Contoh 1:

Tentukan nilai \(x\), \(y\) dan \(z\) dari sistem persamaan linear tiga variabel berikut.

Pembahasan:

Kita akan menggunakan metode substitusi dengan mengikuti langkah-langkah yang dijelaskan di atas.

Langkah 1: Ubah persamaan pertama (anda bebas mengubah persamaan manapun) sehingga diperoleh \(z\) sebagai fungsi dari \(x\) dan \(y\), yakni

Langkah 2: Substitusi persamaan (iv) ke persamaan lain yakni persamaan dua dan tiga, lalu lakukan penyederhanaan. Kita peroleh

Perhatikan bahwa kita telah memperoleh nilai \(x\) dan \(y\), yakni \(x = -5\) dan \(y = -3\). Dengan mensubstitusi nilai \(x\) dan \(y\) pada persamaan (iv), kita peroleh nilai \(z\) yakni

Jadi, nilai \(x, y\) dan \(z\) yang memenuhi sistem persamaan linear tiga variabel tersebut adalah \(x = -5, \ y = -3, \ z = 2\) atau kita nyatakan dengan \((x,y,z)= (-5,-3,2)\).

Contoh 2:

Carilah himpunan penyelesaian dari sistem persamaan linear tiga variabel (SPLTV) berikut ini dengan metode substitusi.

Pembahasan:

Pertama, kita tentukan dulu persamaan yang paling sederhana dari ketiga persamaan yang ada. Dalam hal ini, persamaan pertama tampak lebih sederhana sehingga kita ubah persamaan pertama dan diperoleh \(x\) sebagai fungsi dari \(y\) dan \(z\).

Substitusi variabel \(x\) dalam persamaan (iv) ke persamaan 2. Kita peroleh

Substitusi variabel \(x\) dalam persamaan (iv) ke persamaan 3. Kita peroleh

Persamaan (v) dan (vi) membentuk sistem persamaan linear dua variabel (SPLDV) dalam variabel \(y\) dan \(z\), yakni

Kita akan menyelesaikan SPLDV ini, sehingga diperoleh nilai untuk variabel \(y\) dan \(z\). Dari persamaan (vi), kita peroleh

Substitusi variabel \(y\) ke dalam persamaan persamaan (v), sehingga diperoleh

Substitusi nilai \(z = 7\) yang kita peroleh di atas ke salah satu persamaan SPLDV, misalnya \(y - z = -4\). Kita peroleh

Terakhir, substitusi nilai \(y = 3\) dan \(z = 7\) ke salah satu dari SPLTV, misalnya \( x-2y + z = 6 \) sehingga kita peroleh

Jadi, nilai \(x, y\) dan \(z\) yang memenuhi SPLTV tersebut adalah \((x,y,z) = (5, 3, 7)\).

Contoh 3:

Carilah nilai \(x, y\) dan \(z\) yang memenuhi sistem persamaan linear tiga variabel berikut:

Pembahasan:

Kita akan menggunakan metode eliminasi dengan mengikuti langkah-langkah yang dijelaskan di atas.

Langkah 1: Ambil dua persamaan yakni persamaan 1 dan 2. Karena koefisien variabel \(z\) adalah sama, maka kita akan eliminasi variabel \(z\) dengan cara menambahkan kedua persamaan tersebut sehingga diperoleh persamaan baru dengan dua variabel yakni \(x\) dan \(y\).

Langkah 2: Ulangi Langkah 1 pada pasangan persamaan lain. Kita ambil pasangan persamaan 2 dan 3. Kita perlu eliminasi variabel z dengan cara mengalikan persamaan 2 dengan nilai 2 dan persamaan tiga dengan nilai 1, yakni

Langkah 3: Dari Langkah 2, kita peroleh nilai \(x = 5\). Dengan substitusi nilai \(x\) ke persamaan (iv) kita peroleh nilai \(y\), yakni

Substitusi nilai \(x\) dan \(y\) pada persamaan 2 (anda bebas memilih salah satu dari tiga persamaan yang diberikan pada soal). Kita peroleh

Langkah 4: Jadi, penyelesaian dari sistem persamaan linear tiga variabel tersebut adalah \((x,y,z) = (5, 3, -1)\).