cdots \)

Pembahasan »

Kita dapat gunakan aturan rantai untuk menyelesaikan soal ini. Misalkan \( u = \sec x \) sehingga

contoh turunan trigonometri

Misalkan lagi \( v = \sqrt{u} \) sehingga

contoh turunan trigonometri

Dengan demikian, turunan pertama dari \( f(x) = \sin (\sin^2 x) \) berdasarkan aturan rantai, yaitu:

contoh turunan trigonometri
Contoh 9:

Turunan pertama dari fungsi \( \displaystyle f(x) = \frac{1+\cos x}{\sin x} \) adalah \( f’(x) = \cdots \)

Pembahasan »

Misalkan: \( u = 1 + \cos x \) dan \( v = \sin x \) sehingga \( f(x) = u/v \). Ingat bahwa rumus turunan untuk pembagian yaitu:

contoh turunan trigonometri

Kita cari turunan dari \(u\) dan \(v\) terlebih dahulu, yakni:

contoh turunan trigonometri

Dengan demikian,

contoh turunan trigonometri
Contoh 10:

Jika fungsi \( f(x) = \sin ax + \cos bx \) memenuhi \( f’(0) = b \) dan \( \displaystyle f’ \left( \frac{\pi}{2a} \right) = -1 \), maka \(a + b = \cdots \)

Pembahasan »
contoh turunan trigonometri contoh turunan trigonometri

Karena \( b = a \) dan \(a = 1\), maka \(b\) juga bernilai 1 sehingga \( a + b = 1 + 1 = 2 \).

Contoh 11:

Jika \( f(x) = \sin x \cos 3x \), maka \( \displaystyle f’ \left( \frac{1}{6} \pi \right) = \cdots \)

Pembahasan »

Misalkan \( u = \sin x \) dan \( v = \cos 3x \) sehingga \( f(x) = u \cdot v \). Ingat bahwa rumus turunan dari perkalian dua fungsi yaitu:

contoh turunan trigonometri

Selanjutnya, kita cari turunan dari u dan v terlebih dahulu, yakni:

contoh turunan trigonometri

Dengan demikian,

contoh turunan trigonometri
Contoh 12:

Turunan pertama dari fungsi \( y = (\sin x + \cos x)^2 \) adalah…

Pembahasan »

Untuk mencari turunan dari fungsi dalam soal ini ada dua cara yang bisa digunakan. Cara yang pertama yaitu dengan menyederhanakan fungsinya terlebih dahulu lalu mencari turunannya. Perhatikan berikut ini:

contoh turunan trigonometri

Cara kedua yaitu langsung menggunakan sifat dari turunan.

contoh turunan trigonometri
Contoh 13:

Jika \( f(x) = \sqrt{1+\sin^2 x} \) di mana \( 0 \leq x \leq \pi \), maka \( f’(x) \cdot f(x) \) sama dengan…

Pembahasan »
contoh turunan trigonometri
Contoh 14:

Diketahui \( f(x) = x \sin 3x \), maka \( f’ \left( \frac{\pi}{4} \right) \) sama dengan…

Pembahasan »

Misalkan \( u = x \) dan \( v = \sin 3x \), maka \( f(x) = u \cdot v \). Ingat bahwa rumus turunan dari perkalian dua fungsi, yaitu:

contoh turunan trigonometri

Selanjutnya, kita cari turunan dari \(u\) dan \(v\) terlebih dahulu, yakni:

contoh turunan trigonometri

Dengan demikian, turunan dari \( f(x) = x \sin 3x \), yakni:

contoh turunan trigonometri
Contoh 15:

Jika \( \displaystyle f(x) = \frac{ \cos x - \sin x }{ \cos x + \sin x } \), dengan \( \cos x + \sin x \neq 0 \), maka \( f’(x) = \cdots \)

Pembahasan »

Misalkan \( u = \cos x - \sin x \) dan \( v = \cos x + \sin x \) sehingga \( f(x) = u/v \). Ingat bahwa rumus turunan dari pembagian dua fungsi, yaitu:

contoh turunan trigonometri

Kita cari turunan dari \(u\) dan \(v\) terlebih dahulu, yakni:

contoh turunan trigonometri

Dengan demikian,

contoh turunan trigonometri
Contoh 16:

Jika \( f(x) = x \cos x \), maka \( \displaystyle f’ \left(x + \frac{\pi}{2} \right) = \cdots \)

Pembahasan »

Ingat bahwa:

contoh turunan trigonometri contoh turunan trigonometri

Sekarang kita akan menyelesaikan turunan dari fungsi di atas menggunakan rumus turunan untuk perkalian dua fungsi. Misalkan \( u = - \left( x + \frac{\pi}{2} \right)\) dan \( v = \sin x \) sehingga

contoh turunan trigonometri

Dengan demikian,

contoh turunan trigonometri
Contoh 17:

Jika \( f(x) = (\sin x + \cos x)(\cos 2x + \sin 2x) \) dan \( f’(x) = 2 \cos 3x + g(x) \), maka \( g(x) = \cdots \)

Pembahasan »

Untuk menyelesaikan soal ini kita mungkin memerlukan catatan rumus jumlah dan selisih dua sudut pada perbandingan trigonometri.

contoh turunan trigonometri

Jadi, \( g(x) = \cos 3x - \sin x \).