Kalkulus I » Aplikasi Turunan › Teorema Nilai Rata-rata untuk Turunan
Turunan
Teorema Nilai Rata-rata untuk Turunan
Teorema Nilai Rata-rata mengatakan bahwa jika grafik sebuah fungsi kontinu mempunyai garis singgung tak vertikal pada setiap titik antara A dan B, maka terdapat paling sedikit satu titik C pada grafik antara A dan B sehingga garis singgung di titik C sejajar talibusur AB.
Oleh Tju Ji Long · Statistisi
Salah satu aplikasi turunan adalah Teorema Nilai Rata-rata. Teorema ini mengatakan bahwa jika grafik sebuah fungsi kontinu mempunyai garis singgung tak vertikal pada setiap titik antara A dan B, maka terdapat paling sedikit satu titik C pada grafik antara A dan B sehingga garis singgung di titik C sejajar talibusur AB.
Dalam Gambar 1, hanya terdapat satu titik C yang demikian; dalam Gambar 2, terdapat beberapa.
Gambar 1.
Gambar 2.
Mari kita nyatakan Teorema ini dalam bahasa fungsi.
Teorema A: Teorema Nilai Rata-rata untuk Turunan
Jika \(f\) kontinu pada selang tertutup \([a,b]\) dan terdiferensial pada titik-titik dalam \((a,b)\), maka terdapat paling sedikit satu bilangan \(c\) dalam \((a,b)\) di mana
atau, secara setara, di mana
Contoh 1:
Cari bilangan \(c\) yang dijamin oleh Teorema Nilai Rata-rata untuk \(f(x)=2\sqrt{x}\) pada \([1,4]\).
Penyelesaian:
dan
Jadi, kita harus menyelesaikan
Jawaban tunggal adalah \(c = 9/4\) (Gambar 3)
Gambar 3
Contoh 2:
Andaikan \(f(x)=x^3-x^2-x+1\) pada \([-1,2]\). Cari semua bilangan \(c\) yang memenuhi kesimpulan terhadap Teorema Nilai Rata-rata.
Penyelesaian:
Gambar 4 menunjukkan grafik fungsi \(f\). Dari grafik ini, tampak bahwa terdapat dua bilangan \(c_1\) dan \(c_2\) dengan sifat yang disyaratkan.
Gambar 4
Sekarang kita menemukan
dan
Jadi, kita harus menyelesaikan
dan
Dengan rumus abc untuk persamaan kuadrat, terdapat dua penyelesaian \((2±\sqrt{4+24})/6\) yang berpadanan terhadap \(c_1=-0,55\) dan \(c_2=1,22\). Kedua bilangan tersebut berada dalam selang \((-1,2)\).
Contoh 3:
Andaikan \(f(x)=x^{2/3}\) pada \([-8,27]\). Perlihatkan bahwa kesimpulan terhadap Teorema Nilai Rata-rata gagal dan jelaskan mengapa demikian.
Penyelesaian:
Perhatikan bahwa
dan
Jadi, kita harus menyelesaikan
dan
Tetapi \(c = 102\) tidak pada selang \((-8, 27)\) seperti disyaratkan. Seperti diperlihatkan oleh grafik \(y = f(x)\) pada Gambar 5, \(f'(0)\) gagal untuk terwujud, karena \(f(x)\) tidak terdiferensiasi di mana-mana pada \((-8, 27)\).
Gambar 5
Cukup sekian penjelasan mengenai teorema nilai rata-rata untuk turunan beserta contoh soal dan pembahasannya dalam artikel ini. Semoga bermanfaat.
Sumber:
Purcell, Edwin J., dan Dale Verberg. (1987). Calculus with Analytic Geometry, ed 5. Terjemahan Susila, I Nyoman, dkk. Kalkulus dan Geometri Analitis. Indonesia: Penerbit Erlangga.
Purcell, Edwin J., Dale Verberg., dan Steve Rigdon. (2007). Calculus, ed 9. Penerbit Pearson.