Untuk menyelesaikan soal ini, kita bisa faktorkan bentuk pertidaksamaan kuadratnya, yakni:

Selanjutnya, dari hasil di atas kita bisa buat garis bilangannya seperti pada gambar di bawah.

Karena notasi pertidaksamaan pada soal di atas adalah lebih dari (>), maka himpunan penyelesaian ditunjukkan oleh garis bilangan dengan tanda positif atau pada interval \( \{ x|x < -1 \ \text{atau} \ x > 6 \} \).

Jawaban A.

Lakukan operasi aljabar untuk membuat ruas kanan pertidaksamaan menjadi nol:

Syarat pertama dari pertidaksamaan di atas adalah \( x + 1 \neq 0 \) maka \( x \neq -1 \).

Berikutnya kita cari batas atau pembuat nol pada pembilang dan penyebut, yaitu:

• Pembuat nol pembilang: \( (x+9)(x-8) = 0 \) maka \( x = -9 \) atau \(x = 8\)
• Pembuat nol penyebut: \( x+1 = 0 \) maka \( x = -1\).

Gambarkan nilai-nilai \(x\) pembuat nol pada garis bilangan dan lakukan uji titik \(x\) pada tiap-tiap interval bilangan. Kita peroleh berikut:

Dari gambar kita bisa ambil kesimpulan bahwa daerah \( -9\leq x \leq -1 \) atau \( x \geq 8 \) merupakan himpunan penyelesaian soal karena pada daerah ini \( \frac{(x+9)(x-8)}{6(x+1)} > 0 \).

Lalu dengan memperhatikan syarat pertama yaitu \( x \neq -1 \) maka himpunan penyelesaian yang memenuhi adalah \( -9 < x < -1 \) dan \( x > 8 \).

Jawaban B.

Lakukan operasi aljabar untuk menyederhanakan pertidaksamaan menjadi bentuk umum pertidaksamaan pecahan, yaitu:

Syarat pertama dari pertidaksamaan di atas adalah \( x(x+3) \neq 0 \) sehingga \(x = 0\) atau \(x = -3\).

Berikutnya kita cari batas atau pembuat nol pada pembilang dan penyebut, yaitu:

• Pembuat nol pembilang: tidak ada
• Pembuat nol penyebut adalah \( x(x+3)=0 \) maka \( x = 0 \) atau \(x = -3\).

Gambarkan nilai-nilai \(x\) pembuat nol pada garis bilangan dan lakukan uji titik \(x\) pada tiap-tiap interval bilangan. Kita peroleh berikut:

Dari gambar bisa diambil kesimpulan bahwa daerah \( -3 \leq x \leq 0 \) merupakan himpunan penyelesaian soal karena pada daerah ini \( \frac{9}{x(x+3)} \leq 0 \).

Lalu dengan memperhatikan syarat pertama yaitu \( x \neq 0 \) atau \( x \neq -3 \) maka himpunan penyelesaian yang memenuhi adalah \( -3 < x < 0 \).

Jawaban C.

Untuk menyelesaikan pertidaksamaan bentuk akar di atas, ada beberapa tahapan yang perlu diperiksa.

Pertama, kita coba selesaikan pertidaksamaan dengan menyamakan bentuk kiri dan kanan, bisa dengan mengkuadratkan ruas kiri dan kanan pertidaksamaan tersebut. Berikut hasil yang diperoleh:

Dari hasil di atas diperoleh himpunan penyelesaian pertidaksamaan kuadrat di atas adalah \( x \leq -3 \) atau \(x \geq 2\).

Kedua, tentukan nilai \(x\) agar bentuk akar \( \sqrt{6-x} \) terdefinisi atau mempunyai nilai real. Agar \( \sqrt{6-x} \) mempunyai nilai real, maka syaratnya yaitu:

Ketiga, karena \( 6-x \geq 0 \) dan agar \( x - \sqrt{6-x} \geq 0 \) mempunyai nilai real, maka \(x \geq 0\).

Dari ketiga tahapan penyelesaian di atas, irisan dari ketiga nilai \(x\) yang diperoleh adalah himpunan penyelesaian pertidaksamaan akar yang diberikan dalam soal. Jika digambarkan hasilnya kurang lebih seperti berikut:

Dari hasil di atas, himpunan penyelesaiannya adalah \( HP: \{ x | 2 \leq x \leq 6 \} \).

Jawaban D.

Untuk menyelesaikan pertidaksamaan bentuk akar di atas, ada beberapa tahapan yang perlu diperiksa.

