JAGOSTAT.COM

JAGOSTAT.COM

Website Belajar Matematika & Statistika

Website Belajar Matematika & Statistika

Kalkulus I » Teknik Pengintegralan › Teknik Integral Substitusi Trigonometri
Integral

Teknik Integral Substitusi Trigonometri

Bentuk akar dalam integran sering kali menimbulkan kesulitan untuk memecahkan integral yang bersangkutan. Dengan substitusi trigonometri yang tepat bentuk akar itu dapat dirasionalkan.


Oleh Tju Ji Long · Statistisi

Hub. WA: 0812-5632-4552

Sering kali kita menjumpai soal integral di mana fungsi yang akan diintegralkan (integran) berupa bentuk akar. Adanya bentuk akar ini acap kali menimbulkan kesulitan untuk memecahkan integral tersebut. Namun, dengan teknik integral yang tepat, kita bisa memecahkan soal integral di mana integrannya berupa bentuk akar ini dengan gampang dan cepat.

Teknik integral yang akan kita bahas yaitu teknik integral substitusi trigonometri. Dengan substitusi trigonometri yang tepat bentuk akar dalam integran dapat dirasionalkan dan karena itu dapat dengan mudah untuk diintegralkan.

Integran yang mengandung \(\sqrt{(a^2-x^2)}, \sqrt{(a^2+x^2)},\) dan \(\sqrt{(x^2-a^2)}\)

Apabila kita menjumpai integran yang fungsinya mengandung ketiga bentuk akar di atas, maka teknik integral substitusi trigonometri dapat diterapkan. Untuk merasionalkan bentuk akar-akar tersebut kita gunakan substitusi berikut:

Gambar

Dari substitusi tersebut, kita peroleh hasil berikut:

Gambar

Perhatikan bahwa pembatasan pada \(t\) memungkinkan kita untuk menghilangkan tanda nilai absolut pada dua kasus pertama. Selain itu, pembatasan ini juga membuat fungsi \(\sin, \tan\) dan \(\sec\) menjadi dapat diinverskan.

CONTOH 1:

Gambar

Penyelesaian:

Untuk menyelesaikan soal ini kita gunakan substitusi berikut:

Gambar

sehingga kita peroleh \(dx = a \cos{⁡t} \ dt\) dan \(\sqrt{a^2-x^2} = a \cos{⁡t}\). Dengan demikian,

Gambar

Oleh karena \(x = a \sin{t}\) ekivalen dengan \(x/a = \sin⁡{t}\) dan oleh karena selang \(t\) kita batasi sehingga sinus memiliki invers, maka

Gambar

Dan dengan sebuah kesamaan yang telah kita pelajari mengenai fungsi trigonometri, kita peroleh

Gambar

Ini dapat pula dilihat pada Gambar 1 di bawah ini.

Gambar

Gambar 1.

Dengan demikian,

Gambar

Dengan hasil yang telah kita peroleh dalam Contoh 1, kita dapat menghitung integral tentu yang menggambarkan luas daerah setengah lingkaran (Gambar 2).

Gambar
Gambar

Gambar 2.

CONTOH 2:

Selesaikan \( \displaystyle \int \sqrt{x^2 - a^2} \ dx \).

Pembahasan:

Dengan memisalkan \( x = a \sec t \) kita peroleh hasil berikut:

\begin{aligned} x &= a \sec t \Leftrightarrow \sec t = \frac{x}{a} \\[8pt] \frac{dx}{dt} &= a \sec t \tan t \Leftrightarrow dx = a \sec t \tan t \ dt \\[8pt] \sqrt{x^2 - a^2} &= a \tan t \end{aligned}

Selanjutnya, kita akan gunakan informasi di atas untuk menyelesaikan integral pada soal kita, yakni:

