JAGOSTAT.COM

JAGOSTAT.COM

Website Belajar Statistika: Konsep, Teori, dan Penerapan

Website Belajar Statistika: Konsep, Teori, dan Penerapan

Matematika Dasar » Fungsi Trigonometri › Menyelesaikan Persamaan Trigonometri
Fungsi Trigonometri

Menyelesaikan Persamaan Trigonometri

Salah satu pembahasan penting dalam trigonometri berkaitan dengan mencari himpunan penyelesaian dari suatu persamaan trigonometri yang terdiri atas sudut-sudut yang memenuhi persamaan trigonometri tersebut.


Oleh Tju Ji Long · Statistisi

Salah satu pembahasan penting dalam trigonometri berkaitan dengan mencari solusi atau himpunan penyelesaian dari suatu persamaan trigonometri. Himpunan penyelesaian dari persamaan trigonometri terdiri atas sudut-sudut yang memenuhi persamaan trigonometri tersebut.

Anda mungkin masih ingat bahwa bentuk grafik fungsi trigonometri adalah bersifat periodik, yakni bentuknya berulang sama pada rentang tertentu. Oleh karena itu, sudut yang memenuhi persamaan fungsi trigonometri tidak hanya mempunyai nilai tunggal (kecuali jika sudutnya dibatasi sehingga hanya terdapat satu nilai tunggal yang memenuhi). Dengan kata lain, terdapat sudut-sudut berbeda yang membuat fungsi trigonometri tersebut bernilai sama.

Sebagai contoh, perhatikan fungsi \( \sin x = \frac{1}{2} \). Di sini, nilai \(x\) atau sudut yang memenuhi tidak hanya 300 sebagaimana yang telah kita ketahui bahwa \( \sin 30^0 = \frac{1}{2} \). Nilai \(x\) lain yang juga memenuhi adalah \(x = 150^0\). Lantas, bagaimana mencari semua nilai \(x\) yang memenuhi fungsi tersebut? Pada artikel ini, kita akan membahas berbagai cara untuk menemukan nilai \(x\) tersebut.

Pada umumnya, terdapat lima jenis persamaan trigonometri yang sering muncul, yakni

  1. \( \sin x = \sin \alpha \)
  2. \( \cos x = \cos \alpha \)
  3. \( \tan x = \tan \alpha \)
  4. \( a \cos x + b \sin x = c \)
  5. \( A \sin^2 x + B \sin x + C = 0 \)

Kita akan membahas kelima jenis persamaan trigonometri tersebut.

#1. \(\sin x = \sin \alpha\)

Grafik fungsi sinus bersifat periodik dan membentuk bukit dan lembah. Oleh karena itu, nilai fungsi sinus untuk besar satu sudut tertentu akan sama dengan nilai fungsi untuk besar sudut yang lain. Nilai untuk fungsi sinus dimulai dari nol dan kembali ke nol. Nilai tertinggi fungsi y = sin x adalah 1 dan nilai terendahnya adalah -1.

Gambar

Gambar 1. Fungsi sinus dan cosinus

Himpunan penyelesaian untuk persamaan \(\sin x = \sin \alpha\) dapat dinyatakan sebagai berikut.

Dalam derajat Dalam radian
GambarGambar

di mana k adalah bilangan bulat (k = 0, 1, 2, 3, ... ).

Contoh 1:

Tentukanlah himpunan penyelesaian dari \( \sin x = \frac{1}{2} \) untuk \( 0^0 \leq x \leq 360^0 \).

Pembahasan:

Kita tahu bahwa \( \sin 30^0 = \frac{1}{2} \) sehingga kita peroleh persamaan berikut

Gambar

Sebagaimana dinyatakan di atas bahwa himpunan penyelesaian untuk persamaan ini dapat dinyatakan dalam derajat dan dalam radian. Kita akan pelajari keduanya.

Dalam Derajat

Himpunan penyelesaiannya adalah

Gambar

Perhatikan bahwa nilai \(k\) yang memenuhi adalah \(k = 0\) saja, karena untuk \(k\) yang lebih besar akan membuat \( x_1 \) dan \( x_2 \) lebih besar dari 3600 yang mana melanggar syarat yang diberikan dalam soal.

Jadi, himpunan penyelesaiannya adalah: HP = {300, 1500}.

Dalam Radian

Sebenarnya, himpunan penyelesaian dalam radian tidak jauh berbeda dengan himpunan penyelesaian dalam derajat. Hanya saja kita nyatakan dalam radian saja. Kita tahu bahwa \( \pi = 180^0 \) dan \( \sin 30^0 = \sin \frac{\pi}{6} = \frac{1}{2} \) sehingga kita peroleh persamaan berikut.

Gambar

Adapun himpunan penyelesaiannya yaitu

Gambar

Jadi, himpunan penyelesaiannya adalah:

Gambar

Perhatikan bahwa untuk mencari himpunan penyelesaian dalam bentuk radian, kita tidak perlu melakukan perhitungan dari awal seperti yang kita lakukan pada Contoh 1. Kita cukup memanfaatkan hasil himpunan penyelesaian dalam derajat yakni HP = {300, 1500} dan memanfaatkan kenyataan bahwa \( \pi = 180^0 \). Kita tahu bahwa

Gambar

Sehingga himpunan penyelesaian dalam radian yaitu

Gambar
#2. \( \cos x = \cos \alpha \)

Grafik fungsi cosinus juga bersifat periodik dan membentuk bukit dan lembah. Hanya saja, pada fungsi y = cos x dimulai dari satu dan kembali ke satu. Nilai tertinggi untuk y = cos x adalah 1 dan nilai terendahnya adalah -1. Grafik fungsi cosinus dapat dilihat pada Gambar 1 di atas.

