JAGOSTAT.COM

JAGOSTAT.COM

Website Belajar Statistika: Konsep, Teori, dan Penerapan

Website Belajar Statistika: Konsep, Teori, dan Penerapan

Matematika Dasar » Limit Fungsi › Limit Bentuk Tak Hingga
Limit

Limit Bentuk Tak Hingga

Dengan konsep limit tak hingga, kita dapat mengetahui kecenderungan suatu fungsi jika nilai variabel atau peubahnya dibuat semakin besar atau bertambah besar tanpa batas atau x menuju tak hingga, dinotasikan dengan x → ∞.


Oleh Tju Ji Long · Statistisi

Pada artikel sebelumnya kita telah belajar mengenai definisi limit dan limit fungsi aljabar. Pada artikel tersebut kita hanya mempelajari limit di mana nilai \(x\) mendekati suatu bilangan yang berhingga baik positif maupun negatif. Misalnya, \( \lim_\limits{x\to 2} f(x) \) atau lebih umumnya \( \lim_\limits{x\to c} f(x) \) di mana \(c\) suatu bilangan yang berhingga.

Namun, tak jarang kita akan menjumpai limit di mana nilai \(x\) mendekati tak hingga yakni \( \lim_\limits{x\to\infty} f(x) \). Dengan konsep limit tak hingga ini, kita dapat mengetahui kecenderungan suatu fungsi jika nilai variabel atau peubahnya dibuat semakin besar atau bertambah besar tanpa batas atau \(x\) menuju tak hingga, dinotasikan dengan \( x \to \infty \).

Misalkan terdapat fungsi \( f(x) = \frac{1}{x^2} \). Bayangkan apa yang terjadi dengan fungsi \(f(x)\) jika \(x\) bertambah semakin besar? Untuk menjawab ini, amati nilai fungsi \(f(x)\) untuk nilai-nilai \(x\) berikut.

Gambar

Dari ilustrasi di atas dapat kita lihat bahwa fungsi \(f(x)\) semakin mendekati nol ketika \(x\) semakin besar. Grafik dari fungsi tersebut dapat dilihat pada Gambar 1 di bawah.

Gambar

Gambar 1. Kurva \( y = 1/x^2 \)

Dari Gambar 1 terlihat bahwa kurva \( y = \frac{1}{x^2} \) semakin mendekati garis \(y = 0\) ketika \(x\) semakin besar. Secara intuitif, kita simpulkan bahwa jika \(x\) semakin besar tanpa batas maka nilai \( 1/x^2 \) semakin dekat ke nol. Dalam notasi limit, pernyataan ini ditulis

Gambar

Dengan demikian, kita peroleh sifat berikut ini.

Sifat A:

Jika \(n > 0\) dan \(n\) bilangan rasional, maka

Gambar

Tentu saja, untuk mengetahui nilai suatu fungsi \(f(x)\) ketika \(x\) bertambah besar dengan mengambil beberapa nilai dan menghitung nilai fungsi tersebut lalu menggambarkannya pada grafik, bukan cara yang efisien. Dalam beberapa kasus, hal tersebut sulit atau bahkan tak dapat dilakukan. Sebagai contoh, perhatikan limit-limit berikut.

Gambar

Bagaimanakah bentuk grafik pada kedua limit di atas? Tentu saja, cukup sulit untuk mendapatkan grafik fungsi tersebut. Oleh karena itu, kita perlu cara lain untuk mengetahui kecenderungan nilai fungsi tersebut ketika \(x\) bertambah besar.

Sebenarnya, kita dapat gunakan cara substitusi langsung, jika hasil yang diperoleh bukan dalam bentuk tak tentu. Namun, jika hasil yang diperoleh adalah bentuk tak tentu maka kita gunakan metode lain.

Contoh 1:

Hitung \( \lim_\limits{x \to \infty } \, \left ( x^{3}-7x^{2} \right) \).

Pembahasan:

Gambar

Perhatikan bahwa pada Contoh 1 kita menggunakan substitusi langsung karena hasil yang diberikan bukan dalam bentuk tak tentu. Karena kita tidak selalu dapat menggunakan metode substitusi, maka kita akan mempelajari metode lain untuk mencari limit tak hingga.

Terdapat dua metode yang akan kita pelajari yakni metode membagi dengan pangkat tertinggi dan metode mengalikan bentuk sekawan.

