www.jagostat.com

www.jagostat.com

Website Belajar Matematika & Statistika

Website Belajar Matematika & Statistika

Matematika Dasar › Barisan dan Deret › Latihan Soal HOTS Barisan dan Deret dan Jawabannya
Joki Tugas Matematika Murah, Hanya Rp10-50 Ribu. Hub. WA: 0812-5632-4552

Latihan Soal HOTS Barisan dan Deret dan Jawabannya

Pada artikel kita akan membahas beberapa soal tentang barisan dan deret versi higher order thinking skill (HOTS) dan soal dengan tingkat kesulitan yang tinggi.

Untuk Anda yang baru mempelajari materi barisan dan deret, soal-soal yang diberikan ini mungkin akan membuat Anda mengalami sedikit kesulitan. Jika ada soal dan pembahasan yang kurang jelas silahkan ditanyakan ke teman atau gurunya atau bisa juga tanyakan di kolam komentar artikel ini.

Semoga soal dan pembahasan dalam artikel ini dapat membantu Anda lebih memantapkan penguasaan materi terkait barisan dan deret. Namun sebelum masuk ke contoh soal, berikut beberapa rumus penting terkait barisan dan deret.

Rumus barisan dan deret aritmetika
rumus barisan dan deret aritmatika
Rumus barisan dan deret geometri
rumus barisan dan deret geometri
Rumus barisan dan deret geometri tak hingga

Rumus jumlah semua suku pada deret geometri tak hingga, yaitu:

\[ S_\infty = \frac{a}{1-r} \]

di mana: \(a\) adalah suku pertama dan \(r\) adalah rasio dari deret.

Berikut ini diberikan soal-soal HOTS terkait barisan dan deret beserta pembahasannya. Semoga bermanfaat!

Contoh 1:

Nilai \( a \) yang memenuhi persamaan \( \frac{1}{ {}^{10} \! \log a } + \frac{1}{ {}^{\sqrt{10}} \! \log a } + \frac{1}{ {}^{ \sqrt{ \sqrt{10} } } \! \log a } + \cdots = 200 \) adalah…

  1. \( \frac{1}{100} \)
  2. \( \frac{1}{10} \)
  3. \( \sqrt{10} \)
  4. \( 10^{\frac{1}{100}} \)
  5. \( 10^{\frac{1}{10}} \)
Pembahasan »

Ingat sifat logaritma berikut:

\begin{aligned} \frac{1}{{}^a \! \log b} &= {}^b \! \log a \\[8pt] {}^a \! \log b + {}^a \! \log c &= {}^a \! \log bc \end{aligned}

Berdasarkan sifat logaritma di atas, kita peroleh berikut:

\begin{aligned} \frac{1}{ {}^{10} \! \log a } + \frac{1}{ {}^{\sqrt{10}} \! \log a } + \frac{1}{ {}^{ \sqrt{ \sqrt{10} } } \! \log a } + \cdots &= 200 \\[8pt] {}^a \! \log 10 + {}^a \! \log \sqrt{10} + {}^a \! \log \sqrt{ \sqrt{10} } + \cdots &= 200 \\[8pt] {}^a \! \log \left( 10 \cdot \sqrt{10} + \sqrt{ \sqrt{10} } + \cdots \right) &= 200 \\[8pt] {}^a \! \log \left( 10^{1+\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\cdots} \right) &= 200 \end{aligned}

Perhatikan bahwa \( 1+\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\cdots \) merupakan deret geometri tak hingga dengan \(a = 1\) dan \(r = \frac{1}{2}\) sehingga:

\begin{aligned} S_\infty = \frac{a}{1-r} = \frac{1}{1-\frac{1}{2}} &= 2 \\[8pt] {}^a \! \log \left( 10^{1+\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\cdots} \right) &= 200 \\[8pt] {}^a \! \log \left( 10^2 \right) &= 200 \\[8pt] a^{200} &= 10^2 \\[8pt] a &= (10^2)^{\frac{1}{200}} \\[8pt] &= 10^{\frac{1}{100}} \end{aligned}

Jadi, nilai \(a\) yang memenuhi persamaan tersebut adalah \( 10^{ \frac{1}{100} } \).

Jawaban D.

Contoh 2: UTBK-SBMPTN 2019

Diketahui deret aritmatika dengan suku pertama \(a\) dan beda \(b\). Jika \(b=2a\) dan \(u_1+u_3+u_5+u_7+u_9 = 90\), maka nilai dari \( u_8+u_{10}+u_{12}+u_{12}+u_{16}= \cdots \)

  1. 210
  2. 220
  3. 230
  4. 240
  5. 250
Pembahasan »

Berdasarkan informasi pada soal diperoleh:

\begin{aligned} u_1+u_3+u_5+u_7+u_9 &= 90 \\[8pt] a+(a+2b)+(a+4b)+(a+6b)+(a+8b) &= 90 \\[8pt] 5a+20b = 90 \Rightarrow 5a+20(2a) &= 90 \\[8pt] 5a+40a &= 90 \\[8pt] 45a = 90 \Leftrightarrow a &= 2 \\[8pt] b=2a = 2(2) &= 4 \end{aligned}

Dengan demikian, kita peroleh:

\begin{aligned} &\Leftrightarrow u_8+u_{10}+u_{12}+u_{12}+u_{16} \\[8pt] &\quad = (a+7b)+(a+9b)+(a+11b)+(a+13b)+(a+15b) \\[8pt] &\quad= 5a+b(7+9+11+13+15) \\[8pt] &\quad = 5(2)+(4)(55) \\[8pt] &\quad = 10+220 \\[8pt] &\quad = 230 \end{aligned}

Jawaban C.

Contoh 3:

Diketahui deret geometri dengan \( S_n = 240, S_{n+1} = 248 \), dan \( S_{n+2} = 252 \). Suku pertama deret itu adalah…

  1. 64
  2. 72
  3. 84
  4. 96
  5. 128
Pembahasan »

Dari informasi yang diberikan dalam soal, kita peroleh berikut:

\begin{aligned} U_{n+1} &= S_{n+1}-S_n \\[8pt] &= 248-240=8 \\[8pt] U_{n+2} &= S_{n+2}-S_{n+1} \\[8pt] &= 252-248 = 4 \\[8pt] r &= \frac{U_{n+2}}{U_{n+1}} = \frac{4}{8} = \frac{1}{2} \\[8pt] U_n &= ar^{n-1} \Leftrightarrow U_{n+1} = ar^{(n+1)-1} \\[8pt] 8 &= ar^n \\[8pt] S_n &= \frac{a(r^n-1)}{r-1} \Leftrightarrow 240 = \frac{ar^n-a}{\frac{1}{2}-1} \\[8pt] 240 \times \left(-\frac{1}{2} \right) &= ar^n - a \Leftrightarrow -120 = 8-a \\[8pt] a &= 8+120=128 \end{aligned}

Jawaban E.

