JAGOSTAT.COM

JAGOSTAT.COM

Website Belajar Statistika: Konsep, Teori, dan Penerapan

Website Belajar Statistika: Konsep, Teori, dan Penerapan

Kalkulus I » Integral › Sifat-Sifat Integral
Integral

Sifat-Sifat Integral

Terdapat suatu cara yang lebih baik dalam menghitung integral tentu; yaitu dengan memahami sifat-sifat yang melekat padanya.


Oleh Tju Ji Long · Statistisi

Kita telah mampu menghitung beberapa integral tentu dari definisi secara langsung berkat adanya rumus-rumus manis untuk \(1 + 2 + 3+ …+ n\), \(1^2+2^2+⋯+n^2\), dan seterusnya.

Penghitungan integral tentu dengan cara ini selalu membosankan, biasanya sukar, dan kadang-kadang praktis tidak mungkin. Untung saja terdapat suatu cara yang lebih baik dalam menghitung integral tentu; yaitu yang akan menjadi pokok bahasan pada bagian ini.

TEOREMA A: Teorema Dasar Kalkulus

Andaikan \(f\) kontinu (karenanya terintegralkan) pada \([a,b]\) dan andaikan \(F\) sebarang anti turunan dari \(f\) di sana. Maka,

Gambar

CONTOH 1:

Perlihatkan bahwa

Gambar

di mana \(k\) adalah konstanta.

Penyelesaian:

\(F(x)=kx\) adalah suatu anti turunan dari \(f(x)=k\). Sehingga menurut Teorema Dasar,

Gambar

CONTOH 2:

Perlihatkan bahwa

Gambar

Penyelesaian:

\(F(x)=x^2/2\) adalah suatu anti turunan dari \(f(x)=x\). Karena itu,

Gambar

CONTOH 3:

Perlihatkan bahwa jika \(r\) suatu bilangan rasional yang bukan \(–1\), maka

Gambar

Penyelesaian:

\(F(x)=x^{(r+1)}/(r+1)\) adalah suatu anti turunan dari \(f(x)=x^r\). Maka, menurut Teorema Dasar,

Gambar

Adalah menguntungkan untuk memperkenalkan lambang baru untuk \(F(b)-F(a)\). Kita tuliskan

Gambar

Perhatikan contohnya berikut ini.

Gambar

TEOREMA B: Kelinearan Integral Tentu

Andaikan \(f\) dan \(g\) terintegralkan pada \([a,b]\) dan bahwa \(k\) konstanta. Maka \(kf\) dan \(f+g\) adalah teintegralkan dan

Gambar

CONTOH 4:

Hitunglah integral \( \int_\limits{-1}^2 (4x-6x^2) \ dx \) dengan menggunakan sifat kelinearan pada Teorema B.

Penyelesaian:

Gambar

TEOREMA C: Sifat Penambahan Selang

Jika \(f\) terintegralkan pada suatu selang yang mengandung tiga titik \(a, b\), dan \(c\), maka

Gambar

bagaimanapun urutan dari \(a, b\), dan \(c\).

Misalnya, \( \int_0^2 x^2 \ dx \) dapat dinyatakan sebagai

Gambar

TEOREMA D: Sifat Pembandingan

Jika \(f\) dan \(g\) terintegralkan pada \([a,b]\) dan jika \(f(x)≤g(x)\) untuk semua \(x\) dalam \([a,b]\), maka

Gambar

TEOREMA E: Sifat Keterbatasan

Jika \(f\) terintegralkan pada \([a,b]\) dan jika \(m≤f(x)≤M\) untuk semua \(x\) dalam \([a,b]\), maka

Gambar

TEOREMA F: Pendiferensialan suatu integral tentu

Andaikan f kontinu pada selang tertutup [a,b] dan andaikan x sebuah (variabel) titik dalam [a,b]. Maka,

Gambar

CONTOH 5:

Gambar

Penyelesaian:

Menurut Teorema F, kita peroleh

Gambar

CONTOH 6:

Gambar

Penyelesaian:

Menurut Teorema F, kita peroleh

Gambar
Sumber:

Purcell, Edwin J., dan Dale Verberg. (1987). Calculus with Analytic Geometry, ed 5. Terjemahan Susila, I Nyoman, dkk. Kalkulus dan Geometri Analitis. Indonesia: Penerbit Erlangga.

Purcell, Edwin J., Dale Verberg., dan Steve Rigdon. (2007). Calculus, ed 9. Penerbit Pearson.

Artikel Terkait

Ia yang mengerjakan lebih dari apa yang dibayar pada suatu saat akan dibayar lebih dari apa yang ia kerjakan.