Metode Pembagian dengan Pangkat Tertinggi

Metode ini diterapkan pada limit dengan fungsi berbentuk \( \lim_\limits{x\to∞} \frac{f(x)}{g(x)} \). Metode ini dapat dikerjakan dengan membagi fungsi pada pembilang \(f(x)\) dan fungsi pada penyebut \(g(x)\) dengan peubah \(x^n\) berpangkat tertinggi yang ada dalam fungsi \(f(x)\) dan \(g(x)\). Lalu, lakukan penyederhanaan fungsi pada limit dan setelah itu baru disubstitusi dengan \( x \to ∞ \).

Perhatikan beberapa contoh berikut.

Contoh 2:

Tentukan limit dari \( \lim_\limits{x \to \infty }\,\frac{x^{3}-4x}{3x^{3}+x^{2}} \).

Pembahasan:

Bagi pembilang dan penyebut dengan variabel pangkat tertinggi dari penyebut, yaitu \(x^3\), kemudian hitung limit dari masing-masing suku dengan berpedoman pada sifat A.

Gambar

Jadi, kita peroleh nilai limit sama dengan 1/3.

Contoh 3:

Hitung limit dari \( \lim_\limits{x \to \infty }\,\frac{x^{3}-x}{x^{4}-2x^{2}+1} \).

Pembahasan:

Bagi pembilang dan penyebut dengan variabel pangkat tertinggi dari penyebut, yaitu \(x^4\), kemudian hitung limitnya.

Gambar

Jadi, kita peroleh nilai limit sama dengan 0.

Contoh 4:

Hitung limit dari \( \lim_\limits{x \to \infty }\,\frac{x-x^{3}}{x^{2}-4} \).

Pembahasan:

Bagi pembilang dan penyebut dengan variabel pangkat tertinggi dari penyebut, yaitu \(x^4\), kemudian hitung limitnya.

Gambar

Jadi, kita peroleh nilai limit sama dengan \( -\infty \).

Terdapat sifat yang berguna terkait metode pembagian dengan pangkat tertinggi ini. Kita cantumkan sebagai berikut.

Sifat B:

Jika \(p(x)\) dan \(q(x)\) adalah fungsi polinom dengan \(ax^m\) dan \(bx^n\) berturut-turut adalah suku pangkat tertinggi dari \(p(x)\) dan \(q(x)\), maka

Gambar

Sifat di atas mengatakan bahwa nilai limit tak hingga untuk fungsi polinom ataupun rasional sama dengan nilai limit dari suku pangkat tertingginya. Dengan menggunakan sifat di atas, contoh 1 dan 2 dapat diselesaikan dengan cara sebagai berikut.

Gambar

Berdasarkan pangkat tertinggi pembilang dan penyebutnya, sifat B poin 3 dapat kita jabarkan lagi menjadi sebagai berikut.

Sifat C:

Misalkan \(p(x)\) dan \(q(x)\) adalah fungsi polinom dengan \(ax^m\) dan \(bx^n\) berturut-turut adalah suku pangkat tertinggi dari \(p(x)\) dan \(q(x)\), maka

  1. Jika \(m = n \), maka
  2. Gambar
  3. Jika \(m < n \), maka
  4. Gambar
  5. Jika \(m > n \), maka
  6. Gambar

Sifat di atas dapat kita terjemahkan dalam tiga poin berikut.

  1. Jika pangkat tertinggi pembilang = pangkat tertinggi penyebut, nilai limitnya adalah koefisien pangkat tertinggi pembilang dibagi koefisien pangkat tertinggi penyebut.
  2. Jika pangkat tertinggi pembilang < pangkat tertinggi penyebut, nilai limitnya = 0.
  3. Jika pangkat tertinggi pembilang > pangkat tertinggi penyebut, nilai limitnya = ∞ (asalkan perbandingan koefisiennya positif) atau -∞ (asalkan perbandingan koefisiennya negatif)

Dengan menggunakan sifat C; Contoh 2, 3, dan 4 dapat diselesaikan cukup dengan memperhatikan suku pangkat tertinggi dari pembilang dan penyebut, dalam hal ini adalah pangkat dan koefisiennya.

Dalam Contoh 2, pangkat tertinggi pembilang sama dengan pangkat tertinggi penyebut sehingga berdasarkan Sifat C poin 1, nilai limitnya adalah koefisien pangkat tertinggi pembilang dibagi koefisien pangkat tertinggi penyebut, yaitu 1/3.

Gambar

Pada Contoh 3, pangkat tertinggi pembilang < pangkat tertinggi penyebut sehingga berdasarkan Sifat C poin 2, nilai limitnya = 0.

