JAGOSTAT.COM

JAGOSTAT.COM

Website Belajar Matematika & Statistika

Website Belajar Matematika & Statistika

Matematika Dasar » Fungsi › Domain dan Range Fungsi
Domain & Range Fungsi

Domain dan Range Fungsi

Jika \(x\) dan \(y\) terkait oleh persamaan \(y = f(x)\), maka himpunan semua nilai \(x\) yang memenuhi agar fungsi \(y=f(x)\) ada atau terdefinisi disebut daerah asal (domain). Himpunan nilai \(y\) yang dihasilkan untuk setiap \(x\) yang memenuhi disebut daerah hasil (range) dari fungsi \(y=f(x)\).


Oleh Tju Ji Long · Statistisi

Hub. WA: 0812-5632-4552

Fungsi merupakan konsep penting dalam kalkulus karena dapat menggambarkan dunia riil dalam bentuk matematika. Fungsi biasanya dinotasikan dengan huruf kecil seperti \(f, g, h\), dan seterusnya. Sebagai contoh, suatu fungsi \(f: x \to y\), dibaca fungsi \(f\) memetakan anggota himpunan \(x\) ke anggota himpunan \(y\). Biasa ditulis juga dengan \(f(x)=y\).

Dengan demikian, jika terdapat fungsi \(f(x)=x^3-4\), maka

Gambar

Pemahaman yang jelas tentang cara menuliskan fungsi adalah hal yang sangat penting dalam kalkulus. Sekarang mari kita beralih ke istilah lain yang juga penting terkait fungsi yakni daerah asal (domain) dan daerah hasil (range).

Jika \(x\) dan \(y\) terkait oleh persamaan \(y = f (x)\), maka himpunan semua input atau nilai \(x\) yang diperbolehkan atau yang memenuhi disebut daerah asal (domain) fungsi \(f(x)\), sedangkan himpunan output atau nilai-\(y\) yang dihasilkan untuk setiap nilai \(x\) yang memenuhi disebut daerah hasil (range) dari \(f(x)\).

Sebagai contoh, misalkan terdapat suatu fungsi \(f(x)=x^2+1\). Jika daerah asalnya dirinci sebagai \(\{-1,0,1,2,3\}\), maka daerah hasilnya yaitu \(\{1,2,5,10\}\). Perhatikanlah Gambar 1.

Gambar

Gambar 1. Domain dan Range Fungsi \(f(x)=x^2+1\)

Terkadang kondisi tertentu dapat memaksa pembatasan (restriction) pada nilai input \(x\) yang diperbolehkan atau yang memenuhi dari suatu fungsi. Misalnya, jika \(y\) menunjukkan luas suatu persegi dengan panjang sisi \(x\), maka variabel-variabel ini dihubungkan oleh persamaan \(y = x^2\). Karena panjang suatu persegi tidak mungkin negatif, maka kondisi ini memaksakan diberlakukannya persyaratan bahwa \(x≥0\).

Dalam beberapa kasus kita akan menyatakan domain secara eksplisit saat mendefinisikan suatu fungsi. Misalnya, jika \(f(x)=x^2\) adalah luas persegi dengan sisi \(x\), maka kita bisa menuliskan

Gambar

untuk mengindikasikan bahwa daerah asal (domain) fungsi \(f(x)=x^2\) adalah semua himpunan bilangan riil tak negatif \( (x \geq 0) \). Perhatikan Gambar 2 di bawah.

Gambar

Gambar 2.

Ketika suatu fungsi didefinisikan dengan rumus matematika, rumus itu sendiri dapat memberlakukan pembatasan pada input atau nilai \(x\) yang diperbolehkan atau yang memenuhi. Sebagai contoh, jika \(y = 1 / x\), maka \(x = 0\) bukanlah input yang diperbolehkan karena pembagian dengan nol tidak terdefinisi. Jika \(y = \sqrt{x}\), maka nilai negatif \(x\) bukan input yang diperbolehkan karena akan menghasilkan nilai imajiner untuk \(y\).

Jika daerah asal sebuah fungsi tidak dirinci atau didefinisikan, maka kita selalu menganggap bahwa daerah asalnya adalah himpunan bilangan riil sehingga aturan fungsi ada maknanya dan memberikan nilai bilangan riil. Ini disebut daerah asal mula (domain natural).

Agar lebih jelas, kita akan membahas beberapa contoh soal untuk menentukan daerah asal (domain) dan daerah hasil (range) dari suatu fungsi.

Contoh 1:

Cari daerah asal (domain) untuk fungsi \( f(x) = 1/(x-3) \).

Pembahasan:

Daerah asal untuk \(f(x)\) ini adalah \(\{x ∈ R: x ≠ 3 \}\). Ini dibaca “himpunan semua \(x\) dalam bilangan riil \(R\) sedemikian sehingga \(x\) tidak sama dengan 3”. Kita kecualikan 3 untuk menghindari pembagian oleh 0.

Contoh 2:

Cari daerah asal (domain) untuk fungsi \( f(x) = \sqrt{9-t^2} \).

Pembahasan:

Di sini kita harus membatasi \(t\) sedemikian sehingga \(9-t^2≥0\) dengan tujuan menghindari nilai-nilai tak riil untuk \(\sqrt{9-t^2}\). Ini dicapai dengan mensyaratkan bahwa \(|t| ≤ 3\). Dengan demikian, daerah asal fungsi \( f(x) = \sqrt{9-t^2} \) adalah \(\{ t ∈ R: |t| ≤ 3\}\). Dalam cara penulisan interval, kita dapat menulis daerah asal fungsi ini sebagai \([-3,3]\).

Cukup sekian ulasan singkat mengenai domain dan range dari suatu fungsi beserta contoh soal dan pembahasannya dalam artikel ini. Terima kasih telah membaca sampai selesai. Jika Anda merasa artikel ini bermanfaat, boleh dibantu share ke teman-temannya, supaya mereka juga bisa belajar dari artikel ini.

Sumber:

Purcell, Edwin J., dan Dale Verberg. (1987). Calculus with Analytic Geometry, ed 5. Terjemahan Susila, I Nyoman, dkk. Kalkulus dan Geometri Analitis. Indonesia: Penerbit Erlangga.

Purcell, Edwin J., Dale Verberg., dan Steve Rigdon. (2007). Calculus, ed 9. Penerbit Pearson.

Artikel Terkait

Seseorang yang pernah melakukan kesalahan dan tidak pernah memperbaikinya berarti Ia telah melakukan satu kesalahan lagi.