Kalkulus I » Aplikasi Turunan › Teorema Nilai Rata-rata untuk Turunan

Turunan

Teorema Nilai Rata-rata untuk Turunan

Teorema Nilai Rata-rata mengatakan bahwa jika grafik sebuah fungsi kontinu mempunyai garis singgung tak vertikal pada setiap titik antara A dan B, maka terdapat paling sedikit satu titik C pada grafik antara A dan B sehingga garis singgung di titik C sejajar talibusur AB.

Oleh Tju Ji Long · Statistisi

Hub. WA: 0812-5632-4552

Salah satu aplikasi turunan adalah Teorema Nilai Rata-rata. Teorema ini mengatakan bahwa jika grafik sebuah fungsi kontinu mempunyai garis singgung tak vertikal pada setiap titik antara A dan B, maka terdapat paling sedikit satu titik C pada grafik antara A dan B sehingga garis singgung di titik C sejajar talibusur AB.

Dalam Gambar 1, hanya terdapat satu titik C yang demikian; dalam Gambar 2, terdapat beberapa.

Gambar 1.

Gambar 2.

Mari kita nyatakan Teorema ini dalam bahasa fungsi.

Teorema A: Teorema Nilai Rata-rata untuk Turunan

Jika \(f\) kontinu pada selang tertutup \([a,b]\) dan terdiferensial pada titik-titik dalam \((a,b)\), maka terdapat paling sedikit satu bilangan \(c\) dalam \((a,b)\) di mana

atau, secara setara, di mana

Contoh 1:

Cari bilangan \(c\) yang dijamin oleh Teorema Nilai Rata-rata untuk \(f(x)=2\sqrt{x}\) pada \([1,4]\).

Penyelesaian:

dan

Jadi, kita harus menyelesaikan

Jawaban tunggal adalah \(c = 9/4\) (Gambar 3)

Gambar 3

Contoh 2:

Andaikan \(f(x)=x^3-x^2-x+1\) pada \([-1,2]\). Cari semua bilangan \(c\) yang memenuhi kesimpulan terhadap Teorema Nilai Rata-rata.

Penyelesaian:

Gambar 4 menunjukkan grafik fungsi \(f\). Dari grafik ini, tampak bahwa terdapat dua bilangan \(c_1\) dan \(c_2\) dengan sifat yang disyaratkan.

Gambar 4

Sekarang kita menemukan

dan

Jadi, kita harus menyelesaikan

dan

Dengan rumus abc untuk persamaan kuadrat, terdapat dua penyelesaian \((2±\sqrt{4+24})/6\) yang berpadanan terhadap \(c_1=-0,55\) dan \(c_2=1,22\). Kedua bilangan tersebut berada dalam selang \((-1,2)\).

Contoh 3:

Andaikan \(f(x)=x^{2/3}\) pada \([-8,27]\). Perlihatkan bahwa kesimpulan terhadap Teorema Nilai Rata-rata gagal dan jelaskan mengapa demikian.

Penyelesaian:

Perhatikan bahwa

dan

Jadi, kita harus menyelesaikan

dan

Tetapi \(c = 102\) tidak pada selang \((-8, 27)\) seperti disyaratkan. Seperti diperlihatkan oleh grafik \(y = f(x)\) pada Gambar 5, \(f'(0)\) gagal untuk terwujud, karena \(f(x)\) tidak terdiferensiasi di mana-mana pada \((-8, 27)\).

Gambar 5

Cukup sekian penjelasan mengenai teorema nilai rata-rata untuk turunan beserta contoh soal dan pembahasannya dalam artikel ini. Semoga bermanfaat.

Sumber:

Purcell, Edwin J., dan Dale Verberg. (1987). Calculus with Analytic Geometry, ed 5. Terjemahan Susila, I Nyoman, dkk. Kalkulus dan Geometri Analitis. Indonesia: Penerbit Erlangga.

Purcell, Edwin J., Dale Verberg., dan Steve Rigdon. (2007). Calculus, ed 9. Penerbit Pearson.