Contoh 4: UTBK-SBMPTN 2019

Diketahui deret aritmatika: \( u_1+u_3+u_5+\cdots+u_{2n-1} = \frac{n(n+1)}{2} \) untuk setiap \( n \geq 1 \). Beda deret tersebut adalah…

  1. 1/2
  2. 1
  3. 3/2
  4. 2
  5. 5/2
Pembahasan »

Dari deret \( u_1+u_3+u_5+\cdots+u_{2n-1} = \frac{n(n+1)}{2} \), kita peroleh:

\begin{aligned} u_1 &= \frac{1(1+1)}{2} = 1 \\[8pt] u_1+u_3 &= \frac{2(2+1)}{2} = 3 \\[8pt] u_3 &= 3-1=2 \\[8pt] u_1+u_3+u_5 &= \frac{3(3+1)}{2} = 6 \\[8pt] u_5 &= 6-3=3 \\[8pt] b &= \frac{u_p-u_q}{p-q} = \frac{u_5-u_3}{5-3} \\[8pt] &= \frac{3-2}{5-3} = \frac{1}{2} \end{aligned}

Jawaban A.

Contoh 5: UTBK-SBMPTN 2019

Jika perbandingan suku pertama dan suku ketiga suatu barisan aritmatika adalah 2:3, maka perbandingan suku kedua dan suku keempat adalah….

  1. 1:3
  2. 3:4
  3. 4:5
  4. 5:6
  5. 5:7
Pembahasan »

Dari informasi dalam soal, kita peroleh berikut:

\begin{aligned} \frac{u_1}{u_3} = \frac{2}{3} &\Leftrightarrow \frac{a}{a+2b} = \frac{2}{3} \\[8pt] &\Leftrightarrow 3a = 2a+4b \\[8pt] &\Leftrightarrow a = 4b \\[8pt] \frac{u_2}{u_4} = \frac{a+b}{a+3b} &\Leftrightarrow \frac{u_2}{u_4} = \frac{4b+b}{4b+3b} \\[8pt] &\Leftrightarrow \frac{u_2}{u_4} = \frac{5b}{7b} = \frac{5}{7} \end{aligned}

Jawaban E.

Contoh 6: UTBK-SBMPTN 2019

Jika diketahui suku barisan aritmatika bersifat \( x_{k+2} = x_k + p \) dengan \( p \neq 0 \) untuk sembarang bilangan asli positif \(k\), maka \( x_3+x_5+x_7+\cdots+x_{2n+1} = \cdots \)

  1. \( \frac{pn^2+2nx_2}{2} \)
  2. \( \frac{2pn^2+2nx_2}{2} \)
  3. \( \frac{pn^2+2x_2}{2} \)
  4. \( \frac{2pn^2+nx_2}{2} \)
  5. \( \frac{pn^2+2pnx_2}{2} \)
Pembahasan »

Untuk deret \( x_3+x_5+x_7+\cdots+x_{2n+1} \) kita peroleh suku pertama adalah \(x_3\) dan beda \(2b\). Dari soal diketahui \( x_{k+2} = x_k + p \), sehingga diperoleh:

\begin{aligned} x_{k+2} &= x_k + p \\[8pt] x_{k+2}-x_k &= p \\[8pt] x_{k+2}-x_k &= 2b \\[8pt] p &= 2b \end{aligned}

Dari hasil di atas, maka kita dapatkan hasil berikut:

\begin{aligned} S_n &= x_3+x_5+x_7+\cdots+x_{2n+1} \\[8pt] &= \frac{n}{2} (2a+(n-1)b) \\[8pt] &= \frac{n}{2} (2x_3+(n-1)p) \\[8pt] &= \frac{n}{2}(2(x_2+b)+(n-1)p) \\[8pt] &= \frac{n}{2}(2x_2+2b+pn-p) \\[8pt] &= \frac{n}{2}(2x_2+p+pn-p) \\[8pt] &= \frac{n}{2}(2x_2+pn) \\[8pt] &= \frac{2nx_2+pn^2}{2} \end{aligned}

Jawaban A.

Contoh 7: UM UGM 2019

Diberikan bilangan real \(a > 0\) dan \(a \neq 1\). Jika \( {}^a \! \log y, {}^a \! \log (y+1), {}^a \! \log (3y+1) \) membentuk tiga suku berurutan barisan aritmatika, maka kuadrat nilai-nilai \(y\) yang mungkin adalah…

  1. 1/3
  2. 1/2
  3. 1
  4. 2
  5. 3
Pembahasan »

Berdasarkan sifat barisan aritmatika, kita peroleh:

\begin{aligned} u_2-u_1 &= u_3-u_2 \\[8pt] 2u_2 &= u_3+u_1 \\[8pt] 2 \cdot {}^a \! \log (y+1) &= {}^a \! \log (3y+1)+{}^a \! \log y \\[8pt] {}^a \! \log (y+1)^2 &= {}^a \! \log \{(3y+1)(y)\} \\[8pt] (y+1)^2 &= (3y+1)(y) \\[8pt] y^2+2y+1 &= 3y^2+y \\[8pt] 2y^2-y-1 &= 0 \\[8pt] (2y+1)(y-1) &= 0 \\[8pt] y = -\frac{1}{2} \ &\text{atau} \ y = 1 \end{aligned}

Nilai \( y = -\frac{1}{2} \) tidak memenuhi karena \( y > 0 \) sehingga nilai yang memenuhi adalah \(y=1\). Kuadrat nilai-nilai \(y\) yang mungkin adalah \( y^2 = 1^2 = 1 \).

Jawaban C.

Contoh 8: UTBk-SBMPTN 2019

Diketahui barisan aritmatika dengan \( U_k \) menyatakan suku ke-\(k\). Jika \( U_{k+2} = U_2+k U_{16} - 2 \), maka nilai \( U_6+U_{12}+U_{18}+U_{24} = \cdots \)

  1. \( \frac{2}{k} \)
  2. \( \frac{3}{k} \)
  3. \( \frac{4}{k} \)
  4. \( \frac{6}{k} \)
  5. \( \frac{8}{k} \)
Pembahasan »

Untuk barisan aritmatika kita tahu bahwa rumus untuk mencari beda (b) yaitu \( b = \frac{u_p-u_q}{p-q} \). Karena \(U_k\) menyatakan suku ke-\(k\) pada deret aritmatika maka berlaku:

\begin{aligned} U_k &= a+(k-1) b \\[8pt] U_{k+2} &= a+(k+2-1)b \\[8pt] U_2+kU_{16}-2 &= a+(k+1)b \\[8pt] a+b+k(a+15b)-2 &= a+bk+b \\[8pt] ak+15bk-2 &= bk \\[8pt] ak+15bk-bk &= 2 \\[8pt] ak+14bk &= 2 \\[8pt] k(a+14b) &= 2 \Rightarrow a+14b= \frac{2}{k} \\[8pt] U_6+U_{12}+U_{18}+U_{24} &= a+5b+a+11b+a+17b+a+23b \\[8pt] &= 4a+56b = 4(a+14b) \\[8pt] &= 4 \times \frac{2}{k} = \frac{8}{k} \end{aligned}

Jawaban E.

