www.jagostat.com
www.jagostat.com
Website Belajar Matematika & Statistika
Website Belajar Matematika & Statistika
Matematika Dasar » Fungsi › Domain dan Range Fungsi, Contoh Soal dan Pembahasan
Joki Tugas Matematika Murah, Hanya Rp10-50 Ribu. Hub. WA: 0812-5632-4552
Domain dan Range Fungsi, Contoh Soal dan Pembahasan
Jika \(x\) dan \(y\) terkait oleh persamaan \(y = f(x)\), maka himpunan semua nilai \(x\) yang memenuhi agar fungsi \(y=f(x)\) ada atau terdefinisi disebut daerah asal (domain). Himpunan nilai \(y\) yang dihasilkan untuk setiap \(x\) yang memenuhi disebut daerah hasil (range).
Fungsi merupakan konsep penting dalam matematika. Fungsi biasanya dinotasikan dengan huruf kecil seperti \(f, g, h\), dan seterusnya. Sebagai contoh, suatu fungsi \(f: x \to y\), dibaca fungsi \(f\) memetakan anggota himpunan \(x\) ke anggota himpunan \(y\). Biasa ditulis juga dengan \(f(x)=y\).
Dengan demikian, jika terdapat fungsi \(f(x)=x^3-4\), maka
\begin{aligned} f(2) &= 2^3 - 4 = 4 \\[8pt] f(a) &= a^3-4 \\[8pt] f(a+h) &= (a+h)^3-4 \\[8pt] &= a^3 + 3a^2h + 3ah^2 + h^3 - 4 \end{aligned}
Setelah Anda memahami cara menuliskan fungsi dengan baik, sekarang mari kita beralih ke istilah penting terkait fungsi yakni daerah asal (domain) dan daerah hasil (range).
Jika \(x\) dan \(y\) terkait oleh persamaan \(y = f (x)\), maka himpunan semua input atau nilai \(x\) yang diperbolehkan atau yang memenuhi disebut daerah asal (domain) fungsi \(f(x)\), sedangkan himpunan output atau nilai-\(y\) yang dihasilkan untuk setiap nilai \(x\) yang memenuhi disebut daerah hasil (range) dari \(f(x)\).
Sebagai contoh, misalkan terdapat suatu fungsi \(f(x)=x^2+1\). Jika daerah asalnya dirinci sebagai \(\{-1,0,1,2,3\}\), maka daerah hasilnya yaitu \(\{1,2,5,10\}\). Perhatikanlah Gambar 1.
Gambar 1. Domain dan Range Fungsi \(f(x)=x^2+1\)
Terkadang kondisi tertentu dapat memaksa pembatasan (restriction) pada nilai input \(x\) yang diperbolehkan atau yang memenuhi dari suatu fungsi. Misalnya, jika \(y\) menunjukkan luas suatu persegi dengan panjang sisi \(x\), maka variabel-variabel ini dihubungkan oleh persamaan \(y = x^2\). Karena panjang suatu persegi tidak mungkin negatif, maka kondisi ini memaksakan diberlakukannya persyaratan bahwa \(x≥0\).
Dalam beberapa kasus kita akan menyatakan domain secara eksplisit saat mendefinisikan suatu fungsi. Misalnya, jika \(f(x)=x^2\) adalah luas persegi dengan sisi \(x\), maka kita bisa menuliskan
untuk mengindikasikan bahwa daerah asal (domain) fungsi \(f(x)=x^2\) adalah semua himpunan bilangan riil tak negatif \( (x \geq 0) \). Perhatikan Gambar 2 di bawah.
Gambar 2.
Ketika suatu fungsi didefinisikan dengan rumus matematika, rumus itu sendiri dapat memberlakukan pembatasan pada input atau nilai \(x\) yang diperbolehkan atau yang memenuhi. Sebagai contoh, jika \(y = 1 / x\), maka \(x = 0\) bukanlah input yang diperbolehkan karena pembagian dengan nol tidak terdefinisi. Jika \(y = \sqrt{x}\), maka nilai negatif \(x\) bukan input yang diperbolehkan karena akan menghasilkan nilai imajiner untuk \(y\).
