www.jagostat.com
www.jagostat.com
Website Belajar Matematika & Statistika
Website Belajar Matematika & Statistika
Bahas Soal Matematika » Limit dan Kekontinuan › Contoh Soal dan Pembahasan Limit dan Kekontinuan Fungsi
Joki Tugas Matematika Murah, Hanya Rp10-50 Ribu. Hub. WA: 0812-5632-4552
Contoh Soal dan Pembahasan Limit dan Kekontinuan Fungsi
Suatu fungsi dikatakan kontinu pada suatu titik tertentu jika grafik fungsinya tidak terputus di titik tersebut. Selain menggunakan grafik, kita dapat menggunakan konsep limit untuk menentukan kekontinuan fungsi. Ada tiga syarat yang harus terpenuhi agar suatu fungsi bersifat kontinu. Pada artikel ini kita akan membahas ketiga syarat tersebut lengkap dengan contoh soal dan pembahasannya.
Fungsi \( f(x) \) dikatakan kontinu pada titik \( x = a \) jika memenuhi tiga syarat berikut ini:
- \( f(a) \) ada
- \( \displaystyle \lim_{x \to a} \ f(x) \) ada
- \( \displaystyle \lim_{x \to a} \ f(x) = f(a) \)
Syarat pertama ini mau menyatakan bahwa nilai fungsinya terdefinisi di \(x = a\) atau dapat dihitung.
Syarat kedua ini menyatakan bahwa nilai limit tersebut ada yakni ketika besar limit kiri dan limit kanannya adalah sama.
Syarat ketiga ini menyatakan bahwa nilai limit tersebut sama dengan nilai fungsinya.
Agar semakin paham dengan penjelasan di atas, berikut ini diberikan beberapa contoh soal dan pembahasan terkait penggunaan limit untuk menentukan apakah suatu fungsi kontinu pada titik tertentu.
Contoh 1:
Tunjukkan bahwa fungsi \( f(x) = 2x-1 \) kontinu di titik \( x = 1 \).
Pembahasan:
Seperti sudah dijelaskan di atas bahwa ada tiga syarat yang harus terpenuhi agar suatu fungsi dikatakan kontinu pada suatu titik tertentu. Kita akan mengecek ketiga syarat tersebut pada soal. Untuk syarat pertama, \( f(1) = 2 \cdot 1 - 1 = 1 \). Untuk syarat kedua kita perlu menunjukkan bahwa limit kiri dan limit kanan dari fungsi \(f(x)\) di \(x=1\) adalah sama. Perhatikan berikut ini:
\begin{aligned} \lim_{x \to 1^-} 2x-1 = 2(1)-1=1 \\[8pt] \lim_{x \to 1^+} 2x-1 = 2(1)-1=1 \end{aligned}
Karena limit kiri dan kanannya sama, maka \( \displaystyle \lim_{x \to 1} \ 2x-1 = 1 \). Selanjutnya pada syarat yang ketiga terbukti bahwa \( \displaystyle \lim_{x \to 1} \ 2x-1 = f(1) = 1 \). Dengan demikian, karena ketiga syarat terpenuhi maka dapat dikatakan bahwa fungsi \( f(x) = 2x-1 \) adalah kontinu pada titik \(x=1\).
Contoh 2:
Tunjukkan apakah fungsi \( f(x) = \frac{x^2-1}{x-1} \) kontinu di titik \( x = 1 \)?
Pembahasan:
Untuk menunjukkan kontinuitas fungsi \(f(x)\) ini, kita bisa mengecek syarat pertama di atas. Kita peroleh hasil berikut:
\begin{aligned} f(x) &= \frac{x^2-1}{x-1} \\[8pt] f(1) &= \frac{1^2-1}{1-1} = \frac{0}{0} \end{aligned}
Karena hasil yang diperoleh berupa bentuk tak tentu 0/0 yang tidak mempunyai arti atau nilai fungsinya tidak ada atau tidak terdefinisi, maka syarat pertama ini tidak terpenuhi. Dengan demikian, dapat disimpulkan bahwa fungsi \( f(x) = \frac{x^2-1}{x-1} \) tidak kontinu atau diskontinu di titik \(x = 1\).