Contoh 9: UTBK-SBMPTN 2019

Misalkan \( {u_n} \) adalah barisan aritmatika dengan suku pertama \(a\) dan beda \(2a\). Jika \( u_1+u_2+u_3+u_4+u_5 = 100 \), maka \( u_2+u_4+u_6+\cdots+u_{20} = \cdots \)

  1. 720
  2. 840
  3. 960
  4. 1080
  5. 1200
Pembahasan »

Berdasarkan informasi yang diberikan dalam soal, kita peroleh berikut:

\begin{aligned} u_1+u_2+u_3+u_4+u_5 &= 100 \\[8pt] a+(a+b)+(a+2b)+(a+3b)+(a+4b) &= 100 \\[8pt] 5a+10b &= 100 \\[8pt] 5a+10(2a) &= 100 \\[8pt] 25a &= 100 \\[8pt] a &= \frac{100}{25}=4 \\[8pt] b &= 2a = 2(4)=8 \\[8pt] u_2+u_4+u_6+\cdots+u_{20} &= (a+b)+(a+3b)+\cdots+(a+19b) \\[8pt] &= 10a+b(1+3+5+\cdots+19) \\[8pt] &= 10a+b(100) = 10(4)+8(100) \\[8pt] &= 40+800 = 840 \end{aligned}

Jawaban B.

Contoh 10: UMB-PT 2013

Jika \(S_n\) adalah jumlah \(n\) suku pertama dari barisan aritmatika, maka \( \displaystyle \lim_{n \to \infty} \ \frac{S_{3n}}{S_n} = \cdots \)

  1. 10
  2. 9
  3. 8
  4. 7
  5. 6
Pembahasan »

Berdasarkan teorema limit tak hingga diketahui \( \displaystyle \lim_{n \to \infty} \ \frac{1}{n} = 0 \) dan jumlah \(n\) suku pertama pada barisan aritmatika yaitu \( S_n = \frac{n}{2} (2a+(n-1)b \), sehingga:

\begin{aligned} \lim_{n \to \infty} \ \frac{S_{3n}}{S_n} &= \lim_{n \to \infty} \ \frac{ \frac{3n}{2}(2a+(3n-1)b) }{ \frac{n}{2}(2a+(n-1)b) } \\[8pt] &= \lim_{n \to \infty} \ \frac{3(2a+3bn-b)}{ 2a+bn-b } \\[8pt] &= \lim_{n \to \infty} \ \frac{ 6a+9bn-3b }{ 2a+bn-b } \times \frac{ \frac{1}{n} }{ \frac{1}{n} } \\[8pt] &= \lim_{n \to \infty} \ \frac{ \frac{6a}{n} + \frac{9bn}{n}-\frac{3b}{n} }{ \frac{2a}{n} + \frac{bn}{n} - \frac{b}{n} } \\[8pt] &= \frac{ \displaystyle \lim_{n \to \infty} \ \frac{6a}{n} + \displaystyle \lim_{n \to \infty} \ 9b - \displaystyle \lim_{n \to \infty} \ \frac{3b}{n} }{ \displaystyle \lim_{n \to \infty} \ \frac{2a}{n} + \displaystyle \lim_{n \to \infty} \ b - \displaystyle \lim_{n \to \infty} \ \frac{b}{n} } \\[8pt] &= \frac{0+9b-0}{0+b-0} = \frac{9b}{b} \\[8pt] &= 9 \end{aligned}

Jawaban B.

Contoh 11:

Jika \( \frac{1}{s}+\frac{1}{t}=1 \), maka hasil dari deret geometri tak hingga \( \frac{1}{s}+\frac{1}{st}+\frac{1}{st^2}+\cdots+\frac{1}{st^n}+\cdots \) adalah…

  1. \( \frac{s}{t} \)
  2. \( \frac{t}{2} \)
  3. \( 1 \)
  4. \( \frac{1}{2} \)
  5. \( \frac{1}{3} \)
Pembahasan »

Deret geometri tersebut memiliki suku pertama \(a = \frac{1}{s} \) dan rasio \( r = \frac{1}{t} \). Karena diketahui \( \frac{1}{s}+\frac{1}{t}=1 \), maka \( \frac{s+t}{st} = 1 \) atau \( s+t = st \).

Dengan demikian, jumlah deret geometri tak hingga itu, yaitu:

\begin{aligned} S_\infty &= \frac{a}{1-r} = \frac{\frac{1}{s}}{1-\frac{1}{t}} \times \frac{st}{st} \\[8pt] &= \frac{t}{st-s} = \frac{t}{(s+t)-s} \\[8pt] &= \frac{t}{t} = 1 \end{aligned}

Jadi, jumlah deret geometri tak hingga tersebut adalah 1.

Jawaban C.

Contoh 12: UM UGM 2019

Diberikan bilangan real \(r\), dengan \(0 < r < 1\). Jika jumlah deret geometri tak hingga dengan suku pertama 2 dan rasio \( \frac{1}{1+r} \) adalah 8, maka jumlah deret geometri tak hingga dengan suku 8 dan rasio \(r\) adalah…

  1. 10
  2. 12
  3. 15
  4. 16
  5. 18
Pembahasan »

Untuk deret geometri tak hingga dengan suku pertama \( a= 2\), rasio \( r = \frac{1}{1+r}\) dan \( S_infty = 8 \), diperoleh:

\begin{aligned} S_\infty = \frac{a}{1-r} &\Leftrightarrow 8 = \frac{2}{1-\frac{1}{1+r}} \\[8pt] 8 = \frac{2}{\frac{r}{1+r}} &\Leftrightarrow 8 = \frac{2+2r}{r} \\[8pt] 8r &= 2+2r \\[8pt] 6r &= 2 \Rightarrow r = \frac{2}{6} = \frac{1}{3} \\[8pt] S_\infty &= \frac{a}{1-r} = \frac{8}{1-\frac{1}{3}} \\[8pt] &= \frac{8}{\frac{2}{3}} = 8 \times \frac{3}{2} \\[8pt] &= 12 \end{aligned}

Jawaban B.

