Menentukan Invers Komposisi Fungsi, Contoh Soal dan Pembahasan

Matematika Dasar » Fungsi › Menentukan Invers Komposisi Fungsi, Contoh Soal dan Pembahasan

Joki Tugas Matematika Murah, Hanya Rp10-50 Ribu. Hub. WA: 0812-5632-4552

Menentukan Invers Komposisi Fungsi, Contoh Soal dan Pembahasan

Invers dari suatu komposisi fungsi dapat ditentukan dengan dua cara: (1) Menentukan komposisi fungsinya, kemudian diinverskan; (2) Menentukan invers masing-masing fungsi, kemudian dikomposisikan dengan urutan yang ditentukan.

Pada artikel sebelumnya, kita telah membahas bagaimana menentukan komposisi fungsi dari dua buah fungsi \(f(x)\) dan \(g(x)\) dan juga bagaimana mencari invers dari suatu fungsi \(f(x)\) atau \(g(x)\) yang dilambangkan dengan \( f^{-1}(x) \) atau \( g^{-1}(x) \).

Pada tulisan ini, kita akan membahas cara mencari invers dari suatu komposisi fungsi. Invers dari suatu komposisi fungsi dapat ditentukan dengan dua cara yakni:

Menentukan komposisi fungsinya terlebih dahulu, kemudian diinverskan. Cara ini mirip dengan mencari invers fungsi \(f(x)\) atau \(g(x)\) yang sudah kita bahas. Hanya bedanya, untuk invers fungsi komposisi ini, kita misalkan fungsi komposisinya sebagai \(y\), kemudian lakukan manipulasi aljabar sehingga menjadi bentuk \( x = (f \circ g)(y) \) atau \( x = (g \circ f)(y) \).
Menentukan invers masing-masing fungsi, kemudian dikomposisikan dengan urutan yang ditentukan.

\begin{aligned} (g \circ f)^{-1}(x) &= \left(f^{-1} \circ g^{-1} \right)(x) \\[8pt] &= f^{-1}\left( g^{-1}(x) \right) \\[8pt] (f \circ g)^{-1}(x) &= \left((g^{-1} \circ f^{-1}\right)(x) \\[8pt] &= g^{-1}\left( f^{-1}(x) \right) \end{aligned}

Contoh 1:

Diketahui \( f(x) = x - 2 \) dan \( g(x) = 3x + 5 \). Tentukanlah:

rumus untuk \( f^{-1}(x) \) dan \( g^{-1}(x) \)
rumus untuk \( (g \circ f)(x), (g \circ f)^{-1}(x) \), dan \( \left(f^{-1} \circ g^{-1}\right)(x) \)

Pembahasan:

Mencari invers fungsi \(f(x)\) dan \(g(x)\).

\begin{aligned} f(x) = x - 2 \Leftrightarrow y &= x-2 \\[1em] x &= y + 2 \\[1em] f^{-1}(y) &= y + 2 \\[1em] f^{-1}(x) &= x + 2 \end{aligned}

\begin{aligned} g(x) = 3x + 5 \Leftrightarrow y &= 3x + 5 \\[1em] 3x &= y - 5 \\[1em] x &= \frac{y-5}{3} \\[1em] g^{-1}(y) &= \frac{y-5}{3} \\[1em] g^{-1}(x) &= \frac{x-5}{3} \end{aligned}

Untuk mencari \( (g \circ f)(x)\), perhatikan berikut:

\begin{aligned} (g \circ f)(x) &= g(f(x)) = g(x-2) \\[1em] &= 3(x-2) + 5 \\[1em] &= 3x - 1 \end{aligned}

Selanjutnya, kita akan mencari \( (g \circ f)^{-1}(x) \) menggunakan cara pertama yang telah dijelaskan di awal artikel, yakni:

\begin{aligned} (g \circ f)(x) = 3x-1 \Leftrightarrow y &= 3x - 1 \\[1em] 3x &= y + 1 \\[1em] x &= \frac{y+1}{3} \\[1em] (g \circ f)^{-1}(y) &= \frac{y+1}{3} \\[1em] (g \circ f)^{-1}(x) &= \frac{x+1}{3} \end{aligned}