Himpunan penyelesaikan persamaan trigonometri untuk fungsi cosinus dinyatakan sebagai berikut.

Dalam derajat Dalam radian
GambarGambar

di mana k adalah bilangan bulat (k = 0, 1, 2, 3, ... ).

Contoh 2:

Tentukan himpunan penyelesaian dari \( \cos x = \frac{1}{2} \) untuk \( 0^0 \leq x \leq 360^0 \).

Pembahasan:

Kita tahu bahwa \( \cos 60^0 = \frac{1}{2} \) sehingga kita peroleh persamaan berikut

Gambar

Himpunan penyelesaiannya adalah

Gambar

Perhatikan bahwa \( x_2 = -60^0 \) bukan himpunan penyelesaian karena tidak memenuhi syarat yang diberikan dalam soal. Dengan demikian, himpunan penyelesaian dari \( \cos x = \frac{1}{2} \) untuk \( 0^0 \leq x \leq 360^0 \) adalah HP = {600, 3000}

Selain itu, kita tahu bahwa

Gambar

Jadi, himpunan penyelesaian dalam bentuk radiannya adalah

Gambar
#3. \( \tan x = \tan \alpha \)

Grafik fungsi tangen berbeda dengan grafik fungsi sinus dan cosinus yang membentuk bukit dan lembah seperti yang telah kita bahas di atas. Hal ini disebabkan nilai tangen yang tidak terdefinisi pada besar sudut -2700, -900, 900 dan 2700. Oleh karena itu, dalam rentang 0 sampai 360 derajat akan terdapat empat buah asimtot.

Himpunan penyelesaikan persamaan trigonometri untuk fungsi tangen dinyatakan sebagai berikut.

Dalam derajat Dalam radian
GambarGambar

di mana k adalah bilangan bulat (k = 0, 1, 2, 3, ... ).

Contoh 3:

Tentukan himpunan penyelesaian dari \( \tan x = \sqrt{3} \) untuk \( 0^0 \leq x \leq 360^0 \).

Pembahasan:

Kita tahu bahwa \( \tan 60^0 = \sqrt{3} \) sehingga kita peroleh persamaan berikut

Gambar

Himpunan penyelesaiannya

Gambar

Jadi, himpunan penyelesaiannya dalam derajat adalah HP = {600, 2400}

Karena

Gambar

Maka himpunan penyelesaian dalam radian yaitu

Gambar
#4. \( a \cos x + b \sin x = c \)

Untuk menyelesaikan persamaan trigonometri bentuk ini, ubahlah persamaan sehingga menjadi

Gambar

di mana:

Gambar

Contoh 4:

Himpunan penyelesaian persamaan

Gambar

untuk \( 0 \leq x \leq 360^0 \) adalah...

Pembahasan:

Perhatikan bahwa

Gambar

Misalkan bahwa

Gambar

Dengan demikian, kita peroleh

Gambar

Karena \((a,b) = ( \sqrt{2}, \sqrt{6} )\) berada di kuadran I, maka \( \theta \) juga berada di kuadran I. Kita peroleh

Gambar

Jadi, kita peroleh persamaan berikut:

Gambar

Dari persamaan (1) dan (2), diperoleh hubungan

Gambar

Solusi 1:

Gambar

Solusi 2:

Gambar

Jadi, himpunan penyelesaiannya adalah HP = { 150, 1050 }.

#5. \( A \sin^2 x + B \sin x + C = 0 \)

Kita dapat menyelesaian persamaan trigonometri bentuk ini seperti menyelesaikan persamaan kuadrat.

Contoh 5:

Himpunan penyelesaian dari persamaan trigonometri \( \cos 2x + \sin x = 0 \) untuk \( 0 \leq x \leq 360^0 \) adalah...

Pembahasan:

Perhatikan bahwa kita dapat mengubah persamaan \( \cos 2x + \sin x = 0 \) ke dalam bentuk persamaan kuadrat yaitu

Gambar

Perhatikan bahwa untuk \( \sin x = -1/2; \ 0 \leq x \leq 360 \), kita peroleh \( x = 210^0 \) dan \( x = 330^0 \) sehingga himpunan penyelesaiannya adalah HP = { 2100, 3300 }. (Perhitungan tidak ditunjukkan di sini. Anda bisa mencarinya dengan merujuk pada Contoh 1).

Sementara itu, untuk \( \sin x = 1; \ 0 \leq x \leq 360 \), kita peroleh \( x = 90^0 \) sehingga himpunan penyelesaiannya adalah HP = {900}.

Dengan menggabungkan himpunan penyelesaian untuk \( \sin x = -1/2 \) dan \( \sin x = 1 \), kita peroleh himpunan penyelesaian untuk persamaan trigonometri \( \cos 2x + \sin x = 0 \) yaitu

Gambar

Cukup sekian penjelasan mengenai cara menyelesaikan persamaan trigonometri dalam artikel ini. Semoga bermanfaat.

Artikel Terkait

Use your time wisely, because time will never get back.