Contoh 13:

Misalkan \( 1+\frac{1}{p}+\frac{1}{p^3}+\cdots = 2021 \) dan \( \frac{1}{q}+\frac{1}{q^2}+\frac{1}{q^3}+\cdots = 2019 \). Nilai dari \( \frac{q}{p} = \cdots \)

  1. \( \frac{2018 \times 2020}{ 2021 \times 2019 } \)
  2. \( \frac{2019 \times 2020}{ 2018 \times 2021 } \)
  3. \( \frac{2020^2 - 1}{ 2020^2 } \)
  4. \( \frac{2020^2}{ 2020^2-1 } \)
  5. \( \frac{2020^2}{ 2020^2+1 } \)
Pembahasan »

Dari deret \( 1+\frac{1}{p}+\frac{1}{p^3}+\cdots = 2021 \), kita peroleh \(a = 1\) dan \(r = \frac{1}{p}\) sehingga dapat dituliskan:

\begin{aligned} S_\infty = \frac{a}{1-r} &\Leftrightarrow 2021 = \frac{1}{1-\frac{1}{p}} \\[8pt] 2021 = \frac{1}{\frac{p-1}{p}} &\Leftrightarrow 2021 = \frac{p}{p-1} \\[8pt] 2021p-2021 &= p \\[8pt] 2020p &= 2021 \\[8pt] p &= \frac{2021}{2020} \end{aligned}

Dari deret \( \frac{1}{q}+\frac{1}{q^2}+\frac{1}{q^3}+\cdots = 2019 \), kita peroleh \( a = \frac{1}{q} \) dan \( r = \frac{1}{q} \) sehingga dapat dituliskan:

\begin{aligned} S_\infty = \frac{a}{1-r} &\Leftrightarrow 2019 = \frac{\frac{1}{q}}{1-\frac{1}{q}} \\[8pt] 2019 = \frac{\frac{1}{q}}{\frac{q-1}{q}} &\Leftrightarrow 2019 = \frac{1}{q-1} \\[8pt] 2019q-2019 &= 1 \\[8pt] 2019q &= 2020 \\[8pt] q &= \frac{2020}{2019} \end{aligned}

Dari nilai \(p\) dan \(q\) di atas, maka diperoleh:

\begin{aligned} \frac{q}{p} &= \frac{ \frac{2020}{2019} }{ \frac{2021}{2020} } = \frac{2020}{2019} \times \frac{2020}{2021} \\[8pt] &= \frac{2020^2}{ (2020+1) \times (2020-1) } \\[8pt] &= \frac{2020^2}{2020^2-1} \end{aligned}

Jawaban D.

Contoh 14: SIMAK UI 2019

Diberikan deret geometri \( 1-(a+3)+(a+3)^2-(a+3)^3+\cdots=2a+9 \) dengan \( -4 < a < -2 \). Jika \(a, -7, b\) membentuk barisan geometri baru, nilai \(2a+b = \cdots\)

  1. 7
  2. 0
  3. -7
  4. -14
  5. -21
Pembahasan »

Sebelum kita menentukan nilai \(a\) dan \(b\), kita coba menguji nilai \(r\) apakah deret tersebut dapat diterapkan aturan pada deret geometri tak hingga.

\begin{aligned} -1 < r < 1 \\[8pt] -1 < -(a+3) < 1 \\[8pt] -1 < a + 3 < 1 \\[8pt] -1-3 < a < 1-3 \\[8pt] -4 < a < -2 \end{aligned}

Batasan nilai \(a\) yang harus dipenuhi agar deret tersebut konvergen sesuai dengan syarat nilai \(a\) pada soal yaitu \(-4 < a < -2\) sehingga berlaku:

\begin{aligned} S_\infty = \frac{a}{1-r} \Leftrightarrow 2a+9 &= \frac{1}{-(a+3)} \\[8pt] -(2a+9)(a+3) &= 1 \\[8pt] -2a^2-6a-9a-27-1 &= 0 \\[8pt] 2a^2+15a+28 &= 0 \\[8pt] (2a+7)(a+4) &= 0 \\[8pt] a = -4 \ &\text{Tidak Memenuhi} \\[8pt] a &= -\frac{7}{2} \end{aligned}

Karena barisan \(a, -7,b\) adalah barisan geometri maka \( -\frac{7}{2}, -7, b \) sehingga diperoleh:

\begin{aligned} r &= \frac{U_2}{U_1} = \frac{-7}{-7/2} = -7 \times \left( -\frac{2}{7} \right) = 2 \\[8pt] b &= U_2 \times r = -7 \times 2 = -14 \\[8pt] 2a+b &= 2 \left( -\frac{7}{2} \right)+(-14) = -21 \end{aligned}

Jawaban E.

Contoh 15:

Suatu deret geometri di mana semua sukunya positif. Jika \( U_1+U_2+U_3 = 10,5 \) dan \( {}^2 \! \log U_1 + {}^2 \! \log U_2+{}^2 \! \log U_3 = {}^2 \! \log U_4-2 \), maka suku keempat deret itu adalah…

  1. 32
  2. 34
  3. 36
  4. 40
  5. 42
Pembahasan »

Dari sifat logaritma, kita peroleh:

\begin{aligned} {}^2 \! \log U_1 + {}^2 \! \log U_2+{}^2 \! \log U_3 &= {}^2 \! \log U_4-2 \\[8pt] {}^2 \! \log (U_1 \cdot U_2 \cdot U_3) &= {}^2 \! \log U_4-{}^2 \! \log 2^2 \\[8pt] {}^2 \! \log (U_1 \cdot U_2 \cdot U_3) &= {}^2 \! \log \left( \frac{U_4}{4} \right) \\[8pt] U_1 \cdot U_2 \cdot U_3 &= \frac{U_4}{4} \\[8pt] a \cdot ar \cdot ar^2 &= \frac{ar^3}{4} \\[8pt] a^3 r^3 &= \frac{ar^3}{4} \\[8pt] a^2 &= \frac{1}{4} \Leftrightarrow a = \pm \frac{1}{2} \end{aligned}

Untuk \( a = \frac{1}{2} \), kita peroleh:

\begin{aligned} U_1+U_2+U_3 &= 10,5 \\[8pt] a+ar+ar^2 &= 10,5 \\[8pt] \frac{1}{2}+\frac{1}{2} \cdot r + \frac{1}{2} \cdot r^2 &= 10,5 \\[8pt] 1+r+r^2 &= 21 \\[8pt] r^2+r-20 &= 0 \\[8pt] (r+5)(r-4) &= 0 \\[8pt] r=-5 \ &\text{atau} \ r = 4 \end{aligned}

Karena \(r=-5\) tidak memenuhi maka \(r=4\) sehingga:

\begin{aligned} U_4 &= ar^{4-1} = \frac{1}{2} \cdot 4^3 \\[8pt] &= \frac{1}{2} \cdot 64 = 32 \end{aligned}

Jawaban A.

