www.jagostat.com

www.jagostat.com

Website Belajar Matematika & Statistika

Website Belajar Matematika & Statistika

Kalkulus I   »   Aplikasi Turunan   ›  Teorema Nilai Rata-rata untuk Turunan
Joki Tugas Matematika Murah, Hanya Rp10-50 Ribu. Hub. WA: 0812-5632-4552

Teorema Nilai Rata-rata untuk Turunan

Teorema Nilai Rata-rata mengatakan bahwa jika grafik sebuah fungsi kontinu mempunyai garis singgung tak vertikal pada setiap titik antara A dan B, maka terdapat paling sedikit satu titik C pada grafik antara A dan B sehingga garis singgung di titik C sejajar talibusur AB.

Salah satu aplikasi turunan adalah Teorema Nilai Rata-rata. Teorema ini mengatakan bahwa jika grafik sebuah fungsi kontinu mempunyai garis singgung tak vertikal pada setiap titik antara A dan B, maka terdapat paling sedikit satu titik C pada grafik antara A dan B sehingga garis singgung di titik C sejajar talibusur AB.

Dalam Gambar 1, hanya terdapat satu titik C yang demikian; dalam Gambar 2, terdapat beberapa.

Gambar

Gambar 1.

Gambar

Gambar 2.

Mari kita nyatakan Teorema ini dalam bahasa fungsi.

Teorema A: Teorema Nilai Rata-rata untuk Turunan

Jika \(f\) kontinu pada selang tertutup \([a,b]\) dan terdiferensial pada titik-titik dalam \((a,b)\), maka terdapat paling sedikit satu bilangan \(c\) dalam \((a,b)\) di mana

Gambar

atau, secara setara, di mana

Gambar

Contoh 1:

Cari bilangan \(c\) yang dijamin oleh Teorema Nilai Rata-rata untuk \(f(x)=2\sqrt{x}\) pada \([1,4]\).

Penyelesaian:

Gambar

dan

Gambar

Jadi, kita harus menyelesaikan

Gambar

Jawaban tunggal adalah \(c = 9/4\) (Gambar 3)

Gambar

Gambar 3

Contoh 2:

Andaikan \(f(x)=x^3-x^2-x+1\) pada \([-1,2]\). Cari semua bilangan \(c\) yang memenuhi kesimpulan terhadap Teorema Nilai Rata-rata.

Penyelesaian:

Gambar 4 menunjukkan grafik fungsi \(f\). Dari grafik ini, tampak bahwa terdapat dua bilangan \(c_1\) dan \(c_2\) dengan sifat yang disyaratkan.

Gambar

Gambar 4

Sekarang kita menemukan

Gambar

dan

Gambar

Jadi, kita harus menyelesaikan

Gambar

dan

Gambar

Dengan rumus abc untuk persamaan kuadrat, terdapat dua penyelesaian \((2±\sqrt{4+24})/6\) yang berpadanan terhadap \(c_1=-0,55\) dan \(c_2=1,22\). Kedua bilangan tersebut berada dalam selang \((-1,2)\).

Contoh 3:

Andaikan \(f(x)=x^{2/3}\) pada \([-8,27]\). Perlihatkan bahwa kesimpulan terhadap Teorema Nilai Rata-rata gagal dan jelaskan mengapa demikian.

Penyelesaian:

Perhatikan bahwa

Gambar

dan

Gambar

Jadi, kita harus menyelesaikan

Gambar

dan

Gambar

Tetapi \(c = 102\) tidak pada selang \((-8, 27)\) seperti disyaratkan. Seperti diperlihatkan oleh grafik \(y = f(x)\) pada Gambar 5, \(f'(0)\) gagal untuk terwujud, karena \(f(x)\) tidak terdiferensiasi di mana-mana pada \((-8, 27)\).

Gambar

Gambar 5

Cukup sekian penjelasan mengenai teorema nilai rata-rata untuk turunan beserta contoh soal dan pembahasannya dalam artikel ini. Semoga bermanfaat.

Sumber:

Purcell, Edwin J., dan Dale Verberg. (1987). Calculus with Analytic Geometry, ed 5. Terjemahan Susila, I Nyoman, dkk. Kalkulus dan Geometri Analitis. Indonesia: Penerbit Erlangga.

Purcell, Edwin J., Dale Verberg., dan Steve Rigdon. (2007). Calculus, ed 9. Penerbit Pearson.

Jika Anda merasa artikel ini bermanfaat, klik tombol suka di bawah ini dan jika ada pembahasan yang kurang jelas dari artikel ini silahkan tanyakan di kolom komentar. Terima kasih.

Artikel Terkait

If you cannot do great things, do small things in a great way.