JAGOSTAT.COM

JAGOSTAT.COM

Website Belajar Statistika: Konsep, Teori, dan Penerapan

Website Belajar Statistika: Konsep, Teori, dan Penerapan

Matematika Dasar » Persamaan Polinomial › Rumus ABC untuk Mencari Akar-akar Persamaan Kuadrat
Persamaan Kuadrat

Rumus ABC untuk Mencari Akar-akar Persamaan Kuadrat

Salah satu cara untuk mencari akar-akar persamaan kuadrat dikenal dengan rumus abc. Nilai a, b, dan c pada rumus abc mewakili koefisien-koefisien pada persamaan kuadrat tersebut.


Oleh: Tju Ji Long · Statistisi

Pada umumnya, suatu persamaan kuadrat atau persamaan polinomial (suku banyak) dengan pangkat tertinggi 2, dapat dituliskan sebagai

Gambar

Penyelesaian atau pemecahan suatu persamaan kuadrat disebut sebagai akar-akar persamaan kuadrat tersebut. Yang dimaksud dengan akar-akar persamaan kuadrat adalah nilai dari variabel \(x\) yang memenuhi ketika disubstitusikan ke dalam persamaan tersebut.

Sebagai contoh, diketahui persamaan kuadrat \( x^2-5x+6 = 0 \). Akar-akar persamaan kuadrat ini yaitu \(x_1 = 2\) dan \(x_2 = 3\). Mengapa? Karena jika nilai tersebut disubstitusi ke dalam persamaan kuadrat tersebut maka ruas kiri dan ruas kanan persamaan akan mempunyai nilai sama yakni bernilai nol.

Gambar

Terdapat beberapa cara untuk mencari akar-akar persamaan kuadrat, yaitu cara pemfaktoran, melangkapkan kuadrat sempurna, dan rumus abc. Pada artikel ini kita akan fokus pada metode ketiga ini yaitu rumus abc. Nilai a, b, dan c pada rumus abc mewakili koefisien-koefisien dari suatu persamaan kuadrat.

Berdasarkan rumus abc, akar-akar persamaan kuadrat dapat dicari dengan formula berikut.

Gambar

Dengan demikian, akar-akarnya adalah

Gambar

Bukti:

Gambar

Contoh 1:

Persamaan kuadrat dari \(x^2-4x-6=0\) mempunyai akar-akar \(m\) dan \(n\) dengan ketentuan \(m < n\). Tentukan nilai dari \(n – m\).

Pembahasan:

Dari persamaan kuadrat \(x^2-4x-6=0\), kita peroleh a = 1, b = -4, dan c = -6. Dengan demikian, kita peroleh

Gambar

Jadi, nilai \((n-m)\) adalah

Gambar

Contoh 2:

Tentukanlah akar-akar persamaan kuadrat \(x^2+8x+12=0\).

Pembahasan:

Pada persamaan kuadrat di atas, nilai \(a=1, \ b=8\), dan \(c=12\). Berdasarkan rumus abc, diperoleh

Gambar

Dengan demikian,

Gambar
Jenis Akar-akar Persamaan Kuadrat

Jenis akar-akar persamaan kuadrat dapat ditentukan berdasarkan nilai “Diskriminan” (D). Nilai diskriminan dapat dicari dari rumus berikut

Gambar

Sehingga rumus abc menjadi:

Gambar

Berikut adalah jenis akar-akar berdasarkan diskriminannya:

  1. Jika \(D < 0\) maka akar-akarnya tidak real
  2. Jika \(D > 0\) maka akar-akarnya real \((x_1,x_2∈R)\) dan berbeda yakni \(x_1≠x_2\).
  3. Jika \(D = 0\) maka akar-akarnya real \((x_1,x_2∈R)\) dan sama atau kembar yakni \(x_1=x_2\).

Contoh 3:

Tanpa harus menyelesaikan persamaan kuadrat terlebih dahulu, tentukanlah jenis akar-akar persamaan kuadrat berikut.

  1. \( x^2 - 10x + 16 = 0 \)
  2. \( -2x + 3x - 6 = 0 \)

Pembahasan:

  1. Untuk \( x^2 - 10x + 16 = 0 \), maka \( a = 1, \ b = -10 \), dan \( c = 16 \). Dengan demikian, diskrimannya adalah
  2. Gambar

    Karena \(D = 36 > 0\), maka persamaan kuadrat \( x^2 - 10x + 16 = 0 \) mempunyai dua akar real yang berlainan dan rasional.

  3. Untuk \( -2x + 3x - 6 = 0 \), maka \( a = -2, \ b = 3 \), dan \( c = -6 \). Dengan demikian, diskrimannya adalah
  4. Gambar

    Karena \(D = -39 < 0\), maka persamaan kuadrat \( -2x + 3x - 6 = 0 \) tidak mempunyai akar real atau kedua akarnya tidak real atau imaginer.

Contoh 4:

Tentukanlah nilai p agar persamaan kuadrat \( 2x^2 - 4x + p = 0 \) mempunyai dua akar yang sama atau kembar.

Pembahasan:

Untuk \( 2x^2 - 4x + p = 0 \) maka \( a = 2, \ b = -4 \), dan \( c = p\). Dengan demikian, diskrimannya adalah

Gambar

Agar mempunyai dua akar yang kembar, maka D harus bernilai 0 sehingga

Gambar

Jadi, persamaan kuadrat \( 2x^2 - 4x + p = 0 \) akan mempunyai dua akar kembar jika \(p = 2\).

Cukup sekian penjelasan mengenai Rumus ABC untuk mencari akar-akar suatu persamaan kuadrat dalam artikel ini. Semoga bermanfaat.

Artikel Terkait

Better to light one small candle than to curse the darkness.