www.jagostat.com
www.jagostat.com
Website Belajar Matematika & Statistika
Website Belajar Matematika & Statistika
Matematika Dasar » Integral › Konsep Dasar Integral dan Contohnya
Konsep Dasar Integral dan Contohnya
Secara umum, integral dapat dibagi dua yakni integral tak tentu dan integral tentu. Disebut integral tak tentu ketika batas dari pengintegralannya tidak ditentukan, sedangkan integral tentu adalah ketika batas dari pengintegralannya telah ditentukan.
Dalam matematika kita menjumpai banyak pasangan operasi balikan; misalnya penambahan dan pengurangan, perkalian dan pembagian, pemangkatan dan penarikan akar. Operasi balikan dari turunan disebut antiturunan atau integral tak tentu.
Kita tahu bahwa ketika suatu fungsi, katakanlah fungsi \(f(x)\), diturunkan atau didiferensialkan maka akan diperoleh suatu fungsi baru, katakanlah \(f'(x)\). Jika fungsi baru \(f'(x)\) ini diintegralkan, maka kita akan memperoleh fungsi \(f(x)\) itu sendiri. Itulah kenapa kita menyebut integral tak tentu sebagai operasi balikan atau antiturunan.
Secara umum, integral dapat dibagi dua yakni integral tak tentu dan integral tentu. Kita katakan integral tak tentu ketika batas dari pengintegralannya tidak ditentukan, sedangkan integral tentu adalah ketika batas dari pengintegralannya telah ditentukan.
Supaya lebih jelas, perhatikan dulu notasi dari integral berikut ini.
Perhatikan bahwa tidak ada batas pengintegralan pada notasi integral pertama, karena itu kita menyebutnya integral tak tentu. Sedangkan pada notasi kedua batas pengintegralan telah ditentukan sehingga kita menyebutnya integral tentu. Nilai \(a\) disebut batas bawah pengintegralan, \(b\) disebut batas atas pengintegralan, \(\int\) merupakan tanda integral, dan fungsi \(f(x)\) disebut integran dari suatu integral.
Tabel 1 berikut menunjukkan beberapa fungsi \(f(x)\), turunan dan antiturunan atau integral tak tentu dari fungsi \(f(x)\) tersebut.
Tabel 1. Fungsi \(f(x)\), turunan dan integral tak tentu dari fungsi \(f(x)\)
| No | Fungsi \(f(x) = y\) | Turunan: \(dy/dx\) atau \(y'\) | Integral |
|---|---|---|---|
| 1 | \(y = 3x^2\) | \(y' = 6x\) | \( \int 6x \ dx = 3x^2 + C \) |
| 2 | \( y = 1/x^2 \) | \( y' = -2x^{-3} \) | \( \int -2x^{-3} \ dx = 1/x^2 + C \) |
| 3 | \( y = \frac{1}{3} x^3 \) | \( y' = x^2 \) | \( \int x^2 \ dx = \frac{1}{3} x^3 + C \) |
Setelah memahami konsep dasar di atas, berikut ini diberikan beberapa rumus dasar terkait integral tak tentu beserta contoh-contoh soalnya.
Contoh 1:
Hitunglah \( \int 3x^2 \ dx \).
Pembahasan:
Berdasarkan rumus dari integral tak tentu di atas, kita peroleh
Contoh 2:
Hitunglah \( \int (3x+2)^2 \ dx \).
Pembahasan:
Pertama, kita jabarkan fungsi \((3x+2)^2\), kemudian menerapkan rumus integral yang diberikan di atas, sehingga diperoleh
Contoh 3:
Hitunglah \( \int \frac{1}{x^2} \ dx \).
Pembahasan:
Berdasarkan rumus integral di atas, diperoleh
Pengintegralan dengan Cara Substitusi
Integral dengan cara substitusi digunakan untuk memecahkan masalah pengintegralan yang tidak dapat diselesaikan dengan rumus-rumus dasar yang telah kita bahas di atas.
Pada pengintegralan dengan cara substitusi, berlaku sebagai berikut:
Integral dengan Cara Substitusi
Jika \(x\) merupakan suatu fungsi yang dapat diturunkan (diferensial) dan \(r\) adalah suatu bilangan rasional tak nol, maka
dengan \(C\) adalah konstanta, dan \( r \neq 1 \).
Perhatikan beberapa contoh soal berikut.
Contoh 4:
Hitunglah integral \( \int (2x+1)^5 \ dx \).
Pembahasan:
Perhatikan bahwa kita dapat menyelesaikan integral ini dengan menggunakan rumus dasar integral, tapi kita perlu menjabarkan fungsi dalam integral tersebut terlebih dahulu. Namun, menjabarkan pangkat lima tidaklah mudah. Kita bisa menyelesaikan integral ini dengan cepat menggunakan teknik integral substitusi.
Misalkan \( u = 2x + 1 \) maka \(du/dx = 2\) atau \(dx = du/2\). Sehingga
Dengan demikian, kita peroleh
Contoh 5:
Hitunglah integral \( \int 6x \ (3x^2 + 1)^5 \ dx \).
Pembahasan:
Misalkan \( u = 3x^2 + 1 \), maka
Sehingga kita peroleh
Integral Tentu
Pengoperasian integral tentu sama dengan integral tak tentu, hanya saja nilai batas integral bawah a dan batas integral atas b disubstitusikan dalam fungsi hasil integral yakni
Contoh 6:
Hitunglah integral \( \int_0^3 (x^2 + 3) \ dx \).
Pembahasan:
Contoh 7:
Tentukan nilai a jika diketahui bahwa \( \int_1^a (2x+3) \ dx = 6 \).
Pembahasan:
Oleh karena nilai \(a > 1\), maka \(a\) yang memenuhi adalah \(a = 2\).
Contoh 8:
Tentukan nilai p jika diketahui bahwa
Pembahasan:
Jadi, nilai p = 2.
Jika Anda merasa artikel ini bermanfaat, klik tombol suka di bawah ini dan jika ada pembahasan yang kurang jelas dari artikel ini silahkan tanyakan di kolom komentar. Terima kasih.
Artikel Terkait
Life without love is like a tree without blossoms or fruit.