Contoh 3:
Tentukan titik di mana fungsi \( f(x) = \frac{1}{x^2-x-6} \) tidak kontinu.
Pembahasan:
Ingat bahwa suatu fungsi dikatakan kontinu jika memenuhi ketiga syarat seperti yang dijelaskan di awal artikel ini. Jika salah satu syarat tidak terpenuhi maka fungsi tersebut tidak kontinu. Perhatikan bahwa fungsi yang diberikan dalam soal ini berbentuk pecahan di mana fungsi ini tidak ada nilai atau tidak terdefinisi jika penyebutnya bernilai nol.
Jika penyebutnya bernilai nol, maka kita peroleh berikut ini:
\begin{aligned} x^2-x-6 &= 0 \\[8pt] (x-3)(x+2) &= 0 \\[8pt] x = 3 \ \ \text{atau} \ \ x &= -2 \end{aligned}
Jadi, berdasarkan hasil di atas, fungsi \( f(x) = \frac{1}{x^2-x-6} \) tidak akan kontinu pada titik \( x = 3 \) dan \(x = -2\).
Contoh 4:
Diketahui fungsi berikut adalah kontinu,
\[ f(x) = \begin{cases} ax+3, &\quad \text{untuk} \ x \leq 2 \\[1em] x^2+1, &\quad \text{untuk} \ 2 < x \leq 4 \\[1em] 5-bx, &\quad \text{untuk} \ x > 4 \end{cases} \]
Berapakah nilai \( a + b \)?
Pembahasan:
Untuk memeriksa kekontinuan fungsi tersebut kita dapat mengambil sembarang titik pada interval yang diberikan pada soal. Biasanya titik yang diambil adalah batas dari interval tersebut yang mana dalam hal ini di titik \(x = 2\) dan \(x = 4\). Karena fungsi \( f(x) \) adalah kontinu, maka berdasarkan syarat kedua, limit kiri dan limit kanan dari fungsi tersebut adalah sama.
Untuk di titik \(x = 2\), kita peroleh:
\begin{aligned} \lim_{x \to 2^-} \ f(x) &= \lim_{x \to 2^+} \ f(x) \\[8pt] \lim_{x \to 2^-} \ ax+3 &= \lim_{x \to 2^+} \ x^2+1 \\[8pt] 2a+3 &= 2^2+1 \\[8pt] 2a+3 &= 5 \\[8pt] 2a &= 5-3 \\[8pt] a &= \frac{2}{2} = 1 \end{aligned}
Untuk di titik \(x = 4\), kita peroleh:
\begin{aligned} \lim_{x \to 4^-} \ f(x) &= \lim_{x \to 4^+} \ f(x) \\[8pt] \lim_{x \to 4^-} \ x^2+1 &= \lim_{x \to 4^+} \ 5-bx \\[8pt] 4^2+1 &= 5-4b \\[8pt] 17 &= 5-4b \\[8pt] 4b &= 5-17 \\[8pt] b &= \frac{-12}{4} = -3 \end{aligned}
Dengan demikian, kita peroleh:
\begin{aligned} a + b &= 1 + (-3) \\[8pt] &= -2 \end{aligned}
Jadi, nilai \( a + b = -2 \).
Cukup sekian untuk artikel ini. Jika Anda merasa artikel ini bermanfaat, bantu klik tombol suka di bawah ini dan jika ada yang kurang jelas dari artikel ini silahkan tanyakan di kolom komentar. Terima kasih.
Penulis: Tju Ji Long · Statistisi
Artikel Terkait
Inside of every problem lies an opportunity.