Berikutnya, kita akan mencari \( \left(f^{-1} \circ g^{-1}\right)(x) \) yang sebenarnya sama juga dengan \( (g \circ f)^{-1}(x) \). Namun, kita akan selesaikan dengan cara kedua mencari invers komposisi fungsi, yakni sebagai berikut:

\begin{aligned} (g \circ f)^{-1}(x) &= \left(f^{-1} \circ g^{-1}\right)(x) = f^{-1}(g^{-1}(x)) \\[1em] &= f^{-1} \left( \frac{x-5}{3} \right) = \frac{x-5}{3} + 2 \\[1em] &= \frac{x-5}{3} + \frac{6}{3} \\[1em] &= \frac{x+1}{3} \end{aligned}

Perhatikan bahwa baik cara pertama maupun cara kedua untuk mencari \( (g \circ f)^{-1}(x) \) memberikan hasil yang sama yakni \( (g \circ f)^{-1}(x) = \left(f^{-1} \circ g^{-1}\right)(x) = \frac{x+1}{3} \).

Contoh 2:

Misalkan diketahui \( f(x) = x + 2 \) untuk \( x > 0 \) dan \( g(x) = \frac{15}{x} \) untuk \( x > 0 \). Jika \( \left( f^{-1} \circ g^{-1}\right)(x) = 1 \), tentukan nilai \(x\).

Pembahasan:

Cari invers untuk masing-masing fungsi \(f(x)\) dan \(g(x)\), yakni:

\begin{aligned} f(x) = x + 2 \Leftrightarrow f^{-1}(x) &= x -2 \\[1em] g(x) = \frac{15}{x} \Leftrightarrow g^{-1}(x) &= \frac{15}{x} \end{aligned}

Dengan demikian,

\begin{aligned} (f^{-1} \circ g^{-1})(x) &= f^{-1} \left(g^{-1}(x)\right) = 1 \\[1em] f^{-1}\left( \frac{15}{x} \right) &= 1 \\[1em] \frac{15}{x} - 2 &= 1 \\[1em] x &= 5 \end{aligned}

Jadi, nilai \(x = 5\).

Contoh 3:

Diketahui fungsi \( f(x) = 3x+4 \) dan \( g(x) = \frac{4x-5}{2x+1}, \ x \neq -\frac{1}{2} \). Invers \( (f \circ g)(x) \) adalah….

\( (f \circ g)^{-1}(x) = \frac{x+11}{-2x+20}, \ x \neq 10 \)
\( (f \circ g)^{-1}(x) = \frac{x+11}{2x+20}, \ x \neq -10 \)
\( (f \circ g)^{-1}(x) = \frac{x+11}{2x-20}, \ x \neq 10 \)
\( (f \circ g)^{-1}(x) = \frac{-x+11}{-2x+20}, \ x \neq 10 \)
\( (f \circ g)^{-1}(x) = \frac{-x-11}{-2x+20}, \ x \neq 10 \)

Pembahasan:

Pertama, kita cari \( (f \circ g)(x) \) terlebih dahulu.

\begin{aligned} (f \circ g)(x) &= f(g(x))=f \left( \frac{4x-5}{2x+1} \right) \\[8pt] &= 3 \left( \frac{4x-5}{2x+1} \right)+4 \\[8pt] &= \frac{12x-15}{2x+1}+\frac{4(2x+1)}{2x+1} \\[8pt] &= \frac{12x+8x-15+4}{2x+1} \\[8pt] &= \frac{20x-11}{2x+1} \end{aligned}

Sekarang, misalkan \( y = (f \circ g)(x) \) sehingga diperoleh:

\begin{aligned} (f \circ g)(x) = \frac{20x-11}{2x+1} \Leftrightarrow y &= \frac{20x-11}{2x+1} \\[8pt] y(2x+1) &= 20x-11 \\[8pt] 2xy+y &= 20x-11 \\[8pt] 2xy-20x &= -11-y \\[8pt] x(2y-20) &= -11-y \\[8pt] x &= \frac{-11-y}{2y-20} \\[8pt] &= \frac{y+11}{-2y+20} \\[8pt] (f \circ g)^{-1}(x) &= \frac{x+11}{-2x+20}, \ x \neq 10 \end{aligned}

Jawaban A.