\begin{aligned} \int \sqrt{x^2 - a^2} \ dx &= \int a \tan t \cdot a \sec t \tan t \ dt = a^2 \int \sec t \tan^2 t \ dt \\[8pt] &= a^2 \int \sec t \ (\sec^2 t - 1) \ dt = a^2 \left( \int \sec^3 t \ dt - \int \sec t \ dt \right) \\[8pt] &= a^2 \left( \frac{1}{2} \sec t \tan t + \frac{1}{2} \ln |\sec t + \tan t| - \ln |\sec t + \tan t| \right) \\[8pt] &= a^2 \left( \frac{1}{2} \sec t \tan t - \frac{1}{2} \ln |\sec t + \tan t| \right) \\[8pt] &= \frac{a^2}{2} \sec t \tan t - \frac{a^2}{2} \ln |\sec t + \tan t| \\[8pt] &= \frac{a^2}{2} \cdot \frac{x}{a} \cdot \frac{\sqrt{x^2-a^2}}{a} - \frac{a^2}{2} \ln \left|\frac{x}{a} + \frac{\sqrt{x^2-a^2}}{a} \right| + C \\[8pt] &= \frac{x}{2} \sqrt{x^2-a^2} - \frac{a^2}{2} \ln \left|\frac{x + \sqrt{x^2-a^2}}{a} \right| + C \\[8pt] &= \frac{x}{2} \sqrt{x^2-a^2} - \frac{a^2}{2} \left( \ln \left|x + \sqrt{x^2-a^2} \right| - \ln|a| \right) + C \\[8pt] &= \frac{x}{2} \sqrt{x^2-a^2} - \frac{a^2}{2} \ln \left|x + \sqrt{x^2-a^2} \right| + \frac{a^2}{2} \ln|a| + C \\[8pt] &= \frac{x}{2} \sqrt{x^2-a^2} - \frac{a^2}{2} \ln \left|x + \sqrt{x^2-a^2} \right| + K \\[8pt] &= \frac{1}{2} \left( \sqrt{x^2-a^2} - a^2 \ln \left|x + \sqrt{x^2-a^2} \right| \right) + K \end{aligned}

Jadi, hasil dari \(\int \sqrt{x^2-a^2} \ dx \), yaitu:

\begin{aligned} \int \sqrt{x^2 - a^2} \ dx &= \frac{1}{2} \left( \sqrt{x^2-a^2} - a^2 \ln \left|x + \sqrt{x^2-a^2} \right| \right) + K \end{aligned}

Keterangan:

Untuk mencari nilai \( \tan t\), kita bisa gambarkan segitiga siku-siku berdasarkan pemisalan yang kita buat di awal tadi. Selanjutnya kita cari sisi lain dari segitiga siku-siku yang lain menggunakan Rumus Phytagoras. Berikut hasil yang kita peroleh:

integral akar (x^2-a^2) dx

CONTOH 3:

Selesaikan \( \displaystyle \int \sqrt{a^2 + x^2} \ dx \).

Pembahasan:

Dengan memisalkan \( x = a \tan t \) kita peroleh hasil berikut:

\begin{aligned} x &= a \tan t \Leftrightarrow \tan t = \frac{x}{a} \\[8pt] \frac{dx}{dt} &= a \sec^2 t \Leftrightarrow dx = a \sec^2 t \ dt \\[8pt] \sqrt{a^2 + x^2} &= a \sec t \end{aligned}

Selanjutnya, kita akan gunakan informasi di atas untuk menyelesaikan integral pada soal kita, yakni:

\begin{aligned} \int \sqrt{a^2 + x^2} \ dx &= \int a \sec t \cdot a \sec^2 t \ dt = a^2 \int \sec^3 t \ dt \\[8pt] &= a^2 \left( \frac{1}{2} \sec t \tan t + \frac{1}{2} \ln|\sec t + \tan t| \right) \\[8pt] &= \frac{a^2}{2} \sec t \tan t + \frac{a^2}{2} \ln|\sec t + \tan t| \\[8pt] &= \frac{a^2}{2} \cdot \frac{\sqrt{a^2 + x^2}}{a} \cdot \frac{x}{a} + \frac{a^2}{2} \ln \left|\frac{\sqrt{a^2 + x^2}}{a} + \frac{x}{a} \right| + C \\[8pt] &= \frac{x}{2} \sqrt{a^2 + x^2} + \frac{a^2}{2} \ln \left|\frac{x + \sqrt{a^2 + x^2}}{a} \right| + C \\[8pt] &= \frac{x}{2} \sqrt{a^2 + x^2} + \frac{a^2}{2} \ln \left|x + \sqrt{a^2 + x^2} \right| - \frac{a^2}{2} \ln |a| + C \\[8pt] &= \frac{x}{2} \sqrt{a^2 + x^2} + \frac{a^2}{2} \ln \left|x + \sqrt{a^2 + x^2} \right| + K \\[8pt] &= \frac{1}{2} \left( \sqrt{a^2 + x^2} + a^2 \ln \left|x + \sqrt{a^2 + x^2} \right| \right) + K \end{aligned}

Jadi, hasil dari \(\int \sqrt{a^2+x^2} \ dx \), yaitu:

\begin{aligned} \int \sqrt{a^2 + x^2} \ dx &= \frac{1}{2} \left( \sqrt{a^2 + x^2} + a^2 \ln \left|x + \sqrt{a^2 + x^2} \right| \right) + K \end{aligned}

Keterangan:

Untuk mencari nilai \( \sec t\), kita bisa gambarkan segitiga siku-siku berdasarkan pemisalan yang kita buat di awal tadi. Selanjutnya kita cari sisi lain dari segitiga siku-siku yang lain menggunakan Rumus Phytagoras. Berikut hasil yang kita peroleh:

integral akar (x^2+a^2) dx

CONTOH 4:

Gambar

Penyelesaian:

Misalkan \(x =3 \tan{⁡t}, -π/2 < t < π/2\), maka \(dx = 3 \sec^2⁡{t} \ dt\) dan \(\sqrt{(9+x^2)}=3 \sec⁡{t}\).

