Matematika Dasar   »   Pertidaksamaan   ›  Menyelesaikan Pertidaksamaan Hasil Bagi

Pertidaksamaan Hasil Bagi

Menyelesaikan Pertidaksamaan Hasil Bagi

Pertidaksamaan hasil bagi dua polinom adalah pertidaksamaan yang berbentuk pecahan di mana penyebutnya memuat suatu variabel.

Oleh Tju Ji Long · Statistisi

Hub. WA: 0812-5632-4552

Pada artikel ini kita akan fokus membahas cara menyelesaikan atau mencari himpunan penyelesaian dari suatu pertidaksamaan yang berupa hasil bagi dua polinom (suku banyak) atau pertidaksamaan rasional.

Sekarang perhatikan dua pertidaksamaan dalam bentuk pecahan berikut ini.

Apakah dua pertidaksamaan di atas termasuk pertidaksamaan hasil bagi atau pertidaksamaan rasional? Tentu saja tidak. Pertidaksamaan pertama bukan pertidaksamaan hasil bagi atau rasional karena penyebut pada pertidaksamaan adalah berupa konstanta atau bukan suatu variabel.

Sedangkan, pertidaksamaan kedua termasuk pertidaksamaan hasil bagi atau rasional karena penyebut pertidaksamaan tersebut memuat suatu variabel. Jadi, dapat kita simpulkan bahwa pertidaksamaan hasil bagi atau rasional adalah pertidaksamaan yang berbentuk pecahan di mana penyebutnya memuat suatu variabel.

Jenis-jenis Pertidaksamaan Hasil Bagi

Pada umumnya, pertidaksamaan hasil bagi dapat dibagi menjadi dua yakni

1. Pertidaksamaan hasil bagi linear. Bentuk umum pertidaksamaan linear ini berupa


Perhatikan bahwa tanda "<" dapat diganti dengan tanda pertidaksamaan yang lain.

2. Pertidaksamaan hasil bagi kuadrat, yakni pertidaksamaan hasil bagi yang memuat bentuk kuadrat pada pembilang atau penyebutnya saja atau pun pada pembilang dan penyebutnya sekaligus. Perhatikan pertidaksamaan hasil bagi kuadrat berikut.


Sekali lagi bahwa kita dapat mengganti tanda "<" dengan tanda pertidaksamaan yang lain.

Sifat-sifat Pertidaksamaan Hasil Bagi

Untuk menyelesaikan pertidaksamaan hasil bagi, penting untuk anda mengingat kembali sifat-sifat dalam pembagian. Kita nyatakan ini sebagai berikut.

Dari sifat-sifat pembagian yang diberikan di atas, maka kita peroleh sifat-sifat pertidaksamaan hasil bagi sebagai berikut:

1. Untuk \( \frac{f(x)}{g(x)} > 0 \) dan \( \frac{f(x)}{g(x)} ≥ 0 \) akan berkaitan dengan sifat \( \frac{(+)}{(+)} = (+) \) dan \( \frac{(-)}{(-)} = (+) \). Artinya, agar \( \frac{f(x)}{g(x)} \) bernilai positif (>0), maka f(x) dan g(x) harus sama-sama bernilai positif atau sama-sama bernilai negatif. Selain itu, karena \( \frac{f(x)}{0} \) adalah tidak terdefinisi, maka syarat untuk \( \frac{f(x)}{g(x)} \) adalah \( g(x) \neq 0 \). Dengan demikian, kita peroleh hasil sebagai berikut

Definisi 1:

Jika \( \frac{f(x)}{g(x)} > 0 \), maka \( f(x) > 0 \) dan \( g(x) > 0 \) atau \( f(x) < 0 \) dan \( g(x) < 0 \)

Jika \( \frac{f(x)}{g(x)} ≥ 0 \), maka \( f(x) ≥ 0 \) dan \( g(x) > 0 \) atau \( f(x) ≤ 0 \) dan \( g(x) < 0 \)

