JAGOSTAT.COM

JAGOSTAT.COM

Website Belajar Statistika: Konsep, Teori, dan Penerapan

Website Belajar Statistika: Konsep, Teori, dan Penerapan

Kalkulus I » Teknik Pengintegralan › Teknik Integral Parsial
Integral

Teknik Integral Parsial

Teknik pengintegralan yang akan kita bahas di sini dikenal dengan teknik pengintegralan parsial. Teknik ini didasarkan pada pengintegralan rumus turunan hasil kali dua fungsi.


Oleh Tju Ji Long · Statistisi

Apabila pengintegralan dengan teknik atau metode substitusi tidak berhasil, maka teknik pengintegralan lain mungkin dapat memberikan hasil. Teknik pengintegralan yang akan kita bahas di sini dikenal dengan teknik pengintegralan parsial. Teknik ini didasarkan pada pengintegralan rumus turunan hasil kali dua fungsi.

Andaikan \(u = u(x)\) dan \(v = v(x)\). Maka

Gambar

atau

Gambar

Dengan mengintegralkan dua ruas persamaan tersebut, kita peroleh

Gambar

Persamaan terakhir ini dapat kita tuliskan untuk integral tentu dan tak tentu.

Pengintegralan Parsial: Integral Tak Tentu dan Integral Tentu

Karena \(dv=v'(x) \ dx\) dan \(du=u'(x) \ dx\), maka untuk integral tak tentu, pengintegralan parsial dapat dituliskan sebagai

Gambar

Sedangkan rumus pengintegralan parsial untuk integral tentu adalah

Gambar Gambar

Rumus di atas memungkinkan kita memindahkan masalah pengintegralan \(u \ dv\) pada pengintegralan \(v \ du\). Pengintegralan terakhir ini tergantung pada pemilihan \(u\) dan \(dv\) yang tepat.

Gambar 1 di bawah mengilustrasikan interpretasi geometrik untuk pengintegralan parsial.

Gambar

Gambar 1.

CONTOH 1:

Carilah \( \int x \cos x \ dx \).

Penyelesaian:

Kita ingin menulis \(x \cos{x} \ dx\) sebagai \(u \ dv\). Salah satu cara ialah memisalkan \(u = x\) dan \(dv = \cos{x} \ dx\). Jadi \(du = dx\) dan \(v = ∫ \cos⁡{x} \ dx = \sin{⁡x}\) (kita dapat menghilangkan konstanta pengintegralan). Jadi kalau kita ringkaskan subsitusi ganda tersebut, kita peroleh

Gambar

Rumus pengintegralan parsial menjadi

Gambar

Pengandaian \(u\) dan \(dv\) di atas tampak berhasil. Keberhasilan teknik integral sangat bergantung pada pengandaian yang digunakan. Substitusi lain, misalnya sebagai berikut.

Gambar

Rumus pengintegralan parsial menghasilkan

Gambar

Pengandaian tersebut memang betul, akan tetapi dengan ini, integral pada ruas kanan menjadi lebih rumit. Oleh karena itu, penting sekali memilih \(u\) dan \(dv\) setepat mungkin. Yang pokok ialah bahwa integral kedua (yang berada di ruas kanan) harus diusahakan menjadi lebih sederhana.

CONTOH 2:

Carilah \( \int_1^2 \ln{x} \ dx \).

Penyelesaian:

Kita gunakan substitusi ganda sebagai berikut

Gambar

Sehingga,

Gambar

CONTOH 3:

Carilah \( \int \arcsin x \ dx \).

Penyelesaian:

Kita gunakan substitusi ganda sebagai berikut

Gambar

Sehingga,

Gambar

CONTOH 4:

Carilah \( \int_1^2 t^6 \ln t \ dt \).

Penyelesaian:

Kita gunakan substitusi ganda sebagai berikut

Gambar

Sehingga,

Gambar
Pengintegralan Parsial Berulang

Kerap kali kita perlu gunakan pengintegralan parsial beberapa kali. Perhatikan contoh berikut.

CONTOH 5:

Carilah \( \int x^2 \sin x \ dx \).

Penyelesaian:

Andaikan

Gambar

Maka,

Gambar

Dengan demikian tampak bahwa pangkat pada \(x\) dalam integral kedua berkurang. Ini berarti bahwa kita dapat menggunakan integral parsial lagi. Integral kedua ini telah kita hitung dalam Contoh 1. Dengan hasil yang kita peroleh di situ kita dapat menyelesaikan integral kita sebagai berikut.

Gambar

CONTOH 6:

Carilah \( \int e^x \sin x \ dx \).

Penyelesaian:

Andaikan \(u = e^x\) dan \(dv = \sin{⁡x} \ dx\). Kemudian \(du = e^x \ dx \) dan \(v = -\cos{⁡x}\). Jadi,

Gambar

tampaknya tidak ada perbaikan. Akan tetapi dengan sekali lagi pengintegralan parsial pada integral kedua, yaitu andaikan \(u=e^x\), dan \(dv = \cos⁡{x} \ dx\), maka \(du = e^u \ dx\) dan \(v = \sin{⁡x}\). Sehingga

Gambar

Apabila hasil ini disubstitusikan ke dalam hasil pertama, kita peroleh

Gambar

Dengan mengubah urutan suku akhir ke sebelah kiri dan mengumpulkan suku-sukunya, kita peroleh,

Gambar

Sehingga akhirnya,

Gambar
Rumus Reduksi

Suatu rumus yang berbentuk

Gambar

dengan \(k < n\) dinamakan rumus reduksi oleh karena pangkat dari \(f\) berkurang. Rumus demikian kerap kali diperoleh dengan menggunakan pengintegralan parsial.

CONTOH 7:

Jabarkanlah suatu rumus reduksi untuk \(∫ \sin^n⁡x \ dx\).

Penyelesaian:

Andaikan \(u=\sin^{n-1}⁡ x\) dan \(dv = \sin{⁡x}\ dx\), maka \(du = (n-1) \sin^{n-2}{⁡x} \cos{⁡x} \ dx\) dan \(v = -\cos{⁡x}\). Sehingga,

Gambar

Oleh karena \(\cos^2{⁡x}=1-\sin^2{⁡x}\), maka apabila \(\cos^2⁡x\) dalam integral di ruas kanan diganti dengan \(1-\sin^2{⁡x}\), kita akhirnya memperoleh

Gambar

Dengan mengumpulkan integral pertama dengan integral yang terakhir, kita peroleh suatu rumus reduksi untuk \(∫ \sin^nx \ dx\) yang berlaku untuk \(n ≥ 2\).

Gambar

CONTOH 8:

Gunakan rumus reduksi di atas untuk menghitung

Gambar

Penyelesaian:

Perhatikan terlebih dahulu bahwa

Gambar

Sehingga,

Gambar
Sumber:

Purcell, Edwin J., dan Dale Verberg. (1987). Calculus with Analytic Geometry, ed 5. Terjemahan Susila, I Nyoman, dkk. Kalkulus dan Geometri Analitis. Indonesia: Penerbit Erlangga.

Purcell, Edwin J., Dale Verberg., dan Steve Rigdon. (2007). Calculus, ed 9. Penerbit Pearson.

Artikel Terkait

Orang yang lemah tidak mampu memaafkan. Memaafkan adalah ciri orang yang kuat.