JAGOSTAT.COM

JAGOSTAT.COM

Website Belajar Statistika: Konsep, Teori, dan Penerapan

Website Belajar Statistika: Konsep, Teori, dan Penerapan

Kalkulus I » Limit dan Kekontinuan › Sifat dan Operasi Limit
Limit

Sifat dan Operasi Limit

Membuktikan adanya limit dengan memakai definisi di samping memakan waktu juga sukar dilakukan. Hal ini bisa dihindari dengan memahami teorema-teorema terkait limit.


Oleh Tju Ji Long · Statistisi

Kebanyakan pembaca akan setuju bahwa membuktikan adanya limit dengan memakai definisi di samping memakan waktu juga sukar dilakukan. Hal ini bisa dihindari dengan memahami teorema-teorema terkait limit. Dengan teorema ini kita dapat menangani hampir semua masalah limit yang akan kita hadapi nanti.

TEOREMA A: Teorema Limit Utama

Andaikan \(n\) bilangan bulat positif, \(k\) konstanta, dan \(f\) dan \(g\) adalah fungsi-fungsi yang mempunyai limit di \(c\). Maka,

Gambar

Untuk memahmi teorema di atas, perhatikan beberapa contoh berikut. Dalam contoh-contoh ini, nomor-nomor yang dilingkari mengacu kepada pernyataan-pernyataan bernomor dari Teorema Limit Utama di atas.

CONTOH 1:

Carilah \( \displaystyle{\lim_{x \to 3}\, 2x^4 } \).

Penyelesaian:

Gambar

CONTOH 2:

Carilah \( \displaystyle{\lim_{x \to 4}\, (3x^2-2x) } \).

Penyelesaian:

Gambar

CONTOH 3:

Carilah \( \displaystyle{\lim_{x \to 4}\, \frac{\sqrt{x^2+9}}{x} } \).

Penyelesaian:

Gambar

CONTOH 4:

Jika \( \displaystyle{\lim_{x \to 3}\, f(x) = 4 } \) dan \( \displaystyle{\lim_{x \to 3}\, g(x) = 8 } \), carilah \( \displaystyle{\lim_{x \to 3}\, \left[ f^2(x) \cdot \sqrt[3]{g(x)} \right] } \)

Penyelesaian:

Gambar

TEOREMA B: Teorema Substitusi

Jika \(f\) suatu fungsi polinom atau fungsi rasional, maka

Gambar

asalkan \(f(c)\) terdefinisi. Dalam kasus fungsi rasional, ini berarti bahwa nilai penyebut di \(c\) tidak nol.

Ingat bahwa fungsi polinom \(f\) mempunyai bentuk

Gambar

sedangkan fungsi rasional \(f\) adalah hasil bagi dua fungsi polinom yakni

Gambar

Perhatikan contoh berikut:

CONTOH 5:

Carilah \( \displaystyle{\lim_{x \to 2}\, \frac{7x^5-10x^4-13x+6}{3x^2-6x-8} } \).

Penyelesaian:

Gambar

CONTOH 6:

Carilah \( \displaystyle \lim_{x \to 1} \, \frac{x^3+3x+7}{x^2-2x+1} \).

Penyelesaian:

Perhatikan bahwa

Gambar

Baik Teorema B maupun Pernyataan 7 dalam Teorema A tidak berlaku, karena limit dari penyebut bernilai 0. Tetapi, karena limit pembilang adalah 11, kita lihat bahwa selama \(x\) dekat 1, kita membagi sebuah bilangan dekat 11 dengan sebuah bilangan positif dekat 0.

Hasilnya adalah sebuah bilangan positif yang besar. Kenyataannya, bilangan yang dihasilkan dapat dibuat besar sekehendak kita dengan membiarkan \(x\) cukup dekat ke 1. Kita katakan bahwa limit tersebut adalah \(+∞\).

TEOREMA C: Teorema Substitusi

Jika \(f(x) = g(x)\) untuk semua \(x\) dalam sebuah selang terbuka yang mengandung nilai c, kecuali pada nilai c itu sendiri, dan \(\displaystyle{\lim_{x \to c}}\,g(x)\) ada, maka \(\displaystyle{\lim_{x \to c}}\,f(x)\) ada dan \(\displaystyle{\lim_{x \to c}}\,f(x) = \lim_{x \to c}\,g(x) \)

CONTOH 7:

Carilah \( \displaystyle{\lim_{x \to 1}\, \frac{x-1}{\sqrt{x}-1} } \).

Penyelesaian:

Gambar

CONTOH 8:

Carilah \( \displaystyle{\lim_{x \to 2}\, \frac{x^2+3x-10}{x^2+x-6} } \).

Penyelesaian:

Teorema B tidak berlaku karena penyebutnya adalah 0 saat \(x = 2\). Saat kita mensubstitusikan \(x = 2\) pada pembilang kita juga mendapatkan 0, sehingga hasil bagi mengambil bentuk tanpa arti 0/0 di \(x = 2\). Ketika ini terjadi kita seharusnya mencari bentuk penyederhanaan dengan cara faktorisasi.

Gambar

Bagian kedua dari persaman sesuai dengan Teorema C karena

Gambar

untuk semua \(x\) kecuali \(x = 2\). Saat kita menerapkan Teorema C, kita bisa mengevaluasi limitnya dengan substitusi (misalnya, dengan menerapkan Teorema B).

Cukup sekian penjelasan mengenai sifat dan operasi terkait limit beserta contoh soal dan pembahasannya dalam artikel ini. Semoga bermanfaat.

Sumber:

Purcell, Edwin J., dan Dale Verberg. (1987). Calculus with Analytic Geometry, ed 5. Terjemahan Susila, I Nyoman, dkk. Kalkulus dan Geometri Analitis. Indonesia: Penerbit Erlangga.

Purcell, Edwin J., Dale Verberg., dan Steve Rigdon. (2007). Calculus, ed 9. Penerbit Pearson.

Artikel Terkait

Don't just teach your children to read, teach them to question what they read. Teach them to question everything.