JAGOSTAT.COM

JAGOSTAT.COM

Website Belajar Statistika: Konsep, Teori, dan Penerapan

Website Belajar Statistika: Konsep, Teori, dan Penerapan

Matematika Dasar » Turunan Fungsi › Fungsi Naik dan Fungsi Turunan
Turunan Fungsi

Fungsi Naik dan Fungsi Turunan

Salah satu penerapan dari turunan adalah untuk menentukan kapan suatu fungsi naik (increasing), turun (decreasing) atau konstan (constant).


Oleh Tju Ji Long · Statistisi

Salah satu penerapan dari turunan adalah untuk menentukan kapan suatu fungsi naik (increasing), turun (decreasing) atau konstan (constant). Istilah naik, turun, dan konstan digunakan untuk menjelaskan perilaku sebuah fungsi ketika bergerak dari kiri ke kanan sepanjang grafiknya.

Sebagai contoh, grafik pada Gambar 1 di bawah dapat dijelaskan sebagai fungsi yang naik pada sebelah kiri \(x = 0\), turun pada \(x = 0\) sampai \(x = 2\), naik dari \( x = 2\) sampai \(x = 4\), dan konstan pada sebelah kanan \(x = 4\).

Gambar

Gambar 1. Ilustrasi fungsi naik, turun, dan konstan

Untuk lebih jelasnya, kita nyatakan fungsi naik, fungsi turun, dan fungsi konstan pada definisi berikut.

Definisi: Fungsi Naik, Fungsi Turun, dan Fungsi Konstan

Misalkan fungsi \(f\) terdefinisi pada sebuah interval, dan andaikan \(x_1\) dan \(x_2\) menunjukkan titik pada interval tersebut. Maka

  1. Fungsi \(f\) naik pada interval tersebut jika \(f(x_1) < f(x_2)\) bilamana \(x_1 < x_2\).
  2. Fungsi \(f\) turun pada interval tersebut jika \(f(x_1) > f(x_2)\) bilamana \(x_1 < x_2\).
  3. Fungsi \(f\) konstan pada interval tersebut jika \(f(x_1) = f(x_2)\) utuk semua titi \(x_1\) dan \(x_2\).

Gambar 2 di bawah memberikan ilustrasi mengenai fungsi naik, fungsi turun, dan fungsi konstan sesuai dengan definisi di atas.

Gambar

Gambar 2. Ilustrasi fungsi naik, turun, dan konstan

Pada artikel sebelumnya kita telah belajar mengenai garis singgung pada kurva. Sekarang perhatikan Gambar 3 di bawah yang menunjukkan kaitan antara fungsi naik, fungsi turun, dan konstan dengan garis singgung (tangent line) suatu kurva.

Gambar

Gambar 3. Kaitan fungsi naik, turun, dan konstan dengan garis singgung

Gambar 3 di atas menunjukkan bahwa sebuah fungsi \(f\) yang terdiferensialkan akan naik pada interval di mana tiap-tiap garis singgung pada grafiknya mempunyai kemiringan positif (has positive slope), akan turun pada interval di mana tiap-tiap garis singgung pada grafiknya mempunyai kemiringan negatif (has negative slope), dan konstan pada interval di mana tiap-tiap garis singgung pada grafiknya mempunyai kemiringan nol (has zero slope). Observasi intuitif ini dapat dinyatakan dalam teorema penting berikut ini.

Teorema:

Andaikan fungsi \(f\) adalah fungsi yang kontinu pada interval tertutup \( [a,b] \) dan terdiferensialkan pada interval terbuka (a,b). Maka

  1. Jika \(f'(x) > 0\) untuk setiap nilai \(x\) pada \((a,b)\), maka fungsi \(f\) naik pada \([a,b]\).
  2. Jika \(f'(x) < 0\) untuk setiap nilai \(x\) pada \((a,b)\), maka fungsi \(f\) turun pada \([a,b]\).
  3. Jika \(f'(x) = 0\) untuk setiap nilai \(x\) pada \((a,b)\), maka fungsi \(f\) konstan pada \([a,b]\).

Meskipun dinyatakan untuk interval tertutup, teorema di atas juga berlaku untuk setiap interval di mana fungsi \(f\) kontinu. Misalnya, jika fungsi \(f\) kontinu pada \([a, +∞)\) dan \(f'(x) > 0 \) pada \((a, +∞)\), maka fungsi \(f\) turun pada \([a, +∞)\); dan jika fungsi \(f\) kontinu pada \( (-∞, +∞) \) dan \(f'(x) < 0 \) pada \( (-∞, +∞) \), maka fungsi \(f\) turun pada \( (-∞, +∞) \).

Contoh 1:

Carilah interval di mana fungsi \( f(x) = x^2 - 4x + 3 \) naik dan interval di mana fungsinya turun.

Pembahasan:

Perhatikan grafik untuk fungsi \( f(x) = x^2 - 4x + 3 \) di bawah yang menunjukkan bahwa fungsi \(f\) turun untuk semua \(x \leq 2\) dan menaik pada \( x \geq 2 \).

Gambar

Untuk mengonfirmasi ini, kita akan analisis turunan fungsi tersebut. Turunan dari \(f\) yaitu

Gambar

Dengan demikian,

Gambar

Karena \(f\) adalah kontinu di mana-mana, maka \(f\) akan turun pada interval \( (-\infty, 2] \) dan naik pada interval \( [2, +\infty] \).

Kesimpulan ini konsisten dengan grafik \(f\) pada Gambar di atas.

Contoh 2:

Carilah interval di mana fungsi \( f(x) = x^3 \) naik dan interval di mana fungsinya turun.

Pembahasan:

Perhatikan grafik untuk fungsi \( f(x) = x^3 \) di bawah yang menunjukkan bahwa fungsi \(f\) naik sepanjang sumbu-x.

Gambar

Untuk mengonfirmasi ini, kita akan mencari turunan fungsi tersebut. Dari hasil perhitungan diperoleh \( f'(x) = 3x^2 \). Dengan demikian,

Gambar

Karena \(f\) adalah kontinu di mana-mana, dan f naik pada interval \( (-\infty, 0] \) dan naik pada interval \( [0, +\infty] \), maka \(f\) naik pada interval \( (-\infty, +\infty) \).

Kesimpulan ini konsisten dengan grafik \(f\) pada Gambar di atas.

Cukup sekian penjelasan mengenai penerapan turunan untuk menentukan kapan suatu fungsi naik, turun, atau konstan dalam artikel ini. Semoga bermanfaat.

Artikel Terkait

Somewhere in the world someone is training when you are not. When you race him, he will win.