Contoh 16:

Jika \( U_n \) adalah suku ke-n suatu barisan geometri maka jumlah 4 suku pertama barisan tersebut sama dengan…

  1. \( \frac{u_1(u_1-u_4)}{ u_1-u_2 } \)
  2. \( \frac{u_1-u_4}{ u_1-u_2 } \)
  3. \( \frac{u_1(u_1+u_5)}{ u_1-u_2 } \)
  4. \( \frac{u_1(u_1-u_5)}{ u_1-u_2 } \)
  5. \( \frac{u_1(u_1+u_4)}{ u_1-u_2 } \)
Pembahasan »

Kita tahu bahwa \( S_n = \frac{a(r^n-1)}{r-1} \) sehingga:

\begin{aligned} S_n &= \frac{a(r^n-1)}{r-1} \\[8pt] S_4 &= \frac{a(r^4-1)}{r-1} \times \frac{a}{a} \\[8pt] &= \frac{a(ar^4-a)}{ar-a} = \frac{u_1(u_5-u_1)}{u_2-u_1} \\[8pt] &= \frac{u_1(u_1-u_5)}{u_1-u_2} \end{aligned}

Jawaban D.

Contoh 17:

Jika diketahui bahwa \( x = \frac{1}{2013}-\frac{2}{2013}+\frac{3}{2013}-\frac{4}{2013}+\cdots-\frac{2012}{2013} \), nilai \(x\) yang memenuhi adalah…

  1. \( -\frac{1007}{2013} \)
  2. \( -\frac{1006}{2013} \)
  3. \( \frac{1}{2013} \)
  4. \( \frac{1006}{2013} \)
  5. \( \frac{1007}{2013} \)
Pembahasan »

Dari deret \(x\), kita bisa manipulasi bentuknya sehingga menjadi:

\begin{aligned} x &= \frac{1}{2013}-\frac{2}{2013}+\frac{3}{2013}-\frac{4}{2013}+\cdots-\frac{2012}{2013} \\[8pt] &= \frac{1}{2013} \left( 1-2+3-4+\cdots-2012 \right) \\[8pt] &= \frac{1}{2013} \left( (1-2)+(3-4)+\cdots+(2011-2012) \right) \\[8pt] &= \frac{1}{2013} \left( (-1)+(-1)+\cdots+(-1) \right) \\[8pt] &= \frac{1}{2013} \left( \frac{2012}{2}\times (-1) \right) \\[8pt] &= \frac{1}{2013} (-1006) \\[8pt] &= - \frac{1006}{2013} \end{aligned}

Jawaban B.

Contoh 18: SIMAK UI 2013

Diketahui bahwa \(x, a_1, a_2, a_3, y\) dan \(x, b_1, b_2, b_3, b_4, b_5, y\) dengan \(x \neq y\) adalah dua buah barisan aritmatika, maka \( \frac{a_3-a_2}{b_5-b_3} = \cdots \)

  1. \( \frac{1}{4} \)
  2. \( \frac{2}{4} \)
  3. \( \frac{3}{4} \)
  4. \( \frac{4}{3} \)
  5. \( \frac{5}{3} \)
Pembahasan »

Dari barisan \(x, a_1, a_2, a_3, y\), diperoleh \(u_1 = x \) dan misalkan beda = \(p\), maka:

\begin{aligned} u_n &= u_1 + (n-1) \cdot b \\[8pt] u_5 &= x + (5-1) \cdot p \\[8pt] y &= x + 4p \\[8pt] p &= \frac{y-x}{4} \\[8pt] a_2 &= x + 2p \ \text{dan} \ a_3 = x+3p \end{aligned}

Dari barisan \(x, b_1, b_2, b_3, b_4, b_5, y\), diperoleh \(u_1 = x \) dan misalkan beda = \(q\), maka:

\begin{aligned} u_n &= u_1 + (n-1) \cdot b \\[8pt] u_7 &= x + (7-1) \cdot q \\[8pt] y &= x + 6q \\[8pt] q &= \frac{y-x}{6} \\[8pt] b_3 &= x + 3q \ \text{dan} \ b_5 = x+4q \end{aligned}

Dari hasil di atas, diperoleh:

\begin{aligned} \frac{a_3-a_2}{b_5-b_3} &= \frac{(x+3p)-(x+2p)}{(x+5q)-(x+3q)} \\[8pt] &= \frac{p}{2q} = \frac{1}{2} \cdot \frac{\frac{y-x}{4}}{\frac{y-x}{6}} \\[8pt] &= \frac{1}{2} \cdot \frac{6}{4} = \frac{3}{4} \end{aligned}

Jawaban C.

Contoh 19: SBMPTN 2013

Diketahui deret geometri tak hingga \(u_1+u_2+u_3+ \cdots \). Jika rasio deret tersebut adalah \(r\) dengan \( -1 < r < 1 \), \( u_2+u_4+u_6 + \cdots = 4 \) dan \( u_2 + u_4 = 3 \), maka nilai \(r^2\) adalah….

  1. \( \frac{1}{4} \)
  2. \( \frac{1}{3} \)
  3. \( \frac{\sqrt{3}}{2} \)
  4. \( \frac{1}{2} \)
  5. \( \frac{3}{4} \)
Pembahasan »

Dari soal diketahui \( u_2+u_4+u_6+ \cdots = 4 \) yang berarti jumlah suku-suku genap adalah 4, sehingga berlaku:

\begin{aligned} S_\infty (\text{genap}) = \frac{ar}{1-r^2} \Leftrightarrow 4 &= \frac{ar}{1-r^2} \\[8pt] 4(1-r^2) &= ar \\[8pt] 4-4r^2 &= ar \\[8pt] u_2 + u_4 = 3 \Leftrightarrow ar+ar^3 &= 3 \\[8pt] (4-4r^2)+(4-4r^2)r^2 &= 3 \\[8pt] 4-4r^2+4r^2-4r^4 &= 3 \\[8pt] 4-4r^4 &= 3 \\[8pt] 4r^4 &= 1 \\[8pt] r^4 &= \frac{1}{4} \\[8pt] r^2 &= \frac{1}{2} \end{aligned}

Jawaban D.