Gambar

Pada Contoh 4, pangkat tertinggi pembilang > pangkat tertinggi penyebut dan perbandingan koefisiennya negatif sehingga berdasarkan Sifat C poin 3, nilai limitnya = -∞.

Gambar
Metode Perkalian dengan Bentuk Sekawan

Metode ini diterapkan pada limit yang berbentuk \( \lim_\limits{x\to∞} (f(x)-g(x)) \). Untuk menyelesaikan limit dengan bentuk demikian, kita mengalikan dengan bentuk sekawannya. Perhatikan contoh berikut.

Contoh 5:

Tentukan limit dari \( \lim_\limits{x \to \infty } \left( 2x-\sqrt{4x^{2}+x} \right) \).

Pembahasan:

Lakukan analisa sederhana untuk memeriksa apakah limit tersebut merupakan bentuk tak tentu.

Jika \(x\rightarrow \infty\) maka \(2x\rightarrow \infty\) dan \(\sqrt{4x^{2}+x}\rightarrow \infty\). Akibatnya,

Gambar

Dengan demikian,

Gambar

Contoh 6:

Hitunglah nilai dari \( \lim_\limits{x \to -\infty }\left ( \sqrt{x^{2}-2x}\;-4x \right ) \).

Pembahasan:

Jangan terburu-buru mengalikan bentuk diatas dengan akar sekawannya. Lakukan analisa sederhana untuk memeriksa apakah limit tersebut merupakan bentuk tak tentu.

Jika \(x\rightarrow -\infty\) maka \(\sqrt{x^{2}-2x}\rightarrow \infty\) dan \(4x\rightarrow -\infty\). Akibatnya,

Gambar

Dengan demikian,

Gambar

Contoh 7:

Tentukan limit dari \( \lim_\limits{x \to \infty } \sqrt{1 + x} - \sqrt{x} \).

Pembahasan:

Gambar

Terdapat teorema yang penting terkait dengan perkalian bentuk sekawan yang penting untuk Anda ketahui. Kita cantumkan sebagai berikut.

Teorema:

Jika \(a = p\) dan \(a, p ≠ 0\) maka

Gambar

Bukti: (a)

Untuk \(a = p\), bentuk pada poin a teorema di atas dapat diubah menjadi

Gambar

Kalikan dengan akar sekawannya lalu sederhanakan sehingga diperoleh

Gambar

Bukti: (b)

Untuk \(a = p\), bentuk pada poin b teorema di atas dapat diubah menjadi

Gambar

Kalikan dengan akar sekawannya lalu sederhanakan sehingga diperoleh

Gambar

Perlu kita ingat bahwa untuk \(x → -∞\) maka \( \sqrt{x^2} = -x \). Akibatnya, hasil yang kita peroleh di atas menjadi

Gambar

Contoh 8:

Hitung limit berikut dengan menggunakan teorema yang telah diberikan di atas.

Gambar

Pembahasan:

Kita akan menghitung limit dari suku konstan secara terpisah dan hitung limit dari suku lainnya menggunakan teorema yang diberikan di atas, dengan terlebih dahulu menyatakannya dalam bentuk akar.

Gambar Gambar
Teorema-teorema untuk Limit Tak Hingga

Untuk limit limit tak hingga, terdapat beberapa teorema yang perlu diperhatikan. Jika \(n\) adalah bilangan bulat, \(k\) konstanta, fungsi \(f\) dan fungsi \(g\) adalah fungsi-fungsi yang memiliki nilai limit yang mendekati bilangan c, maka:

Gambar
Contoh-contoh Soal

Berikut ini kita akan membahas lebih banyak contoh soal terkait limit tak hingga.

Contoh 9:

Untuk n bilangan asli dan \(a_0 ≠ 0\), tunjukkan bahwa

Gambar

Pembahasan:

Gambar

Contoh 10:

Hitunglah limit berikut.

Gambar

Pembahasan:

  1. Misalkan \( u = \frac{1}{x} \), maka \( x = \frac{1}{u} \). Jika \( x \to \infty \), maka \( u \to 0 \). Akibatnya,
  2. Gambar
  3. Misalkan \( u = \frac{1}{x} \), maka \( x = \frac{1}{u} \). Jika \( x \to \infty \), maka \( u \to 0 \). Akibatnya,
  4. Gambar

Cukup sekian penjelasan mengenai limit bentuk tak hingga beserta contoh soal dan pembahasannya dalam artikel ini. Semoga bermanfaat.

Artikel Terkait

Life without love is like a tree without blossoms or fruit.