Contoh 1:

Persamaan kuadrat \( 2x^2 - 8x - 6 = 0 \) memiliki akar-akar \(α\) dan \(β\). Tentukanlah nilai dari

Pembahasan:

Dari Teorema Vieta untuk persamaan kuadrat, kita peroleh

Sekarang perhatikan bahwa

Nilai \(x\) dapat diganti dengan

Dengan demikian,

Contoh 2:

Persamaan \( x^3 + 6x^2 + 4x - 5 = 0 \) mempunyai akar-akar \( α, β \) dan \( γ \). Tentukan nilai dari \( α^3 + β^3 + γ^3 \).

Pembahasan:

Dari Teorema Vieta untuk persamaan kubik, kita peroleh

Terdapat dua cara untuk mencari nilai dari \( α^3 + β^3 + γ^3 \).

Cara pertama:

Perhatikan bahwa

Selanjutnya, persamaan semula dapat dituliskan kembali sebagai

Jika kita mengganti nilai \(x\) dengan \( α, β \) dan \( γ \), maka kita peroleh

Jika ketiga persamaan dijumlahkan maka diperoleh

Cara kedua:

Dengan menggunakan hasil dari Teorema Vieta, kita peroleh

Contoh 3:

Akar-akar persamaan \( x^3 - 13x^2 + mx - 27 = 0 \) membentuk deret geometri. Nilai m = ...

Pembahasan:

Misalkan \( x_1 = a, \ x_2 = ar, \ x_3 = ar^2 \). Dari Teorema Vieta, kita peroleh

Jika nilai \( x_2 \) disubstitusikan ke persamaan semula, maka kita peroleh

Contoh 4:

Agar persamaan \( x^3 - x^2 - 8x + n = 0 \) memiliki sepasang akar kembar. Nilai n yang bulat adalah...

Pembahasan:

Karena terdapat sepasang akar kembar, kita dapat memisalkan sebagai berikut:

Dari Teorema Vieta untuk persamaan kubik, diperoleh

Selanjutnya, kita peroleh

Nilai \(α\) ini bisa menggantikan \(x\) pada persamaan semula, yakni