Contoh 20: SBMPTN 2013

Diketahui deret geometri tak hingga \( u_1+u_2+u_3+\cdots \). Jika rasio deret geometri adalah \(r\) dengan \(-1 < r < 1\), \( u_1+u_2+u_3 + \cdots = 6 \) dan \( u_3+u_4+u_5+\cdots = 2 \), maka nilai \(r\) adalah….

  1. \( -\frac{1}{4} \) atau \( \frac{1}{4} \)
  2. \( -\frac{1}{3} \) atau \( \frac{1}{3} \)
  3. \( -\frac{1}{2} \) atau \( \frac{1}{2} \)
  4. \( -\frac{1}{\sqrt{3}} \) atau \( \frac{1}{\sqrt{3}} \)
  5. \( -\frac{1}{\sqrt{2}} \) atau \( \frac{1}{\sqrt{2}} \)
Pembahasan »

Deret \( u_1+u_2+u_3+\cdots = 6 \) artinya jumlah seluruh suku-sukunya adalah 6, sehingga berlaku:

\begin{aligned} S_\infty = \frac{a}{1-r} \Leftrightarrow 6 &= \frac{a}{1-r} \\[8pt] a &= 6(1-r) \\[8pt] a &= 6-6r \\[8pt] u_3+u_4+u_5+\cdots &= 2 \\[8pt] (u_1+u_2)+u_3+u_4+u_5+\cdots &= (u_1+u_2)+2 \\[8pt] 6 &= a+ar+2 \\[8pt] 4 &= (6-6r)+(6-6r)r \\[8pt] 4 &= 6-6r+6r-6r^2 \\[8pt] 4-6 &= -6r^2 \\[8pt] r^2 &= \frac{-2}{-6} = \frac{1}{3} \\[8pt] r &= \pm \sqrt{\frac{1}{3}} = \pm \frac{1}{\sqrt{3}} \\[8pt] \text{Jadi,} \ r &= -\frac{1}{\sqrt{3}} \ \text{atau} \ r = \frac{1}{\sqrt{3}} \end{aligned}

Jawaban D.

Contoh 21: SPMB 2006

Jumlah suatu deret geometri tak hingga dengan suku pertama \( a \) dan rasio \(r\) dengan \( 0 < r < 1\) adalah \(S\). Jika suku pertama tetap dan rasio berubah menjadi \(1-r\), maka jumlahnya menjadi…

  1. \( S \left( 1-\frac{1}{r} \right) \)
  2. \( \frac{S}{r} \)
  3. \( S \left( \frac{1}{r}+r \right) \)
  4. \( \frac{S}{1-r} \)
  5. \( S \left( \frac{1}{r}-1 \right) \)
Pembahasan »

Untuk jumlah deret geometri tak hingga dengan suku pertama \(a\) dan rasio \(r\), kita peroleh berikut ini:

\begin{aligned} S_\infty = \frac{a}{1-r} \Leftrightarrow S &=\frac{a}{1-r} \\[8pt] \Leftrightarrow a &= S(1-r) \end{aligned}

Dari hasil di atas, kita peroleh nilai \(a\) sama dengan \(S(1-r)\). Dengan demikian, kita peroleh jumlah deret geometri tak hingga dengan suku pertama \(a\) dan rasio \(1-r\) yaitu sebagai berikut:

\begin{aligned} S_\infty = \frac{a}{1-r} \Leftrightarrow S_\infty &=\frac{S(1-r)}{1-(1-r)} \\[8pt] &= \frac{S(1-r)}{r} = S \left( \frac{1}{r}-\frac{r}{r} \right) \\[8pt] &= S \left( \frac{1}{r}-1 \right) \end{aligned}

Jawaban E.

Contoh 22:

Misalkan \(U_n\) adalah suku ke-n suatu barisan aritmatika. Jika \( U_{k+2} = U_2 + k \cdot U_{16}-2 \), maka nilai dari \( U_6+U_{12}+U_{18}+U_{24} = \cdots \)

  1. \( \frac{2}{k} \)
  2. \( \frac{3}{k} \)
  3. \( \frac{4}{k} \)
  4. \( \frac{6}{k} \)
  5. \( \frac{8}{k} \)
Pembahasan »

Ingat bahwa rumus suku ke-n barisan aritmatika yaitu \( U_n = a + (n-1)b \). Berdasarkan rumus ini, kita peroleh:

\begin{aligned} U_n &= a+(n-1)b \\[8pt] U_{k+2} &= a+(k+2-1)b \\[8pt] &= a+(k-1)b \end{aligned}

Selanjutnya, kita peroleh berikut ini:

\begin{aligned} U_{k+2} &= U_2 + k \cdot U_{16}-2 \\[8pt] a+(k+1)b &= (a+b)+k(a+15b)-2 \\[8pt] a+b+kb &= (a+b)+ka+15kb-2 \\[8pt] kb &= ka+15kb-2 \\[8pt] ka+14kb &= 2 \\[8pt] k(a+14b) &= 2 \Leftrightarrow a+14b = \frac{2}{k} \end{aligned}

Dengan demikian,

\begin{aligned} U_6+U_{12}+U_{18}+U_{24} &= (a+5b)+(a+11b)+(a+17b)+(a+23b) \\[8pt] &= 4a+56b = 4(a+14b) \\[8pt] &= 4 \cdot \frac{2}{k} = \frac{8}{k} \end{aligned}

Jadi, nilai dari \( U_6+U_{12}+U_{18}+U_{24} \) adalah \( \frac{8}{k} \).

Jawaban E.

Contoh 23:

Jika \( x_{k+1}= x_k + \frac{1}{2} \) untuk \( k = 1,2,3,\cdots \) dan \( x_1 = 1 \), maka nilai dari \( x_1+x_2+x_3+\cdots+x_{400} = \cdots \)

  1. 40.000
  2. 40.300
  3. 40.600
  4. 40.900
  5. 41.200
Pembahasan »

Perhatikan bahwa \( x_{k+1} = x_k + \frac{1}{2} \) ekuivalen dengan \( x_{k+1}-x_k = \frac{1}{2} \). Selisih antara \( x_{k+1} \) dan \(x_k\) adalah konstan yaitu \( \frac{1}{2} \) untuk setiap \(k \geq 1\) sehingga \( x_1+x_2+x_3+\cdots+x_{400} \) merupakan deret aritmatika dengan suku pertama \( x_1 = a = 1 \) dan \( b = \frac{1}{2} \), serta \(n = 400\). Dengan demikian, kita peroleh berikut ini:

\begin{aligned} x_1+x_2+x_3+\cdots+x_{400} &= S_{400} \\[8pt] S_n &= \frac{n}{2}(2a+(n-1)b) \\[8pt] S_{400} &= \frac{400}{2} \left(2\cdot 1 + (400-1) \cdot \frac{1}{2} \right) \\[8pt] &= 200 \left( 2 + \frac{399}{2} \right) = 400 + 39.900 \\[8pt] &= 40.300 \end{aligned}

Jadi, hasil dari \( x_1+x_2+x_3+\cdots+x_{400} \) adalah 40.300.

