JAGOSTAT.COM

JAGOSTAT.COM

Website Belajar Statistika: Konsep, Teori, dan Penerapan

Website Belajar Statistika: Konsep, Teori, dan Penerapan

Matematika Dasar » Turunan Fungsi › Definisi Turunan Fungsi
Turunan Fungsi

Definisi Turunan Fungsi

Banyak fenomena dalam dunia nyata yang melibatkan perubahan kuantitas seperti kecepatan roket, inflasi mata uang, dan sebagainya. Fenomena-fenomena tersebut sering kali dapat dijelaskan dengan menggunakan konsep turunan.


Oleh Tju Ji Long · Statistisi

Banyak fenomena dalam dunia nyata yang melibatkan perubahan kuantitas seperti kecepatan roket, inflasi mata uang, jumlah bakteri dalam suatu kultur, intensitas goncangan gempa bumi, tegangan sinyal listrik, dan sebagainya.

Fenomena-fenomena tersebut sering kali dapat dijelaskan dengan menggunakan konsep turunan atau derivatif, yakni alat matematika untuk mempelajari tingkat perubahan satu kuantitas relatif terhadap yang lain.

Kita akan mulai penjelasan dengan memberikan definisi dari turunan terlebih dahulu. Untuk mamahami definisi turunan, anda perlu mengenal konsep limit. Materi mengenai limit dapat juga dipelajari di website ini.

Apabila fungsi \(f(x)\) mempunyai turunan untuk setiap \(x\) anggota domain \(D\), dengan \(D∈R\) (bilangan real) maka diperoleh turunan fungsi dari \(f(x)\) yang dirumuskan:

Gambar

Perhatikan bahwa \( f'(x) \) menyatakan turunan dari fungsi \(f(x)\). Untuk lebih jelasnya, kita nyatakan dalam definisi berikut:

DEFINISI:

Turunan fungsi \(f\) adalah fungsi lain \(f'\) (dibaca “\(f\) aksen”) yang nilainya pada sebarang bilangan \(x\) adalah

Gambar

asalkan limit ini ada.

Jika limit pada definisi di atas memang ada, maka dikatakan bahwa \(f\) terdiferensialkan (terturunkan) di \(x\). Pencarian turunan disebut pendiferensialan.

Selain notasi \( f'(x) \) seperti pada definisi di atas, terdapat cara lain yang juga bisa digunakan untuk menyatakan turunan yakni,

Gambar

Kita akan sering menggunakan beberapa notasi tersebut secara bergantian supaya Anda dapat terbiasa ketika membaca referensi atau buku lain yang membahas mengenai turunan.

Perhatikan contoh soal berikut:

Contoh 1:

Tentukanlah turunan dari \(f(x)=x^2\) dengan menggunakan definisi turunan fungsi!

Pembahasan:

Gunakan definisi turunan yang diberikan pada penjelasan di atas. Kita peroleh

Gambar

Jadi, turunan dari \(f(x)=x^2\) adalah \(f'(x)=2x\).

CONTOH 2:

Jika \(f(x) = x^3 + 7x\). Cari \(f'(x)\).

Penyelesaian:

Gambar
Rumus-rumus Turunan Fungsi

Proses pencarian turunan suatu fungsi langsung menggunakan definisi turunan seperti yang diberikan pada penjelasan di atas tidak hanya memakan waktu tetapi juga membosankan. Oleh karena itu, kita tidak akan terlalu sering menggunakan definisi turunan dalam mencari turunan suatu fungsi. Di sini kita akan membahas rumus-rumus terkait turunan yang sering digunakan untuk mencari turunan suatu fungsi.

Aturan Fungsi Konstanta

Jika \(f(x) = k\) dengan \(k\) suatu konstanta (misalnya 5, 10, 12 atau sembarang angka lainnya), maka untuk sebarang \(x\), \(f'(x) = 0\).

Aturan Fungsi Identitas

Jika \(f(x) = x\), maka \(f'(x) = 1\).

Kita tidak perlu memberikan contoh untuk dua aturan di atas, karena sudah sangat jelas.

Aturan pangkat

Jika \(f(x) = x^n\) dengan \(n\) bilangan-bilangan bulat positif maka \(f'(x) = nx^{n-1}\).

Contoh 3:

Diketahui fungsi \(f(x)=x^2\), carilah turunan dari fungsi tersebut.

Pembahasan:

Dari aturan pangkat, kita peroleh

Gambar

Perhatikan bahwa hasil yang kita peroleh sama dengan hasil pada Contoh 1 yang menggunakan definisi turunan.

Aturan kelipatan konstanta

Jika \(k\) suatu konstanta dan \(f\) suatu fungsi yang terdiferensialkan, maka \((kf)'(x) = kf'(x)\).

Contoh 4:

Carilah turunan dari \( f(x) = 10x^2 \).

Pembahasan:

Dari aturan pangkat kita tahu bahwa turunan dari \(f(x)=x^2\) adalah \(f'(x)=2x\). Dengan demikian, dari aturan kelipatan konstanta, turunan dari \( f(x)=10x^2 \) adalah

Gambar

Aturan jumlah

Jika \(f\) dan \(g\) fungsi-fungsi yang terdiferensialkan, maka \((f + g)'(x) = f'(x) + g'(x)\).

Aturan Selisih

Jika \(f\) dan \(g\) fungsi-fungsi yang terdiferensialkan, maka \((f - g)'(x) = f'(x) - g'(x)\).

CONTOH 5:

Cari turunan dari \(5x^2 + 7x - 6\) dan \(4x^6 - 3x^5 - 10x^2 + 5x + 16\).

Penyelesaian:

Gambar

Untuk mencari turunan berikutnya perhatikan bahwa teorema-teorema pada jumlah dan selisih meluas sampai sejumlah terhingga suku. Jadi,

Gambar

Aturan Hasil Kali

Andaikan \(f\) dan \(g\) fungsi-fungsi yang dapat didiferensialkan, maka

Gambar

CONTOH 6:

Gunakan aturan hasil kali untuk mencari turunan \((3x^2- 5)(2x^4- x)\). Periksa jawaban dengan mengerjakan soal itu secara lain.

Penyelesaian:

Gambar

Untuk memeriksa, pertama kita kalikan dan kemudian ambil turunan.

Gambar

Jadi,

Gambar

Aturan Hasil Bagi

Andaikan \(f\) dan \(g\) fungsi-fungsi yang dapat didiferensialkan dengan \(g(x) ≠ 0\). Maka

Gambar

CONTOH 7:

Cari turunan dari \((3x - 5)/(x^2 + 7)\).

Penyelesaian:

Gambar

CONTOH 8:

Carilah turunan dari

Gambar

Penyelesaian:

Gambar

Cukup sekian penjelasan mengenai turunan fungsi serta beberapa contoh soal dan pembahasannya dalam artikel ini. Semoga bermanfaat.

Sumber:

Purcell, Edwin J., dan Dale Verberg. (1987). Calculus with Analytic Geometry, ed 5. Terjemahan Susila, I Nyoman, dkk. Kalkulus dan Geometri Analitis. Indonesia: Penerbit Erlangga.

Purcell, Edwin J., Dale Verberg., dan Steve Rigdon. (2007). Calculus, ed 9. Penerbit Pearson.

Artikel Terkait

The person who dance with you in the rain will most likely walk with you in the storm.