CONTOH 1:

Carilah \( \int x \cos x \ dx \).

Penyelesaian:

Kita ingin menulis \(x \cos{x} \ dx\) sebagai \(u \ dv\). Salah satu cara ialah memisalkan \(u = x\) dan \(dv = \cos{x} \ dx\). Jadi \(du = dx\) dan \(v = ∫ \cos⁡{x} \ dx = \sin{⁡x}\) (kita dapat menghilangkan konstanta pengintegralan). Jadi kalau kita ringkaskan subsitusi ganda tersebut, kita peroleh

Rumus pengintegralan parsial menjadi

Pengandaian \(u\) dan \(dv\) di atas tampak berhasil. Keberhasilan teknik integral sangat bergantung pada pengandaian yang digunakan. Substitusi lain, misalnya sebagai berikut.

Rumus pengintegralan parsial menghasilkan

Pengandaian tersebut memang betul, akan tetapi dengan ini, integral pada ruas kanan menjadi lebih rumit. Oleh karena itu, penting sekali memilih \(u\) dan \(dv\) setepat mungkin. Yang pokok ialah bahwa integral kedua (yang berada di ruas kanan) harus diusahakan menjadi lebih sederhana.

CONTOH 2:

Carilah \( \int_1^2 \ln{x} \ dx \).

Penyelesaian:

Kita gunakan substitusi ganda sebagai berikut

Sehingga,

CONTOH 3:

Carilah \( \int \arcsin x \ dx \).

Penyelesaian:

Kita gunakan substitusi ganda sebagai berikut

Sehingga,

CONTOH 4:

Carilah \( \int_1^2 t^6 \ln t \ dt \).

Penyelesaian:

Kita gunakan substitusi ganda sebagai berikut

Sehingga,

CONTOH 5:

Carilah \( \int x^2 \sin x \ dx \).

Penyelesaian:

Andaikan

Maka,

Dengan demikian tampak bahwa pangkat pada \(x\) dalam integral kedua berkurang. Ini berarti bahwa kita dapat menggunakan integral parsial lagi. Integral kedua ini telah kita hitung dalam Contoh 1. Dengan hasil yang kita peroleh di situ kita dapat menyelesaikan integral kita sebagai berikut.

CONTOH 6:

Carilah \( \int e^x \sin x \ dx \).

Penyelesaian:

Andaikan \(u = e^x\) dan \(dv = \sin{⁡x} \ dx\). Kemudian \(du = e^x \ dx \) dan \(v = -\cos{⁡x}\). Jadi,

tampaknya tidak ada perbaikan. Akan tetapi dengan sekali lagi pengintegralan parsial pada integral kedua, yaitu andaikan \(u=e^x\), dan \(dv = \cos⁡{x} \ dx\), maka \(du = e^u \ dx\) dan \(v = \sin{⁡x}\). Sehingga

Apabila hasil ini disubstitusikan ke dalam hasil pertama, kita peroleh

Dengan mengubah urutan suku akhir ke sebelah kiri dan mengumpulkan suku-sukunya, kita peroleh,

Sehingga akhirnya,

CONTOH 7:

Jabarkanlah suatu rumus reduksi untuk \(∫ \sin^n⁡x \ dx\).

Penyelesaian:

Andaikan \(u=\sin^{n-1}⁡ x\) dan \(dv = \sin{⁡x}\ dx\), maka \(du = (n-1) \sin^{n-2}{⁡x} \cos{⁡x} \ dx\) dan \(v = -\cos{⁡x}\). Sehingga,

Oleh karena \(\cos^2{⁡x}=1-\sin^2{⁡x}\), maka apabila \(\cos^2⁡x\) dalam integral di ruas kanan diganti dengan \(1-\sin^2{⁡x}\), kita akhirnya memperoleh

Dengan mengumpulkan integral pertama dengan integral yang terakhir, kita peroleh suatu rumus reduksi untuk \(∫ \sin^nx \ dx\) yang berlaku untuk \(n ≥ 2\).

CONTOH 8:

Gunakan rumus reduksi di atas untuk menghitung

Penyelesaian:

Perhatikan terlebih dahulu bahwa

Sehingga,