JAGOSTAT.COM

JAGOSTAT.COM

Website Belajar Statistika: Konsep, Teori, dan Penerapan

Website Belajar Statistika: Konsep, Teori, dan Penerapan

Kalkulus I » Fungsi Gamma dan Fungsi Beta › Fungsi Gamma dan Fungsi Beta
Fungsi Gamma

Fungsi Gamma dan Fungsi Beta

Fungsi gamma merupakan perluasan dari fungsi faktorial. Sementara itu, fungsi beta dikenal juga sebagai integral Euler jenis pertama dan terkait erat dengan fungsi gamma.


Oleh Tju Ji Long · Statistisi

Fungsi gamma merupakan perluasan dari fungsi faktorial. Fungsi ini sering kita jumpai dalam persamaan-persamaan peluang dan statistika. Sementara itu, fungsi beta dikenal juga sebagai integral Euler jenis pertama dan terkait erat dengan fungsi gamma.

Pada artikel ini, kita akan mempelajari fungsi gamma dan fungsi beta serta kaitan di antara keduanya.

Fungsi Gamma

Seperti disebutkan di atas, fungsi gamma merupakan perluasan dari fungsi faktorial, yang mana kita definisikan sebagai berikut.

Fungsi Gamma

Fungsi Gamma didefinisikan sebagai

Gambar

yang mana konvergen untuk \(n > 0\).

Rumus berulang untuk fungsi Gamma diberikan oleh

Gambar

di mana \(Γ(1)=1\) dan rumus untuk \(n\) faktorial (\(n!\)) yaitu

Gambar

Di bawah ini kita akan membuktikan rumus berulang untuk fungsi gamma.

#1. Bukti bahwa \(Γ(n+1)=n \ Γ(n), n>0\):

Gambar

#2. Bukti bahwa \(Γ(n+1)=n!\), \(n=1,2,3,…\)

Pertama kita mulai dengan membuktikan bahwa \(Γ(1)=1\) yang diberikan berikut ini.

Gambar

Selanjutnya, untuk \(n=2,3,4,… \), kita gunakan hubungan \(Γ(n+1)=n \ Γ(n)\)

Gambar

Sehingga, secara umum \(Γ(n+1)=n Γ(n)=n!\) untuk n bilangan bulat positif.

Sebagai contoh, perhatikan hasil perhitungan berikut ini.

Gambar

Perhatikan kembali hasil di atas. Dalam beberapa kasus kita akan sering menjumpai \(Γ(1/2)=\sqrt{\pi}\). Karena pembuktiannya melibatkan prosedur integral lipat dua yang mana belum kita pelajari, maka untuk sementara hafalkan saja hasil tersebut.

Fungsi Gamma untuk \( n < 0 \)

Untuk mencari nilai fungsi Gamma di mana \(n < 0\), kita dapat gunakan hubungan berikut.

Gambar

Sebagai contoh, kita akan mencari nilai \( Γ(-1/2) \). Kita peroleh sebagai berikut:

Gambar
Fungsi Beta

Fungsi beta disebut juga integral Euler jenis pertama, dan terkait erat dengan fungsi gamma. Adapun fungsi beta didefinisikan sebagai berikut.

Fungsi Beta

Fungsi beta didefinisikan sebagai

Gambar

yang mana konvergen untuk \(m > 0\) dan \(n > 0\).

Dalam fungsi Beta, nilai \(B(m,n)\) akan sama dengan \(B(n,m)\).

Hubungan antara Fungsi Gamma dan Fungsi Beta

Terdapat hubungan antara fungsi Gamma dan fungsi Beta yakni

Gambar

Pembuktian untuk hubungan antara fungsi gamma dan beta ini mengharuskan kita memahami integral lipat dua yang belum kita pelajari. Oleh karena itu, untuk sementara kita abaikan dulu pembuktian ini dan cukup hafalkan saja hubungan tersebut.

Artikel Terkait

Janganlah engkau mengucapkan perkataan yang engkau sendiri tak suka mendengarnya jika orang lain mengucapkannya kepadamu.

A PHP Error was encountered

Severity: Core Warning

Message: PHP Startup: Unable to load dynamic library 'imagick.so' (tried: /opt/alt/php72/usr/lib64/php/modules/imagick.so (libMagickWand-7.Q16HDRI.so.7: cannot open shared object file: No such file or directory), /opt/alt/php72/usr/lib64/php/modules/imagick.so.so (/opt/alt/php72/usr/lib64/php/modules/imagick.so.so: cannot open shared object file: No such file or directory))

Filename: Unknown

Line Number: 0

Backtrace: