JAGOSTAT.COM

JAGOSTAT.COM

Website Belajar Statistika: Konsep, Teori, dan Penerapan

Website Belajar Statistika: Konsep, Teori, dan Penerapan

Kalkulus I » Teknik Pengintegralan › Teknik Integral Substitusi Trigonometri
Integral

Teknik Integral Substitusi Trigonometri

Bentuk akar dalam integran sering kali menimbulkan kesulitan untuk memecahkan integral yang bersangkutan. Dengan substitusi trigonometri yang tepat bentuk akar itu dapat dirasionalkan.


Oleh Tju Ji Long · Statistisi

Bentuk akar dalam integran sering kali menimbulkan kesulitan untuk memecahkan integral yang bersangkutan. Dengan suatu substitusi yang tepat bentuk akar itu dapat dirasionalkan.

Integran yang Memuat \(\sqrt[n]{ax+b}\).

Apabila di dalam integran ada bentuk \(\sqrt[n]{ax+b}\), maka substitusi \(u = \sqrt[n]{ax+b}\), dapat merasionalkan integran. Perhatikan contoh di bawah ini.

CONTOH 1:

Gambar

Penyelesaian:

Misalkan \(u=\sqrt{x}\), maka \(u^2=x\) dan \(2u \ du=dx\). Dengan demikian, kita peroleh

Gambar

CONTOH 2:

Gambar

Penyelesaian:

Misalkan \(u = \sqrt[3]{x-4}\), maka \(u^3=x-4\) dan \(3u^2 \ du=dx\). Dengan demikian, kita peroleh

Gambar

CONTOH 3:

Gambar

Penyelesaian:

Misalkan \(u=(x+1)^{1/5}\), maka \(u^5=x+1\) dan \(5u^4 \ du=dx\). Dengan demikian, kita peroleh

Gambar
Integran yang mengandung \(\sqrt{(a^2-x^2)}, \sqrt{(a^2+x^2)},\) dan \(\sqrt{(x^2-a^2)}\)

Untuk merasionalkan bentuk akar-akar tersebut kita gunakan masing-masing substitusi berikut.

Gambar

Untuk melihat akibat substitusi tersebut, perhatikanlah

Gambar

Pembatasan pada \(t\) memungkinkan kita untuk menghilangkan tanda nilai absolut pada dua kasus pertama. Selain itu, pembatasan ini juga membuat fungsi \(\sin, \tan\) dan \(\sec\) menjadi dapat diinverskan. Ini berarti bahwa kita bisa menyelesaikan persamaan substitusi untuk \(t\) dalam setiap kasus, dan ini akan memungkinkan kita untuk menuliskan jawaban akhir pada contoh berikut dalam bentuk \(x\).

CONTOH 4:

Gambar

Penyelesaian:

Kita gunakan substitusi

Gambar

sehingga \(dx = a \cos{⁡t} \ dt\) dan \(\sqrt{a^2-x^2} = a \cos{⁡t}\). Dengan demikian,

Gambar

Oleh karena \(x = a \sin{t}\) ekivalen dengan \(x/a = \sin⁡{t}\) dan oleh karena selang \(t\) kita batasi sehingga sinus memiliki invers, maka

Gambar

Dan dengan sebuah kesamaan yang telah kita pelajari mengenai fungsi trigonometri, kita peroleh

Gambar

Ini dapat pula dilihat pada Gambar 1.

Gambar

Gambar 1.

Dengan demikian,

Gambar

Dengan hasil yang telah kita peroleh dalam Contoh 4, kita dapat menghitung integral tentu yang menggambarkan luas daerah setengah lingkaran (Gambar 2).

Gambar
Gambar

Gambar 2.

CONTOH 5:

Gambar

Penyelesaian:

Misalkan \(x =3 \tan{⁡t}, -π/2 < t < π/2\), maka \(dx = 3 \sec^2⁡{t} \ dt\) dan \(\sqrt{(9+x^2)}=3 \sec⁡{t}\).

Gambar

Langkah terakhir adalah menyelesaikan integral \(\sec{t}\). Karena kita memisalkan \(x = 3 \tan{t}\), maka sekarang \(\tan{t} = x/3\), yang memberikan sebuah segitiga seperti terlihat pada Gambar 3. Dari Gambar 3, kita menyimpulkan bahwa \(\sec{⁡t}=\sqrt{(9+x^2)}/3\). Dengan demikian,

Gambar Gambar

Gambar 3

CONTOH 6:

Gambar

Penyelesaian:

Andaikan \(x = 2 \sec{⁡t}\), dengan \(0 ≤ t ≤ π/2\). Selang \(t\) ini kita peroleh berhubung selang \(x\) adalah \(2 ≤ x ≤ 4\). (Gambar 4). Hal ini penting sebab kita dapat menghilangkan tanda nilai mutlak yang muncul apabila kita menyederhanakan \(\sqrt{x^2-a^2}\). Dalam kasus kita, didapatkan

Gambar

Sekarang kita gunakan teorema mengenai substitusi dalam integral tentu yang mengharuskan perubahan batas-batas integral. Jadi kita peroleh

Gambar Gambar

Gambar 4

Melengkapkan Menjadi kuadrat

Apabila sebuah bentuk kuadrat \(x^2+Bx+C\) muncul di bawah akar dalam integran, kita dapat melengkapkannya menjadi kuadrat sebelum kita menggunakan substitusi trigonometri. Simak contoh berikut ini.

CONTOH 7:

Gambar

Penyelesaian:

  1. \( x^2+2x+26=x^2+2x+1+25=(x+1)^2+25. \)
  2. Misalkan \(u=x+1\) dan \(du=dx\), maka

    Gambar

    Selanjutnya misalkan \(u = 5 \tan{t}, -π/2 < t < π/2\), maka \(du= 5 \sec^2⁡t \ dt\) dan \(\sqrt{μ^2+25}=\sqrt{25(\tan^2⁡t+1)} = 5 \sec{⁡t}\), sehingga

    Gambar
  3. Untuk mengatasi integral kedua, kita tuliskan
  4. Gambar

    Integral yang pertama pada ruas kanan diselesaikan dengan substitusi \(u=x^2+2x+26\); sedangkan integral yang kedua barus saja kita selesaikan. Kita peroleh,

    Gambar
Sumber:

Purcell, Edwin J., dan Dale Verberg. (1987). Calculus with Analytic Geometry, ed 5. Terjemahan Susila, I Nyoman, dkk. Kalkulus dan Geometri Analitis. Indonesia: Penerbit Erlangga.

Purcell, Edwin J., Dale Verberg., dan Steve Rigdon. (2007). Calculus, ed 9. Penerbit Pearson.

Artikel Terkait

Cintailah semua orang, tapi percayailah beberapa saja.