Jika daerah asal sebuah fungsi tidak dirinci atau didefinisikan, maka kita selalu menganggap bahwa daerah asalnya adalah himpunan bilangan riil sehingga aturan fungsi ada maknanya dan memberikan nilai bilangan riil. Ini disebut daerah asal mula (domain natural).
Agar lebih jelas, kita akan membahas beberapa contoh soal untuk menentukan daerah asal (domain) dan daerah hasil (range) dari suatu fungsi.
Contoh 1:
Cari daerah asal (domain) untuk fungsi \( \displaystyle f(x) = \frac{1}{x-3} \).
Pembahasan:
Daerah asal untuk \(f(x)\) ini adalah \(\{x ∈ R: x ≠ 3 \}\). Ini dibaca “himpunan semua \(x\) dalam bilangan riil \(R\) sedemikian sehingga \(x\) tidak sama dengan 3”. Kita kecualikan 3 untuk menghindari pembagian oleh 0.
Contoh 2:
Cari daerah asal (domain) untuk fungsi \( \displaystyle f(t) = \sqrt{9-t^2} \).
Pembahasan:
Di sini kita harus membatasi \(t\) sedemikian sehingga \(9-t^2≥0\) dengan tujuan menghindari nilai-nilai tak riil untuk \(\sqrt{9-t^2}\). Ini dicapai dengan mensyaratkan bahwa \(|t| ≤ 3\).
Dengan demikian, daerah asal fungsi \( f(t) = \sqrt{9-t^2} \) adalah \(\{ t ∈ R: |t| ≤ 3\}\). Dalam cara penulisan interval, kita dapat menulis daerah asal fungsi ini sebagai \([-3,3]\).
Contoh 3:
Tentukan domain fungsi \( f(x) = x^2 + 2x + 1 \).
Pembahasan:
Tidak ada pembatasan yang diperlukan untuk \(f(x)\) agar fungsinya terdefinisi. Dengan demikian, daerah asal (domain) dari fungsi ini adalah himpunan setiap bilangan riil atau bisa kita tuliskan juga sebagai \( -\infty < x < \infty \).
Contoh 4:
Tentukan domain dari fungsi \( \displaystyle f(x) = \sqrt{3x-6} \).
Pembahasan:
Perhatikan bahwa \(f(x)\) mengandung akar sehingga agar fungsi ini terdefinisi maka fungsi dalam akar tidak boleh negatif atau dalam hal ini \( 3x-6 \geq 0 \) atau \( x \geq 2 \). Jadi, daerah asal (domain) dari fungsi \(f(x)\) adalah \( x \geq 2 \).
Contoh 5:
Tentukan domain dari fungsi \( f(x) = {}^2 \! \log (x^2-3x-10) \).
Pembahasan:
Agar fungsi logaritma terdefinisi maka fungsi dalam log tidak boleh negatif dan nol atau dalam hal ini kita peroleh \( x^2-3x-10 > 0 \). Dengan menyelesaikan pertidaksamaan ini, kita peroleh \( x > 5 \) atau \( x < -2\). Dengan demikian, domain dari fungsi \(f(x)\) di atas adalah \(x < -2\) atau \(x > 5\).
Baca juga:
Contoh 6:
Tentukan domain dari fungsi \( \displaystyle f(x) = \frac{5}{x^2-16} \).
Pembahasan:
Agar fungsi ini terdefinisi maka penyebut tidak boleh nol sehingga kita peroleh \( x^2-16 \neq 0 \) atau \( x^2 \neq 16 \). Jadi, domain dari fungsi di atas adalah \( x \neq \pm 4 \).
Contoh 7:
Tentukan domain dari \( \displaystyle f(x) = \frac{4}{\sqrt{x-2}} \).
Pembahasan:
Agar fungsi di atas terdefinisi maka \( x-2 \geq 0 \) atau \(x \geq 2\). Dengan demikian, daerah asal (domain) dari fungsi di atas adalah \(x \geq 2\).