Jawaban B.

Contoh 24: SBMPTN 2013

Parabola \( y = x^2-2x+m+2 \) mempunyai titik puncak \( (p,q) \). Jika \(3p\) dan \(q\) dua suku pertama deret geometri tak hingga yang mempunyai jumlah 9, maka nilai \(m\) adalah…

  1. -3
  2. -1
  3. 1
  4. 2
  5. 3
Pembahasan »

Untuk menyelesaikan soal ini kita perlu mengetahui rumus titik puncak fungsi kuadrat yaitu \( \left( -\frac{b}{2a}, - \frac{D}{4a} \right) \) dan rumus jumlah deret geometri tak hingga yaitu: \( S_\infty = \frac{a}{1-r} \).

Dari soal diketahui parabola \( y = x^2-2x+m+2 \), sehingga diperoleh:

\begin{aligned} p &= -\frac{b}{2a} = - \frac{-2}{2(1)} = 1 \\[8pt] q &= - \frac{D}{4a} = -\frac{b^2-4ac}{4a} \\[8pt] &= -\frac{(-2)^2-4(1)(m+2)}{4(1)} \\[8pt] &= - \frac{4-4m-8}{4} = -\frac{-4-4m}{4} \\[8pt] &= 1+m \end{aligned}

Berdasarkan hasil di atas, maka diperoleh deret geometri tak hingga, yaitu:

\begin{aligned} 3+(1+m)+\cdots &= 9 \\[8pt] \frac{a}{1-r} &= 9 \Leftrightarrow \frac{3}{1-\frac{1+m}{3}} = 9 \\[8pt] 3 &= 9 \times \left( 1-\frac{1+m}{3} \right) \\[8pt] 3 &= 9-3(1+m) \\[8pt] 3 &= 6-3m \\[8pt] 3m &= 3 \\[8pt] m &= 1 \end{aligned}

Jawaban C.

Contoh 25: SBMPTN 2014

Diketahui \(x_1\) dan \(x_2\) akar-akar real persamaan \(x^2+3x+p=0\), dengan \(x_1\) dan \(x_2\) kedua-duanya tidak sama dengan nol. Jika \( x_1+x_2, \ x_1 x_2 \), dan \( x_1^2 x_2^2 \) merupakan tiga suku pertama barisan aritmatika, maka \( p = \cdots \)

  1. -3
  2. -1
  3. 0
  4. 1
  5. 3
Pembahasan »

Untuk menyelesaikan soal ini, kita perlu menggunakan rumus terkait penjumlahan dan perkalian akar-akar persamaan kuadrat dari \( x^2+3x+p=0 \), yakni:

\begin{aligned} x_1+x_2 &= -\frac{b}{a} = -\frac{3}{1} = -3 \\[8pt] x_1 \cdot x_2 &= \frac{c}{a} = \frac{p}{1}=p \\[8pt] x_1^2 \cdot x_2^2 &= (x_1 \cdot x_2)^2 = p^2 \end{aligned}

Berdasarkan hasil di atas, maka barisan aritmatika yg diperoleh yaitu: \(-3, p, p^2\). Selanjutnya, berdasarkan rumus barisan aritmatika, diperoleh:

\begin{aligned} 2U_2 &= U_1 + U_3 \\[8pt] 2p &= -3+p^2 \\[8pt] p^2-2p-3 &= 0 \\[8pt] (p-3)(p+1) &= 0 \\[8pt] p=3 \ \text{atau} \ p &= -1 \end{aligned}

Untuk \(p=3\) tidak memenuhi karena mengakibatkan \( x^2+3x+p=0 \) akar-akarnya tidak real, sehingga nilai \(p\) yang memenuhi adalah untuk \(p=-1\).

Jawaban B.

Contoh 26:

Jika diketahui \( {}^a \! \log b + ( {}^a \! \log b )^2 + ( {}^a \! \log b )^3 + \cdots = 2 \), maka \( {}^a \! \log b + {}^b \! \log \sqrt[3]{a^2} = \cdots \)

  1. \( 1 \)
  2. \( \frac{3}{2} \)
  3. \( \frac{5}{3} \)
  4. \( 2 \)
  5. \( 3 \)
Pembahasan »

Untuk menyelesaikan soal ini ada beberapa sifat logaritma yang perlu kamu pahami terlebih dahulu. Dari deret yang diberikan pada soal, diketahui suku pertama \( U_1 = {}^a \! \log b \) dan rasio deretnya \(r = {}^a \! \log b \) sehingga berlaku:

\begin{aligned} S_\infty = \frac{a}{1-r} \Leftrightarrow S_\infty &= \frac{{}^a \! \log b}{1-{}^a \! \log b} \\[8pt] 2 &= \frac{{}^a \! \log b}{{}^a \! \log a-{}^a \! \log b} \\[8pt] 2 &= \frac{{}^a \! \log b}{{}^a \! \log \frac{a}{b}} \\[8pt] 2 \cdot {}^a \! \log \frac{a}{b} &= {}^a \! \log b \\[8pt] {}^a \! \log \left( \frac{a}{b} \right)^2 &= {}^a \! \log b \\[8pt] \left( \frac{a}{b} \right)^2 &= b \\[8pt] a^2 &= b^3 \\[8pt] b &= a^{\frac{2}{3}} \end{aligned}

Dengan demikian, kita peroleh berikut ini:

\begin{aligned} {}^a \! \log b + {}^b \! \log \sqrt[3]{a^2} &= {}^a \! \log a^{\frac{2}{3}} + {}^b \! \log \sqrt[3]{b^3} \\[8pt] &= \frac{2}{3} \cdot {}^a \! \log a + {}^b \! \log b \\[8pt] &= \frac{2}{3} \cdot 1 + 1 \\[8pt] &= \frac{5}{3} \end{aligned}

Jawaban C.

Contoh 27: SBMPTN 2014

Jika \( S=1+\frac{1}{2} \sin 2x + \frac{1}{4} \sin^2 2x + \frac{1}{8} \sin^3 2x + \cdots \) maka...