Gambar

Langkah terakhir adalah menyelesaikan integral \(\sec{t}\). Karena kita memisalkan \(x = 3 \tan{t}\), maka sekarang \(\tan{t} = x/3\), yang memberikan sebuah segitiga seperti terlihat pada Gambar 3. Dari Gambar 3, kita menyimpulkan bahwa \(\sec{⁡t}=\sqrt{(9+x^2)}/3\). Dengan demikian,

Gambar Gambar

Gambar 3

CONTOH 5:

Gambar

Penyelesaian:

Andaikan \(x = 2 \sec{⁡t}\), dengan \(0 ≤ t ≤ π/2\). Selang \(t\) ini kita peroleh berhubung selang \(x\) adalah \(2 ≤ x ≤ 4\). (Gambar 4). Hal ini penting sebab kita dapat menghilangkan tanda nilai mutlak yang muncul apabila kita menyederhanakan \(\sqrt{x^2-a^2}\). Dalam kasus kita, didapatkan

Gambar

Sekarang kita gunakan teorema mengenai substitusi dalam integral tentu yang mengharuskan perubahan batas-batas integral. Jadi kita peroleh

Gambar Gambar

Gambar 4

Melengkapkan Menjadi kuadrat

Apabila sebuah bentuk kuadrat \(x^2+Bx+C\) muncul di bawah akar dalam integran, kita dapat melengkapkannya menjadi kuadrat sebelum kita menggunakan substitusi trigonometri. Simak contoh berikut ini.

CONTOH 6:

Gambar

Penyelesaian:

  1. \( x^2+2x+26=x^2+2x+1+25=(x+1)^2+25. \)
  2. Misalkan \(u=x+1\) dan \(du=dx\), maka

    Gambar

    Selanjutnya misalkan \(u = 5 \tan{t}, -π/2 < t < π/2\), maka \(du= 5 \sec^2⁡t \ dt\) dan \(\sqrt{μ^2+25}=\sqrt{25(\tan^2⁡t+1)} = 5 \sec{⁡t}\), sehingga

    Gambar
  3. Untuk mengatasi integral kedua, kita tuliskan
  4. Gambar

    Integral yang pertama pada ruas kanan diselesaikan dengan substitusi \(u=x^2+2x+26\); sedangkan integral yang kedua barus saja kita selesaikan. Kita peroleh,

    Gambar
Integran yang Memuat \(\sqrt[n]{ax+b}\).

Selain ketiga bentuk akar yang telah kita bahas di atas, bentuk akar di dalam integran yang sering kita jumpai yaitu \(\sqrt[n]{ax+b}\). Untuk merasionalkan bentuk akar ini kita tidak perlu menggunakan substitusi trigonometri. Cukup dengan substitusi \(u = \sqrt[n]{ax+b}\) maka bentuk akar dalam integran dapat dirasionalkan.

Perhatikan contoh di bawah ini.

CONTOH 7:

Gambar

Penyelesaian:

Misalkan \(u=\sqrt{x}\), maka \(u^2=x\) dan \(2u \ du=dx\). Dengan demikian, kita peroleh

Gambar

CONTOH 8:

Gambar

Penyelesaian:

Misalkan \(u = \sqrt[3]{x-4}\), maka \(u^3=x-4\) dan \(3u^2 \ du=dx\). Dengan demikian, kita peroleh

Gambar

CONTOH 9:

Gambar

Penyelesaian:

Misalkan \(u=(x+1)^{1/5}\), maka \(u^5=x+1\) dan \(5u^4 \ du=dx\). Dengan demikian, kita peroleh

Gambar
Sumber:

Purcell, Edwin J., dan Dale Verberg. (1987). Calculus with Analytic Geometry, ed 5. Terjemahan Susila, I Nyoman, dkk. Kalkulus dan Geometri Analitis. Indonesia: Penerbit Erlangga.

Purcell, Edwin J., Dale Verberg., dan Steve Rigdon. (2007). Calculus, ed 9. Penerbit Pearson.

Artikel Terkait

Cintailah semua orang, tapi percayailah beberapa saja.