JAGOSTAT.COM

JAGOSTAT.COM

Website Belajar Statistika: Konsep, Teori, dan Penerapan

Website Belajar Statistika: Konsep, Teori, dan Penerapan

Matematika Dasar » Persamaan Polinomial › Teorema Vieta
Polinomial

Teorema Vieta

Teorema Vieta menggambarkan bagaimana jumlah dan hasil kali akar-akar suatu persamaan polinomial dapat diperoleh berdasarkan informasi pada koefisien-koefisien dalam persamaan polinomial tersebut.


Oleh: Tju Ji Long · Statistisi

Dalam matematika, Teorema Vieta adalah teorema yang berkaitan dengan rumus-rumus jumlah dan hasil kali akar-akar suatu persamaan suku banyak atau polinomial.

Dengan Teorema Vieta ini dapat diperoleh berbagai perhitungan akar-akar suatu persamaan polinomial walaupun kita tidak mengetahui nilai dari masing-masing akarnya. Ini dapat dilakukan dengan memanfaatkan informasi pada koefisien-koefisien dalam persaman suku banyak (polinomial) tersebut.

Adapun rumus jumlah dan hasil kali akar-akar suatu persamaan polinomial dapat dinyatakan sebagai berikut:

  1. Persamaan kuadrat:
  2. Gambar
  3. Persamaan kubik:
  4. Gambar
  5. Persamaan kuartik (Quartic):
  6. Gambar
  7. Persamaan kuintik (Quintic):
  8. Gambar
Contoh Soal dan Pembahasan

Beberapa contoh soal berikut akan memperdalam pemahaman terkait Teorema Vieta.

Contoh 1:

Persamaan kuadrat \( 2x^2 - 8x - 6 = 0 \) memiliki akar-akar \(α\) dan \(β\). Tentukanlah nilai dari

Gambar

Pembahasan:

Dari Teorema Vieta untuk persamaan kuadrat, kita peroleh

Gambar

Sekarang perhatikan bahwa

Gambar

Nilai \(x\) dapat diganti dengan

Gambar

Dengan demikian,

Gambar

Contoh 2:

Persamaan \( x^3 + 6x^2 + 4x - 5 = 0 \) mempunyai akar-akar \( α, β \) dan \( γ \). Tentukan nilai dari \( α^3 + β^3 + γ^3 \).

Pembahasan:

Dari Teorema Vieta untuk persamaan kubik, kita peroleh

Gambar

Terdapat dua cara untuk mencari nilai dari \( α^3 + β^3 + γ^3 \).

Cara pertama:

Perhatikan bahwa

Gambar

Selanjutnya, persamaan semula dapat dituliskan kembali sebagai

Gambar

Jika kita mengganti nilai \(x\) dengan \( α, β \) dan \( γ \), maka kita peroleh

Gambar

Jika ketiga persamaan dijumlahkan maka diperoleh

Gambar

Cara kedua:

Dengan menggunakan hasil dari Teorema Vieta, kita peroleh

Gambar

Contoh 3:

Akar-akar persamaan \( x^3 - 13x^2 + mx - 27 = 0 \) membentuk deret geometri. Nilai m = ...

Pembahasan:

Misalkan \( x_1 = a, \ x_2 = ar, \ x_3 = ar^2 \). Dari Teorema Vieta, kita peroleh

Gambar

Jika nilai \( x_2 \) disubstitusikan ke persamaan semula, maka kita peroleh

Gambar

Contoh 4:

Agar persamaan \( x^3 - x^2 - 8x + n = 0 \) memiliki sepasang akar kembar. Nilai n yang bulat adalah...

Pembahasan:

Karena terdapat sepasang akar kembar, kita dapat memisalkan sebagai berikut:

Gambar

Dari Teorema Vieta untuk persamaan kubik, diperoleh

Gambar

Selanjutnya, kita peroleh

Gambar

Nilai \(α\) ini bisa menggantikan \(x\) pada persamaan semula, yakni

Gambar

Cukup sekian penjelasan mengenai Teorema Vieta dalam artikel ini. Semoga bermanfaat.

Artikel Terkait

Anda hidup hanya sekali, tetapi jika Anda melakukannya dengan benar, sekali itu cukup.