JAGOSTAT.COM

JAGOSTAT.COM

Website Belajar Statistika: Konsep, Teori, dan Penerapan

Website Belajar Statistika: Konsep, Teori, dan Penerapan

Kalkulus I » Teknik Pengintegralan › Teknik Integral dengan Substitusi
Integral

Teknik Integral dengan Substitusi

Untuk dapat menggunakan metode substitusi dengan hasil yang memuaskan, kita harus mengetahui integral-integral dalam bentuk baku sebanyak mungkin.


Oleh Tju Ji Long · Statistisi

Pada artikel-artikel sebelumnya, kita telah belajar mengenai konsep dasar integral. Sekarang kita akan fokus pada teknik-teknik yang ada dalam menyelesaikan suatu integral.

Teknik-teknik tersebut meliputi teknik integral dengan substitusi, teknik integral parsial, teknik integral dengan pangkat trigonometri, teknik integral substitusi lain, dan terakhir teknik pengintegralan fungsi rasional yaitu hasil bagi dua fungsi suku banyak (polinom).

Pada artikel ini kita mulai dengan teknik integral substitusi, tetapi sebelum itu kita mengingat sedikit bentuk baku dalam integral agar memudahkan dalam menggunakan metode ini.

Bentuk Baku Integral

Untuk dapat menggunakan metode substitusi dengan hasil yang memuaskan, kita harus mengetahui integral-integral sebanyak mungkin. Beberapa daftar bentuk baku integral beserta hasilnya diberikan berikut ini. Daftar singkat ini sebaiknya dihafalkan karena akan membantu dalam menggunakan teknik integral dengan substitusi.

Gambar
Substitusi dalam Integral Tak Tentu

Andaikan anda menghadapi suatu integral tak tentu. Apabila ini bentuk baku, segera dapatlah ditulis hasilnya. Apabila tidak, carilah sebuah substitusi yang akan mengubahnya menjadi suatu bentuk baku. Apabila pada substitusi yang pertama, kita tidak berhasil memperoleh bentuk baku, kita mencoba dengan cara lain. Setelah berlatih cukup lama, kita akan dapat menemukan penggantian yang tepat.

Teorema A: Aturan Substitusi dalam Integral Tak Tentu

Andaikan \(g\) adalah fungsi yang dapat didiferensialkan dan anggaplah bahwa \(F\) merupakan antiturunan dari \(f\). Maka, jika \(u = g(x)\),

Gambar

CONTOH 1:

Gambar

Penyelesaian:

Integral tersebut akan mengingatkan kita pada bentuk baku \(∫ \sec^2⁡{u} \ du\). Sekarang andaikan \(u=x^2, du=2x \ dx\), sehingga

Gambar

CONTOH 2:

Gambar

Penyelesaian:

Ingatlah bentuk baku \(∫ \frac{du}{\sqrt{(a^2-u^2)}}\). Andaikan \(u=3x\), maka \(du=3 \ dx \). Sehingga

Gambar

CONTOH 3:

Gambar

Penyelesaian:

Ingat bentuk baku \(∫ e^u du\). Andaikan \(u=1/x\), maka \(du=(-1/x^2) \ dx\). Sehingga

Gambar

CONTOH 4:

Gambar

Penyelesaian:

Ingatlah bentuk baku \(∫ \frac{1}{(a^2+u^2)} du\). Andaikan \(u = 3e^x\), maka \(du=3e^x \ dx\). Sehingga

Gambar

Tidak ada aturan yang mengharuskan kita menggunakan substitusi-\(u\). Jika kita dapat melakukan tanpa penggantian, lakukanlah. Dengan kata lain, kita tidak harus menuliskan substitusi-\(u\). Di bawah ini ada dua contoh yang kita maksudkan.

CONTOH 5:

Gambar

Penyelesaian:

Dalam ingatan, substitusi \(u=x^2\).

Gambar

CONTOH 6:

Gambar

Penyelesaian:

Dalam ingatan, gunakan substitusi \(u = \tan{t}\).

Gambar
Substitusi Dalam Integral Tentu

Substitsi dalam integral tentu sama seperti substitusi dalam integral tak tentu, tetapi kita tidak boleh lupa untuk mengubah batas-batas pengintegralannya.

Teorema B: Aturan Substitusi untuk Integral Tentu

Andaikan \(g\) mempunyai turunan yang kontinu pada \([a,b]\), dan andaikan \(f\) adalah kontinu pada range \(g\). Maka,

Gambar

di mana \(u = g(x)\).

CONTOH 7:

Gambar

Penyelesaian:

Andaikan \(u=t^2-4\), maka \(du=2t \ dt\). Perhatikan bahwa \(u=0\) jika \(t = 2\) dan \(u = 21\) jika \(t = 5\). Jadi,

Gambar

CONTOH 8:

Gambar

Penyelesaian:

Dalam ingatan, substitusi \(u = x^4+11\). Kita peroleh

Gambar

CONTOH 9:

Gambar

Penyelesaian:

Misalkan \(u=x^2+2x+6\), sehingga \(du = (2x+2) \ dx = 2(x+1) \ dx\), dan perhatikan bahwa \(u = 6\) saat \(x = 0\) dan \(u = 9\) saat \(x = 1\). Dengan demikian,

Gambar
Sumber:

Purcell, Edwin J., dan Dale Verberg. (1987). Calculus with Analytic Geometry, ed 5. Terjemahan Susila, I Nyoman, dkk. Kalkulus dan Geometri Analitis. Indonesia: Penerbit Erlangga.

Purcell, Edwin J., Dale Verberg., dan Steve Rigdon. (2007). Calculus, ed 9. Penerbit Pearson.

Artikel Terkait

Janganlah menganggap remeh hal-hal yang terdekat dengan hati Anda. Rangkullah mereka seperti sama berharganya dengan hidup Anda, karena tanpa mereka hidup adalah sia-sia.