Kalkulus 1 › Integral dengan Fungsi Gamma dan Fungsi Beta › Latihan soal dan pembahasan Integral dengan Fungsi Gamma dan Fungsi Beta Bagian 1

Fungsi Gamma dan Fungsi Beta

Latihan soal dan pembahasan Integral dengan Fungsi Gamma dan Fungsi Beta Bagian 1

Guna memperdalam pemahaman tentang integral dengan fungsi gamma dan fungsi beta, berikut ini diberikan sejumlah latihan soal terkait materi tersebut beserta pembahasannya.

Soal Nomor 1

Dengan menggunakan definisi fungsi Gamma dan fungsi Beta, buktikan bahwa

Pembahasan:

Misalkan \( x = e^{-y} \), maka \( dx = -e^{-y} \ dy \). Kemudian ubahlah batas pengintegralan di mana

Dengan demikian, kita peroleh

Misalkan sekali lagi: \( ym + y = w \), maka

Selanjutnya, ubahlah batas pengintegralan di mana

Dengan demikian,

jadi, terbukti bahwa

Soal Nomor 02

Dalam teori kemungkinan, waktu tunggu (waiting time) mempunyai fungsi kepadatan peluang \( f(x) = αe^{-αx} \), untuk \( α > 0 \) pada selang \( [0, ∞] \). Buktikan bahwa

Pembahasan:

Untuk menyelesaikan bagian (a), misalkan \( α x = m \) maka \( α \ dx = dm \). Kemudian ubahlan batas pengintegralan yang mana ketika \( x = 0 \to m = 0 \) dan \( x = ∞ \to m = ∞ \). Dengan demikian, kita peroleh

Sesuai fungsi gamma di mana

maka

Jadi, terbukti bahwa \( \int_0^∞ f(x) \ dx = 1 \)

Untuk menyelesaiankan bagian (b), kita terapkan cara yang hampir sama. Misalkan \( \alpha x = m \) maka

Kemudian ubahlan batas pengintegralan yang mana ketika \( x = 0 \to m = 0 \) dan \( x = ∞ \to m = ∞ \). Dengan demikian, kita peroleh

Jadi, terbukti bahwa \( \int_0^∞ x f(x) \ dx = \frac{1}{α} \).

Jika Anda merasa artikel ini bermanfaat, bantu klik tombol suka di bawah ini dan tuliskan komentar Anda dengan bahasa yang sopan.