  1. \( \frac{2}{3} < S < 2 \)
  2. \( \frac{3}{2} < S < 2 \)
  3. \( \frac{2}{3} < S < \frac{3}{2} \)
  4. \( \frac{1}{2} < S < \frac{3}{2} \)
  5. \( \frac{1}{2} < S < \frac{2}{3} \)
Pembahasan »

Ingat bahwa deret tak hingga akan konvergen dengan syarat \( -1 < r < 1 \) sehingga kita peroleh:

\begin{aligned} -1 < r &< 1 \\[8pt] -1 < \frac{1}{2} \sin 2x &< 1 \\[8pt] -2 < \sin 2x &< 2 \end{aligned}

Selanjutnya, berdasarkan jumlah deret tak hingga, maka:

\begin{aligned} S_\infty &= \frac{a}{1-r} = \frac{1}{1-\frac{1}{2} \sin 2x} \\[8pt] &= \frac{2}{2-\sin 2x} \\[8pt] \text{Untuk} \ \sin 2x &= -1, \ \text{maka} \ S_\infty = \frac{2}{2+1} = \frac{2}{3} \\[8pt] \text{Untuk} \ \sin 2x &= 1, \ \text{maka} \ S_\infty = \frac{2}{2-1} = 2 \\[8pt] \text{Jadi,} \ &\frac{2}{3} < S < 2 \end{aligned}

Jawaban A.

Contoh 28: SBMPTN 2014

Diketahui \(a, a+b, a+5b\) merupakan 3 suku pertama suatu barisan geometri. Jika \( a, a+b, x, y, \) dan \(z\) merupakan 5 suku pertama barisan aritmetika dan \( x+y+z=-15 \), maka suku ke-10 barisan aritmetika tersebut adalah…

  1. -21/2
  2. -14
  3. -29/2
  4. -15
  5. -31/2
Pembahasan »

Diketahui \(a, a+b, a+5b\) membentuk barisan aritmetika. Dari barisan kita tentukan nilai beda \(b\), yaitu:

\begin{aligned} U_2^2 &= U_1 \cdot U_3 \\[8pt] (a+b)^2 &= a(a+5b) \\[8pt] a^2+2ab+b^2 &= a^2+5ab \\[8pt] b^2 &= 3ab \\[8pt] b &= 3a \end{aligned}

Selanjutnya, diketahui \( a, a+b, x, y, \) dan \(z\) merupakan 5 suku pertama barisan aritmetika di mana \( x+y+x=-15 \), sehingga kita peroleh berikut:

\begin{aligned} S_n &= \frac{n}{2}(2a+(n-1)b) \\[8pt] S_5 &= \frac{5}{2}(2a+4b) \\[8pt] a+(a+b)+x+y+z &= 5a+10b \\[8pt] 2a+b+(x+y+z) &= 5a+10b \\[8pt] 2a+3a-15 &= 5a+10(3a) \\[8pt] 5a-15 &= 5a+30a \\[8pt] 30a &= -15 \\[8pt] a &= -\frac{1}{2} \\[8pt] a=-\frac{1}{2} &\Leftrightarrow b = 3a = -\frac{3}{2} \\[8pt] U_{10} = a+9b &\Leftrightarrow U_{10} = -\frac{1}{2}+9\left(-\frac{3}{2} \right) \\[8pt] &\Leftrightarrow U_{10} = -\frac{1}{2}-\frac{27}{2} = -\frac{28}{2}=-14 \end{aligned}

Jawaban A.

Contoh 29: SBMPTN 2010

Jumlah 50 suku pertama \( \log 5+\log 55+\log 605+\log 6655+\cdots \) adalah…

  1. \( \log \left( 55^{1150} \right) \)
  2. \( \log \left( 5^{25} 11^{1225} \right) \)
  3. \( \log \left( 25^{25} 11^{1225} \right) \)
  4. \( \log \left( 275^{1125} \right) \)
  5. \( 1150 \log (5) \)
Pembahasan »

Dari deret aritmetika yang diberikan kita peroleh hasil berikut:

\begin{aligned} a = \log 5, \ b &= U_2-U_1 = \log 55 - \log 5 \\[8pt] &= \log \left(\frac{55}{5} \right) = \log 11 \\[8pt] S_n &= \frac{n}{2}(2a+(n-1) \cdot b) \\[8pt] S_{50} &= \frac{50}{2}(2(\log 5)+(50-1) \cdot \log 11) \\[8pt] &= 25(2 \log 5+49 \log 11) \\[8pt] &= 50 \log 5 + 1225 \log 11 \\[8pt] &= \log 5^{50}+\log 11^{1225} \\[8pt] &=\log \left( 5^{50} \cdot 11^{1225} \right) \\[8pt] &=\log \left( 25^{25} \cdot 11^{1225} \right) \end{aligned}

Jawaban C.

Contoh 30: SBMPTN 2013

Diketahui deret geometri tak hingga \( U_1+U_2+U_3+\cdots \). Jika rasio deret tersebut adalah \(r\) dengan \(-1 < r < 1\) dan \( U_1+U_3+U_5+\cdots = \frac{2}{3}U_1+(U_2+U_4+U_6+\cdots) \) maka nilai \(r^2 = \cdots \)

  1. 1/9
  2. 1/4
  3. 1/3
  4. 1/2
  5. 1
Pembahasan »

Diketahui \( U_1+U_3+U_5+\cdots = \frac{2}{3}U_1+(U_2+U_4+U_6+\cdots) \) sehingga kita peroleh berikut:

\begin{aligned} U_1+U_3+U_5+\cdots &= \frac{2}{3}U_1+(U_2+U_4+U_6+\cdots) \\[8pt] S_{\text{ganjil}} &= \frac{2}{3}a+S_{\text{genap}} \\[8pt] \frac{a}{1-r^2} &= \frac{2}{3}a+\frac{ar}{1-r^2} \\[8pt] \frac{a}{1-r^2}-\frac{ar}{1-r^2} &= \frac{2}{3}a \\[8pt] \frac{a(1-r)}{(1-r)(1+r)} &= \frac{2}{3}a \\[8pt] \frac{1}{1+r} &= \frac{2}{3} \Leftrightarrow 2+ 2r = 3 \\[8pt] 2r &= 3-2 \Leftrightarrow r = \frac{1}{2} \\[8pt] r^2 &= \left(\frac{1}{2} \right)^2 = \frac{1}{4} \end{aligned}

Jawaban B.

Jika Anda merasa artikel ini bermanfaat, klik tombol suka di bawah ini dan jika ada pembahasan yang kurang jelas dari artikel ini silahkan tanyakan di kolom komentar. Terima kasih.

Artikel Terkait
img

Barisan dan deret aritmetika: Rumus, contoh soal dan pembahasan

img

Barisan dan deret geometri: Rumus, contoh soal dan pembahasan

img

Barisan dan deret tak hingga: Rumus, contoh soal dan pembahasan

Yesterday I was clever so I wanted to change the world. Today I'm wise, so I am changing myself.

Rumi