JAGOSTAT.COM

JAGOSTAT.COM

Website Belajar Statistika: Konsep, Teori, dan Penerapan

Website Belajar Statistika: Konsep, Teori, dan Penerapan

Matematika Dasar » Integral › Konsep Dasar Integral
Konsep Dasar Integral

Konsep Dasar Integral

Secara umum, integral dapat dibagi dua yakni integral tak tentu dan integral tentu. Disebut integral tak tentu ketika batas dari pengintegralannya tidak ditentukan, sedangkan integral tentu adalah ketika batas dari pengintegralannya telah ditentukan.


Oleh Tju Ji Long · Statistisi

Dalam matematika kita menjumpai banyak pasangan operasi balikan; misalnya penambahan dan pengurangan, perkalian dan pembagian, pemangkatan dan penarikan akar. Operasi balikan dari turunan disebut antiturunan atau integral tak tentu.

Kita tahu bahwa ketika suatu fungsi, katakanlah fungsi \(f(x)\), diturunkan atau didiferensialkan maka akan diperoleh suatu fungsi baru, katakanlah \(f'(x)\). Jika fungsi baru \(f'(x)\) ini diintegralkan, maka kita akan memperoleh fungsi \(f(x)\) itu sendiri. Itulah kenapa kita menyebut integral tak tentu sebagai operasi balikan atau antiturunan.

Secara umum, integral dapat dibagi dua yakni integral tak tentu dan integral tentu. Kita katakan integral tak tentu ketika batas dari pengintegralannya tidak ditentukan, sedangkan integral tentu adalah ketika batas dari pengintegralannya telah ditentukan.

Supaya lebih jelas, perhatikan dulu notasi dari integral berikut ini.

Gambar

Perhatikan bahwa tidak ada batas pengintegralan pada notasi integral pertama, karena itu kita menyebutnya integral tak tentu. Sedangkan pada notasi kedua batas pengintegralan telah ditentukan sehingga kita menyebutnya integral tentu. Nilai \(a\) disebut batas bawah pengintegralan, \(b\) disebut batas atas pengintegralan, \(\int\) merupakan tanda integral, dan fungsi \(f(x)\) disebut integran dari suatu integral.

Tabel 1 berikut menunjukkan beberapa fungsi \(f(x)\), turunan dan antiturunan atau integral tak tentu dari fungsi \(f(x)\) tersebut.

Tabel 1. Fungsi \(f(x)\), turunan dan integral tak tentu dari fungsi \(f(x)\)

No Fungsi \(f(x) = y\) Turunan: \(dy/dx\) atau \(y'\) Integral
1\(y = 3x^2\)\(y' = 6x\)\( \int 6x \ dx = 3x^2 + C \)
2\( y = 1/x^2 \)\( y' = -2x^{-3} \)\( \int -2x^{-3} \ dx = 1/x^2 + C \)
3\( y = \frac{1}{3} x^3 \)\( y' = x^2 \)\( \int x^2 \ dx = \frac{1}{3} x^3 + C \)

Setelah memahami konsep dasar di atas, berikut ini diberikan beberapa rumus dasar terkait integral tak tentu beserta contoh-contoh soalnya.

Gambar

Contoh 1:

Hitunglah \( \int 3x^2 \ dx \).

Pembahasan:

Berdasarkan rumus dari integral tak tentu di atas, kita peroleh

Gambar

Contoh 2:

Hitunglah \( \int (3x+2)^2 \ dx \).

Pembahasan:

Pertama, kita jabarkan fungsi \((3x+2)^2\), kemudian menerapkan rumus integral yang diberikan di atas, sehingga diperoleh

Gambar

Contoh 3:

Hitunglah \( \int \frac{1}{x^2} \ dx \).

Pembahasan:

Berdasarkan rumus integral di atas, diperoleh

Gambar
Pengintegralan dengan Cara Substitusi

Integral dengan cara substitusi digunakan untuk memecahkan masalah pengintegralan yang tidak dapat diselesaikan dengan rumus-rumus dasar yang telah kita bahas di atas.

Pada pengintegralan dengan cara substitusi, berlaku sebagai berikut:

Integral dengan Cara Substitusi

Jika \(x\) merupakan suatu fungsi yang dapat diturunkan (diferensial) dan \(r\) adalah suatu bilangan rasional tak nol, maka

Gambar

dengan \(C\) adalah konstanta, dan \( r \neq 1 \).

Perhatikan beberapa contoh soal berikut.

Contoh 4:

Hitunglah integral \( \int (2x+1)^5 \ dx \).

Pembahasan:

Perhatikan bahwa kita dapat menyelesaikan integral ini dengan menggunakan rumus dasar integral, tapi kita perlu menjabarkan fungsi dalam integral tersebut terlebih dahulu. Namun, menjabarkan pangkat lima tidaklah mudah. Kita bisa menyelesaikan integral ini dengan cepat menggunakan teknik integral substitusi.

Misalkan \( u = 2x + 1 \) maka \(du/dx = 2\) atau \(dx = du/2\). Sehingga

Gambar

Dengan demikian, kita peroleh

Gambar

Contoh 5:

Hitunglah integral \( \int 6x \ (3x^2 + 1)^5 \ dx \).

Pembahasan:

Misalkan \( u = 3x^2 + 1 \), maka

Gambar

Sehingga kita peroleh

Gambar
Integral Tentu

Pengoperasian integral tentu sama dengan integral tak tentu, hanya saja nilai batas integral bawah a dan batas integral atas b disubstitusikan dalam fungsi hasil integral yakni

Gambar

Contoh 6:

Hitunglah integral \( \int_0^3 (x^2 + 3) \ dx \).

Pembahasan:

Gambar

Contoh 7:

Tentukan nilai a jika diketahui bahwa \( \int_1^a (2x+3) \ dx = 6 \).

Pembahasan:

Gambar

Oleh karena nilai \(a > 1\), maka \(a\) yang memenuhi adalah \(a = 2\).

Contoh 8:

Tentukan nilai p jika diketahui bahwa

Gambar

Pembahasan:

Gambar

Jadi, nilai p = 2.

Cukup sekian ulasan singkat mengenai konsep dasar integral (integral tentu dan tak tentu) dalam artikel ini. Terima kasih telah membaca artikel ini sampai selesai. Jika Anda merasa artikel ini bermanfaat, boleh dibantu share ke teman-temannya, supaya mereka juga bisa belajar dari artikel ini.

Artikel Terkait

Life without love is like a tree without blossoms or fruit.