2. Untuk \( \frac{f(x)}{g(x)} < 0 \) dan \( \frac{f(x)}{g(x)} ≤ 0 \) akan berkaitan dengan sifat \( \frac{(+)}{(-)} = (-) \) dan \( \frac{(-)}{(+)} = (-) \). Artinya, agar \( \frac{f(x)}{g(x)} \) bernilai negatif (<0), maka f(x) dan g(x) harus memiliki tanda yang berbeda yakni salah satu harus positif dan yang lainnya harus negatif. Selain itu, karena \( \frac{f(x)}{0} \) adalah tidak terdefinisi, maka syarat untuk \( \frac{f(x)}{g(x)} \) adalah \( g(x) \neq 0 \). Dengan demikian, kita peroleh hasil sebagai berikut

Definisi 2:

Jika \( \frac{f(x)}{g(x)} < 0 \), maka \( f(x) > 0 \) dan \( g(x) < 0 \) atau \( f(x) < 0 \) dan \( g(x) > 0 \)

Jika \( \frac{f(x)}{g(x)} ≤ 0 \), maka \( f(x) ≥ 0 \) dan \( g(x) > 0 \) atau \( f(x) ≤ 0 \) dan \( g(x) < 0 \)

Langkah-langkah Menyelesaikan Pertidaksamaan Hasil Bagi

Untuk menyelesaikan pertidaksamaan hasil bagi, perhatikanlah beberapa langkah berikut ini.

Langkah 1: Pindahkan seluruh suku ke dalam satu ruas atau buatlah ruas kanan pertidaksamaan menjadi nol. Dalam beberapa kasus, langkah pertama ini tidak perlu dilakukan karena ruas kanan pertidaksamaan telah bernilai nol.

Langkah 2: Lakukan operasi aljabar atau lakukan pemfaktoran dengan tujuan untuk menyederhanakan bentuk pertidaksamaan. Dalam beberapa kasus, tidak dapat dilakukan operasi aljabar sehingga anda dapat melewati langkah kedua ini.

Langkah 3: Cari nilai x yang memenuhi berdasarkan sifat-sifat pembagian atau yang telah dinyatakan pada Definisi 1 dan Definisi 2. Lalu, tuliskan nilai x yang diperoleh tersebut pada garis bilangan.

Langkah 4: Ambil sembarang titik-titik uji pada garis bilangan yang diperoleh dari Langkah 3 dan substitusikan nilai titik-titik uji tersebut pada pertidaksamaan hasil bagi untuk memperoleh tanda yang sesuai (+ atau -).

Langkah 5: Tentukan himpunan penyelesaian dengan mengambil irisan dari nilai x yang diperoleh pada tahap 3 atau dengan melihat tanda sesuai titik-titik uji pada Langkah 4.

Contoh 1:

Selesaikanlah \( \frac{(x-1)}{(x+2)} ≥0 \).

Pembahasan:

Kita tidak perlu melakukan Langkah 1, karena ruas kanan pertidaksamaan telah bernilai nol. Begitu pula, kita dapat melewati langkah dua, karena pertidaksamaan sudah dalam bentuk paling sederhana atau tidak dapat dilakukan operasi aljabar (pemfaktoran) lagi. Dengan demikian, dari Definisi 1, kita peroleh

dan

Daerah penyelesaian dapat dilihat pada Gambar 1 berikut. Perhatikan bahwa kita ambil sembarang titik uji -3, 0 dan 2, sehingga diperoleh tanda pertidaksamaan seperti terlihat pada Gambar 1.

Gambar 1. Titik uji pada garis bilangan beserta nilainya

Lambang u (unidentified) menunjukkan bahwa hasil bagi tak terdefinisi di -2. Jadi, himpunan penyelesaiannya adalah \( (-∞,-2)∪[1,∞) \). Perhatikan Gambar 2 berikut.

Gambar 2. Daerah untuk himpunan penyelesaian pertidaksamaan

Cukup sekian ulasan mengenai cara menyelesaikan pertidaksamaan hasil bagi dua polinom beserta contoh soal dan pembahasannya dalam artikel ini. Terima kasih telah membaca sampai selesai. Jika Anda merasa artikel ini bermanfaat, boleh dibantu share ke teman-temannya, supaya mereka juga bisa belajar dari artikel ini.

Jika Anda merasa artikel ini bermanfaat, bantu klik tombol suka di bawah ini dan tuliskan komentar Anda dengan bahasa yang sopan.