Sistem persamaan linear tiga variabel (SPLTV) adalah sistem persamaan yang terdiri dari tiga persamaan di mana masing-masing persamaan memiliki tiga variabel. Kita dapat menyelesaikan SPLTV dengan dua cara yakni cara substitusi dan eliminasi.
Oleh Tju Ji Long · Statistisi
Hub. WA: 0812-5632-4552
Sistem persamaan linear tiga variabel adalah sistem persamaan yang terdiri dari tiga persamaan di mana masing-masing persamaan memiliki tiga variabel.
Sama halnya pada sistem persamaan linear dua variabel (SPLDV), kita dapat menyelesaikan atau mencari himpunan penyelesaian dari sistem persamaan linear tiga variabel (SPLTV) dengan dua cara atau metode, yakni metode substitusi dan metode eliminasi.
Berikut adalah langkah-langkah untuk menerapkan metode substitusi pada sistem persamaan linear tiga variabel (SPLTV):
Contoh 1:
Tentukan nilai \(x\), \(y\) dan \(z\) dari sistem persamaan linear tiga variabel berikut.
Pembahasan:
Kita akan menggunakan metode substitusi dengan mengikuti langkah-langkah yang dijelaskan di atas.
Langkah 1: Ubah persamaan pertama (anda bebas mengubah persamaan manapun) sehingga diperoleh \(z\) sebagai fungsi dari \(x\) dan \(y\), yakni
Langkah 2: Substitusi persamaan (iv) ke persamaan lain yakni persamaan dua dan tiga, lalu lakukan penyederhanaan. Kita peroleh
Perhatikan bahwa kita telah memperoleh nilai \(x\) dan \(y\), yakni \(x = -5\) dan \(y = -3\). Dengan mensubstitusi nilai \(x\) dan \(y\) pada persamaan (iv), kita peroleh nilai \(z\) yakni
Jadi, nilai \(x, y\) dan \(z\) yang memenuhi sistem persamaan linear tiga variabel tersebut adalah \(x = -5, \ y = -3, \ z = 2\) atau kita nyatakan dengan \((x,y,z)= (-5,-3,2)\).
Perhatikan bahwa dari Contoh 1, kita hanya menggunakan dua langkah dan berhasil mendapatkan nilai \(x\) dan \(y\) sehingga kita tidak memerlukan langkah 3. Ini hanya kebetulan saja. Sering kali, kita harus menggunakan langkah ketiga. Oleh karena itu, kita akan memberikan satu Contoh lagi.
Contoh 2:
Carilah himpunan penyelesaian dari sistem persamaan linear tiga variabel (SPLTV) berikut ini dengan metode substitusi.
Pembahasan:
Pertama, kita tentukan dulu persamaan yang paling sederhana dari ketiga persamaan yang ada. Dalam hal ini, persamaan pertama tampak lebih sederhana sehingga kita ubah persamaan pertama dan diperoleh \(x\) sebagai fungsi dari \(y\) dan \(z\).
Substitusi variabel \(x\) dalam persamaan (iv) ke persamaan 2. Kita peroleh
Substitusi variabel \(x\) dalam persamaan (iv) ke persamaan 3. Kita peroleh
Persamaan (v) dan (vi) membentuk sistem persamaan linear dua variabel (SPLDV) dalam variabel \(y\) dan \(z\), yakni
Kita akan menyelesaikan SPLDV ini, sehingga diperoleh nilai untuk variabel \(y\) dan \(z\). Dari persamaan (vi), kita peroleh
Substitusi variabel \(y\) ke dalam persamaan persamaan (v), sehingga diperoleh
Substitusi nilai \(z = 7\) yang kita peroleh di atas ke salah satu persamaan SPLDV, misalnya \(y - z = -4\). Kita peroleh
Terakhir, substitusi nilai \(y = 3\) dan \(z = 7\) ke salah satu dari SPLTV, misalnya \( x-2y + z = 6 \) sehingga kita peroleh
Jadi, nilai \(x, y\) dan \(z\) yang memenuhi SPLTV tersebut adalah \((x,y,z) = (5, 3, 7)\).
Berikut adalah langkah-langkah yang diperlukan untuk menerapkan metode eliminasi:
Contoh 3:
Carilah nilai \(x, y\) dan \(z\) yang memenuhi sistem persamaan linear tiga variabel berikut:
Pembahasan:
Kita akan menggunakan metode eliminasi dengan mengikuti langkah-langkah yang dijelaskan di atas.
Langkah 1: Ambil dua persamaan yakni persamaan 1 dan 2. Karena koefisien variabel \(z\) adalah sama, maka kita akan eliminasi variabel \(z\) dengan cara menambahkan kedua persamaan tersebut sehingga diperoleh persamaan baru dengan dua variabel yakni \(x\) dan \(y\).
Langkah 2: Ulangi Langkah 1 pada pasangan persamaan lain. Kita ambil pasangan persamaan 2 dan 3. Kita perlu eliminasi variabel z dengan cara mengalikan persamaan 2 dengan nilai 2 dan persamaan tiga dengan nilai 1, yakni
Langkah 3: Dari Langkah 2, kita peroleh nilai \(x = 5\). Dengan substitusi nilai \(x\) ke persamaan (iv) kita peroleh nilai \(y\), yakni
Substitusi nilai \(x\) dan \(y\) pada persamaan 2 (anda bebas memilih salah satu dari tiga persamaan yang diberikan pada soal). Kita peroleh
Langkah 4: Jadi, penyelesaian dari sistem persamaan linear tiga variabel tersebut adalah \((x,y,z) = (5, 3, -1)\).
Cukup sekian ulasan singkat mengenai cara menyelesaikan sistem persamaan linear tiga variabel (SPLTV) dalam artikel ini. Terima kasih telah membaca artikel ini sampai selesai. Jika Anda merasa artikel ini bermanfaat, boleh dibantu share ke teman-temannya, supaya mereka juga bisa belajar dari artikel ini.
Jika Anda merasa artikel ini bermanfaat, bantu klik tombol suka di bawah ini dan tuliskan komentar Anda dengan bahasa yang sopan.
Segala sesuatunya menjadi baik bagi orang yang berusaha sebaik-baiknya mengusahakan segala sesuatu.