Contoh 4:

Jika \( f(x-1)=x+2 \) dan \( g(x) = \frac{2-x}{x+3} \), maka nilai \( (g^{-1} \circ f )(1) \) adalah…

\( -6 \)
\( -2 \)
\( -\frac{1}{6} \)
\( \frac{1}{4} \)
\( 4 \)

Pembahasan:

Untuk menyelesaikan soal ini, kita perlu mencari \(f(x)\) terlebih dahulu. Perhatikan berikut:

\begin{aligned} f(x-1) &= x+2 \\[8pt] f(x-1) &= (x-1)+3 \\[8pt] \text{misalkan} \ x-1 &= a, \ \text{maka} \\[8pt] f(a) &= a+3 \\[8pt] \text{misalkan} \ a &= x, \ \text{maka} \\[8pt] f(x) &= x+3 \end{aligned}

Selanjutnya, kita akan mencari \( g^{-1}(x) \).

\begin{aligned} g(x) = \frac{2-x}{x+3} \Leftrightarrow y &= \frac{2-x}{x+3} \\[8pt] y(x+3) &= 2-x \\[8pt] xy+3y &= 2-x \\[8pt] xy+x &= 2-3y \\[8pt] x(y+1) &= 2-3y \\[8pt] x &= \frac{2-3y}{y+1} \\[8pt] g^{-1}(x) &= \frac{2-3x}{x+1} \end{aligned}

Berdasarkan hasil di atas, kita peroleh berikut ini:

\begin{aligned} (g^{-1} \circ f )(x) &= g^{-1}(f(x)) \\[8pt] &= g^{-1}(x+3) \\[8pt] &= \frac{2-3(x+3)}{(x+3)+1} \\[8pt] &= \frac{2-3x-9}{x+4} \\[8pt] &= \frac{-3x-7}{x+4} \\[8pt] (g^{-1} \circ f )(1) &= \frac{-3 \cdot 1 - 7}{1+4} = -2 \end{aligned}

Jawaban B.

Contoh 5:

Diketahui \( f(x) = \frac{ax+1}{3x-1}, \ g(x)=x-2 \) dan \( (g^{-1} \circ f^{-1})(2) = \frac{7}{2} \). Nilai \(a\) adalah…

Pembahasan:

Berdasarkan yang diberikan pada soal, kita peroleh berikut:

\begin{aligned} \left(g^{-1} \circ f^{-1} \right)(2) = \frac{7}{2} \Leftrightarrow (f \circ g)^{-1}(2) &= \frac{7}{2} \\[8pt] (f \circ g) \left( \frac{7}{2} \right) &= 2 \\[8pt] f \left( g \left( \frac{7}{2} \right) \right) &= 2 \\[8pt] f \left( \frac{7}{2}-2 \right) &= 2 \qquad (\text{ingat} \ g(x)=x-2) \\[8pt] f \left( \frac{3}{2} \right) &= 2 \\[8pt] \frac{\frac{3}{2}a+1}{3 \cdot \frac{3}{2}-1} = 2 \Leftrightarrow \frac{\frac{3}{2}a+1}{\frac{9}{2}-1} &= 2 \qquad \left( \text{ingat} \ f(x) = \frac{ax+1}{3x-1} \right) \\[8pt] \frac{3}{2}a+1 &= 2 \cdot \frac{7}{2} \\[8pt] \frac{3}{2}a &= 7-1 \\[8pt] a &= 6 \times \frac{2}{3} = 4 \end{aligned}

Jadi, nilai \(a\) adalah 4.

Jawaban B.

Contoh 6:

Jika \( f(x) = ax+3, \ a \neq 0 \) dan \( f^{-1}( f^{-1}(g) ) = 3 \), maka nilai \( a^2+a+1 \) adalah…

Pembahasan:

Berdasarkan informasi pada soal, kita peroleh berikut:

\begin{aligned} f(x) = ax+3 \Leftrightarrow y &= ax+3 \\[8pt] ax &= y-3 \\[8pt] x &= \frac{y-3}{a} \\[8pt] f^{-1}(x) &= \frac{x-3}{a} \\[8pt] f^{-1}(9) &= \frac{9-3}{a}=\frac{6}{a} \end{aligned}

Dari soal juga diketahui \(\) sehingga diperoleh:

\begin{aligned} f^{-1} \left( f^{-1}(9) \right) &= 3 \\[8pt] f^{-1} \left( \frac{6}{a} \right) = 3 \Leftrightarrow \frac{ \frac{6}{a}-3}{a} &= 3 \\[8pt] \frac{6}{a}-3 &= 3a \\[8pt] 6-3a &= 3a^2 \\[8pt] 3a^2+3a-6 &= 0 \\[8pt] a^2+a-2 &= 0 \\[8pt] a^2+a+1 &= 3 \end{aligned}

Jawaban E.

