Matematika Dasar   »   Barisan dan Deret   ›  Barisan dan Deret Tak Hingga

Barisan dan Deret Tak Hingga

Barisan dan Deret Tak Hingga

Barisan merupakan urutan dari suatu bilangan yang tersusun berdasarkan aturan atau pola tertentu. Dengan demikian, barisan tak hingga dapat didefinisikan sebagai barisan yang mana suku-sukunya tersusun hingga tak terhingga banyaknya.

Oleh Tju Ji Long · Statistisi

Hub. WA: 0812-5632-4552

Barisan merupakan urutan dari suatu bilangan yang tersusun berdasarkan aturan atau pola tertentu. Dengan demikian, barisan tak hingga dapat didefinisikan sebagai barisan yang mana suku-sukunya tersusun hingga tak terhingga banyaknya.

Ada dua istilah yang sering muncul menyangkut barisan atau deret tak hingga yaitu konvergen dan divergen. Kita membahasnya berikut ini.

Kekonvergenan Barisan Tak Hingga

Suatu barisan tak hingga dikatakan konvergen jika suku ke tak hingga dari barisan tersebut menuju ke suatu nilai tertentu. Sebaliknya, suatu barisan tak hingga dikatakan divergen jika suku ke tak hingga dari barisan tersebut tidak memusat pada suatu titik atau tidak menuju ke suatu titik tertentu.

Sekarang perhatikan empat barisan tak hingga yang diberikan di bawah ini beserta ilustrasinya pada Gambar 1.

Gambar 1. Ilustrasi barisan tak hingga

Seperti terlihat pada Gambar 1, nilai suku-suku dalam tiap barisan semua konvergen menuju 1. Akan tetapi, apakah semua barisan tersebut benar-benar konvergen menuju 1? Tentu saja jika kita perhatikan dengan seksama, barisan (3) dan barisan (4) tidaklah demikian.

Agar suatu barisan dikatakan konvergen menuju 1, syaratnya ialah bahwa nilai-nilai barisan itu harus mendekati 1. Tapi tidak hanya harus mendekati satu, nilai-nilai tersebut juga harus tetap berdekatan yang mana tidak terpenuhi oleh barisan (3).

Selain itu, berdekatan artinya semakin lama semakin dekat dan ini tidak terpenuhi oleh barisan (4). Walaupun barisan (4) tidak konvergen menuju 1, kita masih dapat mengatakan bahwa barisan tersebut konvergen menuju 0,999. Sedangkan untuk barisan (3) tidak konvergen sama sekali atau kita katakan barisan tersebut sebagai barisan yang divergen.

Limit Barisan Tak Hingga

Sebagian besar akan setuju bahwa menentukan kekonvergenan suatu barisan tak hingga dengan membuat ilustrasi seperti ditampilkan pada Gambar 1 tidaklah efisien. Ada cara lain untuk menentukan kekonvergenan suatu barisan tak hingga yaitu dengan menggunakan konsep limit.

Contoh 1:

Misalkan diketahui suatu barisan dengan rumus suku ke-n diberikan oleh \( U_n = 1 - \frac{1}{n}; \ n \geq 1 \). Tentukan kekonvergenan barisan tersebut untuk n menuju tak hingga.

Pembahasan:

Perhatikan bahwa ini merupakan barisan (1) pada Gambar 1 di atas. Untuk menentukan konvergenan barisan ini, kita cukup mencari limit dari rumus barisan tersebut yakni

Jadi, barisan tak hingga tersebut konvergen ke 1. Hasil yang diperoleh ini sama dengan yang telah dibahas sebelumnya.

Kekonvergenan Deret Geometri Tak Hingga

Sebagaimana halnya barisan tak terhingga, pada deret tak terhingga juga terdapat deret tak terhingga konvergen dan deret tak terhingga divergen. Kekonvergenan deret tak hingga adalah topik yang cukup luas, tapi di sini kita hanya akan membahas kekonvergenan deret geometri tak terhingga.

Jika Anda tertarik untuk mengetahui lebih banyak tentang kekonvergenan deret tak hingga, Anda dapat membacanya pada materi kalkulus II di website ini.

Sekarang perhatikanlah deret geometri tak terhingga berikut ini

Kita tahu bahwa rumus untuk deret geometri adalah

Dengan demikian, limit \(S_n\) untuk \(n\) mendekati tak terhingga \(( n \to \infty )\) adalah

Jadi, rumus untuk deret geometri tak terhingga adalah

Contoh 2:

Jika \( \frac{1}{p} + \frac{1}{q} = 1 \), maka tentukanlah jumlah deret geometri tak hingga berikut.

Pembahasan:

Dari soal diketahui bahwa \( \frac{1}{p} + \frac{1}{q} = 1 \). Dengan melakukan sedikit modifikasi, kita peroleh

Selanjutnya, carilah rasio deret tersebut, yakni

Kita tahu bahwa rumus untuk jumlah deret tak hingga diberikan oleh

Dengan demikian, kita peroleh

(Pada persamaan terakhir kita mengganti \(pq\) dengan \( p + q\) karena \( p+q = pq \))

Contoh 3:

Sebuah bola dijatuhkan ke lantai dari ketinggian 12 m. Jika setiap kali jatuh, bola memantul kembali ke atas dengan ketinggian 2/3 dari ketinggian sebelumnya, maka hitunglah panjang lintasan bola dari mulai dijatuhkan hingga berhenti!

Pembahasan:

Ini merupakan contoh kasus untuk deret geometri tak hingga. Perhatikan ilustrasi dari pantulan bola tersebut berikut ini.

Panjang lintasan bola dari mulai dijatuhkan hingga berhenti merupakan penjumlahan panjang lintasan ke bawah dan panjang lintasan ke atas. Untuk panjang lintasan ke bawah, diperoleh

dan panjang lintasan bola ke atas adalah

Jadi, total lintasan adalah 36 + 24 = 60 meter.

Cukup sekian penjelasan mengenai barisan dan deret tak hingga dalam artikel ini. Semoga bermanfaat.

Jika Anda merasa artikel ini bermanfaat, bantu klik tombol suka di bawah ini dan tuliskan komentar Anda dengan bahasa yang sopan.