Kalkulus I   »   Aplikasi Integral   ›  Volume Benda Putar dengan Metode Cakram

Volume Benda Putar dengan Metode Cakram

Selain untuk mencari luas suatu daerah, integral juga digunakan untuk menghitung volume suatu benda. Terdapat beberapa cara untuk menghitung volume menggunakan integral, salah satu di antaranya yaitu metode cakram.

Selain untuk mencari luas suatu daerah, integral juga digunakan untuk menghitung volume suatu benda. Terdapat beberapa cara untuk menghitung volume menggunakan integral, salah satu di antaranya yaitu metode cakram.

Mari kita mulai dengan sebuah pertanyan. Apakah yang disebut volume? Perhatikanlah Gambar 1 yang menunjukkan empat benda.

Gambar 1.

Dalam tiap kasus, benda itu diperoleh dengan cara menggerakkan suatu daerah pada bidang sejauh \(h\) dengan arah yang tegak lurus pada daerah tersebut. Dalam tiap kasus itu, volume benda ditentukan sebagai luas A (daerah alas) dikalikan dengan tinggi \(h\), yakni \[ V = A \cdot h\]

Sekarang perhatikanlah sebuah benda di mana penampang-penampang tegak lurusnya pada suatu garis yang memiliki luas tertentu. Misalnya garis tersebut adalah sumbu \(x\) dan andaikan bahwa luas penampang di \(x\) adalah \(A(x)\) dengan \(a≤x≤b\) (Gambar 2).

Selang \([a,b]\) kita bagi dengan titik-titik bagi \(a=x_0 < x_1 < x_2 <⋯< x_n=b\). Melalui titik-titik itu kita lukis bidang tegak lurus pada sumbu \(x\). Dengan demikian kita peroleh pemotongan benda menjadi lempengan yang tipis-tipis (Gambar 3). Volume \(ΔV_i\) suatu lempeng dapat dianggap sebagai volume tabung, yaitu

dan volume \(V\) benda dapat diaproksimasi dengan jumlah Riemann

Apabila norma partisi kita tujukan ke nol, kita peroleh suatu integral tentu; integral ini kita definisikan sebagai volume benda

Dalam perhitungan volume-volume benda, sebaiknya anda jangan menggunakan rumus itu secara hafalan. Akan tetapi, pahamilah proses yang menuju ke penemuan rumus tersebut. Seperti untuk luas, proses itu kita sebut pula, pemotongan, aproksimasi dan pengintegralan. Hal ini diperjelas dalam contoh-contoh di bawah ini.

Benda Putar: Metode Cakram.

Apabila sebuah daerah rata, yang terletak seluruhnya pada satu bagian bidang yang terbagi oleh sebuah garis lurus tetap, diputar mengelilingi garis tersebut, daerah itu akan membentuk sebuah benda putar. Garis yang tetap tersebut dinamakan sumbu putar.

Sebagai contoh, apabila daerah yang dibatasi oleh setengah lingkaran dan garis tengahnya, diputar mengelilingi garis tengah itu, maka daerah tersebut membentuk sebuah bola. Apabila daerah segitiga diputar mengelilingi salah satu kakinya, daerah itu akan membentuk sebuah kerucut (Gambar 4). Apabila sebuah daerah lingkaran diputar mengelilingi sebuah garis pada bidang lingkaran itu yang tidak memotongnya (Gambar 5), maka diperoleh sebuah torus (ban). Dalam tiap hal, volume benda-benda itu dapat disajikan sebagai suatu integral tentu.

Benda Ruang Lain yang Penampangnya Diketahui.

Sejauh ini benda yang kita bahas memiliki daerah-daerah lingkaran sebagai penampang-penampang tegak. Sebuah pertanyaan kemudian muncul: Apakah metode yang kita gunakan masih tetap berlaku untuk benda-benda yang penampang tegaknya berbentuk bujur sangkar atau segitiga? Jawabannya ya; kita masih dapat menghitung luas penampang-penampang tersebut. Perhatikanlah dua contoh di bawah ini

Sumber:

Purcell, Edwin J., dan Dale Verberg. (1987). Calculus with Analytic Geometry, ed 5. Terjemahan Susila, I Nyoman, dkk. Kalkulus dan Geometri Analitis. Indonesia: Penerbit Erlangga.

Purcell, Edwin J., Dale Verberg., dan Steve Rigdon. (2007). Calculus, ed 9. Penerbit Pearson.

Jika Anda merasa artikel ini bermanfaat, klik tombol suka di bawah ini dan jika ada pembahasan yang kurang jelas dari artikel ini silahkan tanyakan di kolom komentar. Terima kasih.