Pertama, kita coba selesaikan pertidaksamaan dengan mengkuadratkan ruas kiri dan kanan pertidaksamaan tersebut. Berikut hasil yang diperoleh:

Dari hasil di atas diperoleh himpunan penyelesaian \( x \leq \frac{13}{6} \).

Kedua, tentukan nilai \(x\) agar bentuk akar \( \sqrt{x^2-4} \) terdefinisi atau mempunyai nilai real. Agar \( \sqrt{x^2-4} \) mempunyai nilai real, maka syaratnya yaitu:

Ketiga, karena \( \sqrt{x^2-4} \geq 0 \) dan agar \( \sqrt{x^2-4} \leq 3-x \) mempunyai nilai real, maka:

Dari ketiga tahapan penyelesaian di atas, irisan dari ketiga nilai \(x\) yang diperoleh adalah himpunan penyelesaian pertidaksamaan akar yang diberikan dalam soal. Jika digambarkan hasilnya kurang lebih seperti berikut:

Dari hasil di atas, himpunan penyelesaiannya adalah \( HP: \left\{ x \in R : x \leq -2 \ \text{atau} \ 2 \leq x \leq \frac{13}{6} \right\} \).

Jawaban A.

Dengan menggunakan sifat pertidaksamaan nilai mutlak, diperoleh berikut:

Jadi, himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan \( |2x+5| \leq 6 \) adalah \( \{ -\frac{11}{2} \leq x \leq \frac{1}{2} \} \).

Jawaban A.

Ingat sifat pertidaksamaan nilai mutlak, yaitu:

• Untuk \( |f(x)| < a \) maka himpunan penyelesaiannya adalah \( \{ x | -a < f(x) < a \} \)
• Untuk \( |f(x)| > a \) maka himpunan penyelesaiannya adalah \( \{ x | f(x) < -a \ \text{atau} \ f(x) > a \} \).

Berdasarkan sifat pertidaksamaan nilai mutlak di atas, maka himpunan penyelesaian pertidaksamaan \( |2x-a| < 5 \), yaitu:

Himpunan penyelesaian di atas ekuivalen dengan \( \{ x | -1 < x < 4 \} \) sehingga dapat disimpulkan:

Jadi, nilai \(a\) sama dengan 3.

Jawaban D.

Untuk menyederhanakan penulisan pertidaksamaan, kita misalkan \( a^x = m \) di mana \( m > 0\) sehingga diperoleh:

Selanjutnya, karena di awal kita misalkan \( m = a^x\), maka \( -4 < a^x < 2 \) sehingga diperoleh berikut:

Himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan \( \frac{8}{a^x + 2} > a^x \) dengan \(a > 1\) adalah irisan dari \(x < \ ^a \! \log 2 \) dan \( x \in R\) yaitu \( x < \ ^a \! \log 2 \).

Jawaban B.

Untuk menyederhanakan penulisan pertidaksamaan, kita misalkan \( a^x = m \) di mana \( m > 0\) sehingga diperoleh:

Selanjutnya, karena di awal kita misalkan \( m = a^x\), maka \( a^x < -1 \) atau \( a^x > 2 \) sehingga diperoleh berikut:

• Untuk \( a^x < -1 \) dan \( 0 < a < 1\) maka tidak ada nilai \(x\) yang memenuhi.
• Untuk \( a^x > 2\) dan \(0 < a < 1\), maka berlaku:
\begin{aligned} a^x > 2 \Leftrightarrow \ ^a \! \log a^x &< \ ^a \! \log 2 \\[8pt] x &< \ ^a \! \log 2 \end{aligned}

Jadi, himpunan penyelesaian pertidaksamaan \( \frac{ a^x + 2}{a^x} < a^x \) dengan \( 0 < a < 1\) adalah \(x < \ ^a \! \log 2\).

Jawaban C.

Sebelum kita jawab soal ini, ingat bahwa jika \( {}^a \! \log f(x) > {}^a \! \log g(x) \), maka untuk \( a > 1 \) berlaku \( f(x) > g(x) \) dan untuk \( 0 < a < 1 \) berlaku \( f(x) < g(x) \).

Untuk menyelesaikan pertidaksamaan logaritma di atas, kita bisa misalkan \( \log_a x = m \) sehingga kita peroleh berikut:

Dari hasil di atas kita peroleh himpunan penyelesaian pertidaksamaan kuadratnya yaitu \(m < -1\) atau \(m>2\).

Selanjutnya, kita kembalikan nilai \( m = \log_a x \). Perhatikan berikut ini:

Jadi, himpunan penyelesaian (HP) dari pertidaksamaan logaritma di atas yaitu \( x < a^2 \) atau \(x > a^{-1} \).

Jawaban A.