JAGOSTAT.COM

JAGOSTAT.COM

Website Belajar Statistika: Konsep, Teori, dan Penerapan

Website Belajar Statistika: Konsep, Teori, dan Penerapan

Matematika Dasar » Turunan Fungsi › Turunan Komposisi Fungsi dan Aturan Rantai
Turunan Fungsi

Turunan Komposisi Fungsi dan Aturan Rantai

Fungsi komposisi dapat diartikan sebagai penggabungan dua jenis fungsi \(f(x)\) dan \(g(x)\) sehingga menghasilkan suatu fungsi baru. Turunan dari fungsi komposisi dapat diperoleh menggunakan aturan rantai.


Oleh Tju Ji Long · Statistisi

Fungsi komposisi (composition function) dapat diartikan sebagai penggabungan dua jenis fungsi \(f(x)\) dan \(g(x)\) sehingga menghasilkan suatu fungsi baru. Sebagai contoh, fungsi \(f(x) = \sin x\) dan \(g(x)=x^2\) dapat digabung menjadi suatu fungsi baru yakni \(f(g(x)) = \sin x^2\).

Untuk mencari turunan (derivative) dari komposisi fungsi, kita dapat menggunakan aturan rantai (chain rule). Misalkan, anda diminta untuk mencari turunan dari fungsi berikut

Gambar

Untuk mencari turunan fungsi ini tanpa menggunakan aturan rantai, pertama anda harus mengalikan bersama ke 60 faktor-faktor kuadrat \(2x^2 - 4x + 1\) dan kemudian mendiferensialkan polinom derajat 120 yang dihasilkan. Bayangkan betapa sulitnya mencari turunan untuk fungsi tersebut.

Untungnya, kita tidak perlu melakukan itu, karena terdapat cara yang lebih baik yakni dengan menggunakan aturan rantai. Setelah anda mempelajari aturan rantai, anda akan mampu menuliskan jawaban untuk turunan fungsi di atas secara cepat, yakni

Gambar

TEOREMA: Aturan Rantai

Andaikan \(y = f(u)\) dan \(u = g(x)\). Jika \(g\) terdiferensialkan di \(x\) dan \(f\) terdiferensialkan di \(u = g(x)\), maka fungsi komposit \((f \ o \ g)\), didefinisikan oleh \((f \ o \ g)(x) = f(g(x))\), terdiferensialkan di \(x\) dan

Gambar

Yakni,

Gambar

atau

Gambar
Penerapan Aturan Rantai

Kita mulai dengan contoh fungsi yang diperkenalkan pada bagian awal di atas.

CONTOH 1:

Jika \( y = (2x^2 - 4x + 1)^{60}\), carilah \(D_x y\).

Penyelesaian:

Kita pikirkan ini sebagai

Gambar

Fungsi yang luar adalah \(f(u) = u^{60}\) dan fungsi dalamnya adalah \(u = g(x) = 2x^2 - 4x + 1\). Dengan demikian,

Gambar

CONTOH 2:

Jika \(y = 1/(2x^5 - 7)^3\), carilah dy/dx.

Penyelesaian:

Pikirkanlah begini

Gambar

Sehingga,

Gambar

CONTOH 3:

Gambar

Penyelesaian:

Kita bisa memikirkan ini sebagai \(y=u^{13}\), di mana \(u=(t^3 - 2t + 1)/(t^4 + 3)\). Dengan menerapkan Aturan Rantai dan Aturan Hasilbagi memberikan

Gambar

Cukup sekian penjelasan mengenai cara mencari turunan fungsi komposisi menggunakan aturan rantai beserta contoh soal dan pembahasannya dalam artikel ini. Semoga bermanfaat.

Sumber:

Purcell, Edwin J., Dale Verberg., dan Steve Rigdon. (2007). Calculus, ed 9. Penerbit Pearson.

Artikel Terkait

Education is the most powerful weapon which you can use to change the world.