JAGOSTAT.COM

JAGOSTAT.COM

Website Belajar Statistika: Konsep, Teori, dan Penerapan

Website Belajar Statistika: Konsep, Teori, dan Penerapan

Matematika Dasar » Pertidaksamaan › Menyelesaikan Suatu Pertidaksamaan
Pertidaksamaan

Menyelesaikan Suatu Pertidaksamaan

Masalah utama dari pertidaksamaan yaitu mencari solusi atau himpunan penyelesaian yang memenuhi pertidaksamaan tersebut. Solusi tersebut bisa berupa suatu titik, interval atau himpunan.


Oleh Tju Ji Long · Statistisi

Bentuk baku pertidaksamaan dalam notasi matematika dapat dituliskan dengan \(P(x)≥0\), di mana \(P(x)\) merupakan suatu polinomial (tanda \(≥\) bisa juga digantikan dengan \(≤,<\), atau \(>\)).

Contoh pertidaksamaan misalnya,

Gambar

Perhatikan pertidaksamaan kedua dan ketiga pada contoh di atas. Pertidaksamaan kedua disebut pertidaksamaan kuadrat dan pertidaksamaan ketiga disebut pertidaksamaan hasil bagi. Kita akan membahas kedua pertidaksamaan tersebut secara terpisah pada artikel lain. Di sini akan dibahas pertidaksamaan seperti pada pertidaksamaan pertama dan variasinya.

Masalah utama dari pertidaksamaan adalah mencari solusi yang memenuhi pertidaksamaan tersebut. Himpunan penyelesaian suatu pertidaksamaan adalah himpunan bilangan yang mana menyebabkan pertidaksamaan tersebut bernilai benar. Solusi tersebut bisa berupa suatu titik, interval atau himpunan.

Sebagai contoh sederhana, solusi pertidaksamaan untuk \(x-2 < 0 \) adalah semua nilai \(x\) yang menyebabkan pertidaksamaan tersebut bernilai benar yakni ketika nilai \(x\) tersebut dikurangi dengan 2 akan menghasilkan nilai kurang dari nol. Nilai \(x\) yang memenuhi adalah himpunan bilangan yang kurang dari 2 atau \(x < 2\).

Dalam contoh ini solusi pertidaksamaan adalah berupa suatu interval atau himpunan. Anda bisa temukan lebih banyak contoh lain di bawah ini, namun terlebih dahulu saya akan jelaskan sedikit mengenai selang atau interval bilangan karena ini sangat penting dalam materi pertidaksamaan.

Selang bilangan

Menyelesaikan suatu pertidaksamaan (misalnya, \(3x-6 < 12)\) berbeda dengan penyelesaian suatu persamaan \((3x-6=12)\). Dalam persamaan, himpunan pemecahannya biasanya terdiri dari satu bilangan atau mungkin sejumlah bilangan berhingga, sedangkan himpunan pemecahan suatu pertidaksamaan biasanya terdiri dari suatu selang bilangan.

Oleh karena itu, di sini akan diperkenalkan terlebih dahulu beberapa jenis selang dan cara penulisannya yang akan sering muncul dalam pembahasan kita kedepan.

Pertidaksamaan \(a < x < b\) menunjukkan selang terbuka yang terdiri dari semua bilangan antara a dan b, tidak termasuk titik-titik ujung a dan b. Kita nyatakan dengan lambang (a,b) (Gambar 1). Sebaliknya, pertidaksamaan \(a≤x≤b\) menunjukkan selang tertutup, yang mencakup titik-titik ujung a dan b. Ini dinyatakan oleh [a,b] (Gambar 2).

Tabel 1 di bawah menunjukkan sejumlah besar kemungkinan jenis selang dan cara penulisannya.

Gambar

Gambar 1. Selang untuk pertidaksamaan \(a < x < b\)

Gambar

Gambar 2. Selang untuk pertidaksamaan \(a≤x≤b\)

Tabel 1. Berbagai kemungkinan jenis selang dan cara penulisannya

Gambar
Menyelesaikan Suatu Pertidaksamaan

Prosedur untuk menyelesaikan suatu pertidaksamaan mirip dengan prosedur menyelesaikan suatu persamaan. Berikut adalah operasi-operasi tertentu yang bisa dilakukan untuk menyelesaikan suatu pertidaksamaan:

  1. Kita dapat menambahkan bilangan yang sama pada kedua ruas suatu pertidaksamaan;
  2. Kita dapat mengalikan kedua ruas suatu pertidaksamaan dengan suatu bilangan positif;
  3. Kita dapat mengalikan kedua ruas dengan suatu bilangan negatif, tetapi kemudian kita harus membalikkan arah tanda pertidaksamaan.

Perhatikan operasi ketiga. Operasi ketiga inilah yang membedakan penyelesaian suatu pertidaksamaan dengan suatu persamaan.

Sebelum kita membahas lebih banyak contoh mengenai pertidaksamaan, terlebih dahulu pahamilah sifat-sifat suatu pertidaksamaan berikut ini:

  1. Jika \(a < b\) maka \(a + c < b + c\)
  2. Jika \(a < b\) dan \(c < d\) maka \(a + c < b + d\)
  3. Jika \(a < b\) dan \(c > 0\) maka \(ac < bc\)
  4. Jika \(a < b\) dan \(c < 0 \) maka \(ac > bc\)
  5. Jika \(0 < a < b\) maka \(1/b < 1/a\)

Contoh 1:

Selesaikanlah pertidaksamaan \(2x-7 < 4x-2\) dan perlihatkan grafik himpunan penyelesaiannya.

Penyelesaian:

Pertama kita menambahkan kedua ruas dengan 7 dan kemudian menambahkan -4x. Setelah itu, kalikan dengan -1/2. Kita peroleh sebagai berikut.

Gambar

Grafik himpunan penyelesaiannya tampak dalam Gambar 3 berikut.

Gambar

Gambar 3. Himpunan penyelesaian untuk pertidaksamaan \(2x-7 < 4x-2\)

Contoh 2:

Selesaikan \(-5≤2x+6≤4\).

Penyelesaian:

Pertama kita menambahkan -6 dan kemudian mengalikan dengan 1/2 pada pertidaksamaan tersebut. Kita peroleh

Gambar

Gambar 4 memperlihatkan grafik himpunan penyelesaiannya.

Gambar

Gambar 4. Himpunan penyelesaian untuk pertidaksamaan \(-5≤2x+6≤4\)

Contoh di atas merupakan contoh yang sangat sederhana. Saya yakin beberapa di antara kalian dapat memahaminya secara cepat. Namun, sering kali suatu pertidaksamaan tidak tampak seperti pada contoh kita di atas.

Pada artikel berikutnya kita akan membahas bentuk pertidaksamaan yang lebih kompleks yang melibatkan pertidaksamaan kuadrat dan pertidaksamaan hasil bagi dua polinom.

Cukup sekian penjelasan mengenai cara menyelesaikan suatu pertidaksamaan beserta contoh soal dan pembahasannya dalam artikel ini. Semoga bermanfaat.

Sumber:

Purcell, Edwin J., Dale Verberg., dan Steve Rigdon. (2007). Calculus, ed 9. Penerbit Pearson.

Artikel Terkait

The greatest danger for most of us is not that our aim is too high and we miss it, but that it is too low and we reach it.