Contoh 8: UN 2018 IPS
Daerah asal fungsi \( \displaystyle \frac{\sqrt{2x+6}}{3x+9} \) adalah…
- \( \{ x \ | \ x \geq -3, \ x \neq 2, \ x \in R \} \)
- \( \{ x \ | \ x \geq -2, \ x \neq 2, \ x \in R \} \)
- \( \{ x \ | \ x \geq -4, \ x \neq 3, \ x \in R \} \)
- \( \{ x \ | \ x \geq -3, \ x \in R \} \)
- \( \{ x \ | \ x > -3, \ x \in R \} \)
Pembahasan:
Syarat agar fungsi di atas terdefinisi adalah:
\begin{aligned} 2x+6 \geq 0 &\Rightarrow x \geq -3 \\[8pt] 3x+9 \neq 0 &\Rightarrow x \neq -3 \end{aligned}
Jadi, domain atau daerah asal fungsi di atas adalah \( \{ x \ | \ x > -3, \ x \in R \} \).
Jawaban E.
Contoh 9: UN 2018 IPS
Daerah asal dari fungsi \( \displaystyle \frac{ \sqrt{2x+5} }{ 3x+2} \) adalah…
- \( \{ x \ | \ x \neq -\frac{5}{2}, \ x \in R \} \)
- \( \{ x \ | \ x \geq \frac{5}{2}, \ x \neq -\frac{2}{3}, \ x \in R \} \)
- \( \{ x \ | \ x \geq -\frac{5}{2}, \ x \neq -\frac{2}{3}, \ x \in R \} \)
- \( \{ x \ | \ x \neq -\frac{2}{3}, \ x \in R \} \)
- \( \{ x \ | \ x \geq -\frac{2}{3}, \ x \in R \} \)
Pembahasan:
Syarat fungsi di atas agar terdefinisi adalah sebagai berikut:
\begin{aligned} 2x+5 \geq 0 &\Rightarrow x \geq -\frac{5}{2} \\[8pt] 3x+2 \neq 0 &\Rightarrow x \neq -\frac{2}{3} \end{aligned}
Jadi daerah asal dari fungsi di atas adalah \( \{ x \ | \ x \geq -\frac{5}{2}, \ x \neq -\frac{2}{3}, \ x \in R \} \).
Jawaban C.
Contoh 10: UN 2019 IPA
Agar fungsi \( \displaystyle f(x) = \sqrt{ \frac{3x^2+2x-8 }{x+2} } \) terdefinisi maka daerah asal \( f(x) \) adalah…
- \( \{ x \ | \ x \leq -\frac{4}{3}, \ x \neq -2, \ x \in R \} \)
- \( \{ x \ | \ x \geq \frac{4}{3}, \ x \in R \} \)
- \( \{ x \ | \ x \geq -2, \ x \in R \} \)
- \( \{ x \ | \ -2 < x \leq \frac{4}{3}, \ x \in R \} \)
- \( \{ x \ | \ x < -2, \ \text{atau} \ x \geq \frac{4}{3}, \ x \in R \} \)
Pembahasan:
Syarat agar fungsi di atas terdefinisi, yaitu:
\begin{aligned} \frac{3x^2+2x-8 }{x+2} \geq 0 \\[8pt] \frac{(3x-4)(x+2)}{x+2} \geq 0 \\[8pt] 3x-4 \geq 0 \\[8pt] x \geq \frac{4}{3} \end{aligned}
Jadi, fungsi \(f(x)\) terdefinisi jika daerah asalnya \( \{ x \ | \ x \geq \frac{4}{3}, \ x \in R \} \).
Jawaban B.
Sumber:
Purcell, Edwin J., Dale Verberg., dan Steve Rigdon. (2007). Calculus, ed 9. Penerbit Pearson.
Jika Anda merasa artikel ini bermanfaat, klik tombol suka di bawah ini dan jika ada pembahasan yang kurang jelas dari artikel ini silahkan tanyakan di kolom komentar. Terima kasih.
Artikel Terkait
Seseorang yang pernah melakukan kesalahan dan tidak pernah memperbaikinya berarti ia telah melakukan satu kesalahan lagi.