Contoh 7:

Diketahui \( (g^{-1} \circ f^{-1})(x) = -2x+4 \) dengan \( f^{-1} \) dan \( g^{-1} \) berturut-turut adalah invers fungsi \(f\) dan \(g\). Jika \( f(x) = \frac{-x-2}{2x-10}, \ x \neq 5 \), maka \( g(6) = \cdots \)

Pembahasan:

Berdasarkan informasi yang diberikan dalam soal, kita peroleh berikut:

\begin{aligned} (g^{-1} \circ f^{-1})(x) &= -2x+4 \\[8pt] (f \circ g)^{-1}(x) &= -2x+4 \\[8pt] \text{misalkan} \ (f \circ g)^{-1}(x) &= y, \ \text{maka} \\[8pt] y &= -2x+4 \\[8pt] x &= \frac{4-y}{2} \\[8pt] (f \circ g)(x) = f(g(x)) &= \frac{4-x}{2} \end{aligned}

Dari hasil di atas, sekarang kita misalkan lagi \( g(x)=y \) dan dari soal diketahui \( f(x) = \frac{-x-2}{2x-10} \), sehingga diperoleh:

\begin{aligned} (f \circ g)(x) = f(g(x)) &= \frac{4-x}{2} \\[8pt] f(y) &= \frac{4-x}{2} \\[8pt] \frac{-y-2}{2y-10} &= \frac{4-x}{2} \\[8pt] -2y-4 &= (4-x)(2y-10) \\[8pt] -2y-4 &= 8y-40-2xy+10x \\[8pt] -2y-8y+2xy &= 10x-40+4 \\[8pt] y (-10+2x) &= 10x-36 \\[8pt] y &= \frac{10x-36}{2x-10} \\[8pt] y = g(x) &= \frac{10x-36}{2x-10} \\[8pt] g(6) &= \frac{10 \cdot 6-36}{2 \cdot 6-10} = \frac{24}{2} = 12 \end{aligned}

Jawaban B.

Contoh 8:

Jika diketahui \( f(x) = {}^5 \! \log x \) dan \( g(x) = x-3 \) maka \( (f \circ g)^{-1} = \cdots \)

\( 5^x-1 \)
\( 5^x+1 \)
\( 2^x-5 \)
\( 2^x+5 \)
\( 5^x+3 \)

Pembahasan:

Untuk mengerjakan soal ini, kamu memerlukan pemahaman tentang bentuk pangkat dan logaritma. Berikut jawaban yang kita peroleh:

\begin{aligned} f(x) &= {}^5 \! \log x \ \text{dan} \ g(x) = x-3 \\[8pt] (f \circ g)(x) &= f(g(x)) = {}^5 \! \log g(x) \\[8pt] y &= {}^5 \! \log (x-3) \\[8pt] x-3 &= 5^y \\[8pt] x &= 5^y + 3 \\[8pt] (f \circ g)^{-1}(x) &= 5^x + 3 \end{aligned}

Jawaban E.

Cukup sekian penjelasan mengenai invers dari suatu komposisi fungsi beserta contoh soal dan pembahasannya dalam artikel ini. Semoga bermanfaat.

Sumber:

Sunardi, Slamet Waluyo & Sutrisna. 2014. Konsep dan Penerapan Matematika SMA/MA Kelas XI. Jakarta: Penerbit PT Bumi Aksara.

Jika Anda merasa artikel ini bermanfaat, klik tombol suka di bawah ini dan jika ada pembahasan yang kurang jelas dari artikel ini silahkan tanyakan di kolom komentar. Terima kasih.

www.jagostat.com

www.jagostat.com

Website Belajar Matematika & Statistika

Website Belajar Matematika & Statistika

Matematika Dasar » Fungsi › Menentukan Invers Komposisi Fungsi, Contoh Soal dan Pembahasan